onthicaptoc.com
TRƯỜNG THCS NGA YÊN
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2024 - 2025
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: tháng năm 2024
Câu I. (4 điểm)
1) Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng là số chính phương
2) Các số khác 0 thỏa mãn và .
Tính giá trị của biểu thức: .
Câu II. (4 điểm)
1) Tìm , biết: (với )
2) Cho đa thức . Tìm a, b, c, d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho các đa thức đều có số dư là 6 và tại x = -1 thì đa thức đó nhận giá trị bằng .
Câu III. (4 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên n để là số nguyên tố.
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn .
Chứng minh rằng: chia hết 6
Câu IV. (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm của AK và DE. Kẻ DM vuông góc với CE tại M.
1) Chứng minh rằng tam giác AKM vuông.
2) Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh cân và tính .
3) Tia phân giác của cắt AD tại F. Chứng minh rằng: .
Câu V. (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
.................................. Hết .....................................
Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: ....................................
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: TOÁN 8
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
Câu I
4 điểm
1. Ta có: ab + bc + ca = 1
;
;
Vì a, b, c là các số nguyên nên
Suy ra là số chính phương.
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2)
- Nếu thay vào ta được và
Khi đó:
Tương tự và ta có .
Vậy .
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu II
4 điểm
1) Với . Ta có:
hoặc
Vậy hoặc .
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2)
Từ đề bài ta suy ra được chia hết cho .
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên ta có:
, trong đó m là hằng số khác 0.
Lại có nên
Vậy
Suy ra
Vậy .
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu III
4 điểm
1)

Để là số nguyên tố thì:
hoặc
- Nếu thì . Suy ra
Khi đó là số nguyên tố (thoả mãn)
- Nếu thì . Suy ra (loại do n là số tự nhiên)
Vậy n = 3 thoả mãn bài toán.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
2) Ta có:
Do chia hết cho 6 nên chia hết cho 6
Xét hiệu

mà là tích của ba số thự nhiên liên tiếp nên
Tương tự: ; ;
Mà chia hết cho 6 nên chia hết cho 6.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu IV
6 điểm
1) Chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật.
Khi đó O là trung điểm của DE.
vuông tại M có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE
nên
mà DE = AK (tứ giác là hình chữ nhật)
nên
có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh AK và
Suy ra vuông tại M.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
2) Gọi H là giao điểm của AK và DM.
Chứng minh được tứ giác AECK là hình bình hành
nên mà . Suy ra tại H.
Xét vuông tại M có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DC nên
Khi đó cân tại K có nên AK là đường trung trực của DM.
Do AK là đường trung trực của DM nên AD = AM.
Khi đó cân tại A.
mà AD = AM và AM = AB nên cân tại A.
Do cân tại A nên
Do cân tại A nên
Suy ra
Khi đó nên vuông cân tại M
Vậy .
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3) Qua E kẻ đường vuông góc với CF cắt CD tại Q.
Do tứ giác là hình chữ nhật nên
nên vuông cân tại K.
Xét và có:
; ; (cùng phụ )
Suy ra (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
nên
có CF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại C. Suy ra:
Xét và có:
; ; FC chung
Nên (c-g-c)
Khi đó: nên
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
mà nên .
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu V
2 điểm
Do nên
Chứng minh được với mọi m, n dương.
Dấu = xảy ra khi m = n.
Vận dung ta có:
;
dấu = xảy ra khi b = c
Tương tự: dấu = xảy ra khi c = a
dấu = xảy ra khi a = b
Suy ra
Vậy GTLN của biểu thức bằng khi a = b = c = 3
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Lưu ý: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 đ;
- HS làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi thu HSG Toan 8 THCS NGA YEN 24 25