onthicaptoc.com
PHÒNG GD& ĐT NGA SƠN
CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 3
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2024 - 2025
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 7/11/2024
ĐỀ BÀI:
Câu 1 (4đ)
1. a. Cho a + b + c = 2m. Chứng minh 2bc + b2 + c2 – a2 = 4m(m-a)
b) Cho các số a, b, c thỏa mãn a ≠ b, b ≠ c và = 0 Rút gọn biểu thức A = (a3 + b3 + c3)(a - c)2024 – b + 2025
2. Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời + + = 3 và - = 9. Tính giá trị của biểu thức: A = (3x + y + z )2025 .
Câu 2: (4đ)
1. Tìm x biết
a) (x2 – 2x)(x2 – 2x – 1 ) = 6
b) (x2 – x + 1)2 + 2(x+1)2 = 3(x3 +1)
2. Tìm đa thức biết chia cho (x + 4) dư 15; chia cho (x – 5) dư (-3) và chia cho (x2 – x – 20) được thương là (3x2 + 2) và còn dư.
Câu 3: (4đ)
1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 4x2 +10y2 + 4xy – 4x + 10y - 68 = 0
2. Tìm số nguyên a để a4 + 4a3 + 5a2 + 2a + 4 là số chính phương.
Câu 4: (6đ)
1. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm bất kỳ trên đường chéo AC (M ≠ A, C). Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD và CD
a. Chứng minh tứ giác DEMF là hình chữ nhật; Tìm vị trí của điểm M để DEMF là hình vuông.
b. Chứng minh
2. Cho hình thang MNPQ (MN // PQ), gọi I là giao điểm của MP và NQ. Qua I vẽ các đường thẳng song song với MQ và NP lần lượt cắt PQ tại K và H. Chứng minh QK = PH.
Câu 5: (2đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x >1, y >1)
Hết
Đáp án và hướng dẫn chấm
Câu
Nội dung
Điểm
1
a
Bằng nhiều cách để HS chứng minh 2bc + b2 + c2 – a2 = 4m(m-a)
b) Đặt a – b = x , b – c = y, c – a = x thì x + y + z = 0.
HS chứng minh được
Suy ra = 0. Mà a ≠ b, b ≠ c nên a – c = 0.
Khi đó A = -b + 2025
2. Đặt = a, = b, = c, khi đó ta có a + b + c = 3 và 2ac – b2 = 9.
(a + b + c)2 = 9 = 2ac – b2
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc – 2ac + b2 = 0
(a + b)2 + (b+c)2 = 0
Suy ra a = c = -b
Suy ra a=c=3, b = -3 hay x = z = , y =
Khi đó A = (3. + +)2025 = 1.
1
1
2
2
1.
b. Vì không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ta được:
+ = 3
Đặt a =
Suy ra a + = 3
a2 + 2 – 3a = 0
Tìm được a = 1, a=2
Với: a = 1 Suy ra
= 1, suy ra x = 0, x = 2
Với:
Vậy ; x = 0; x = 2
2. Do f(x) chia cho (x2 – x – 20) = (x + 4)(x – 5) được thương là 3x2 + 2 còn dư nên ta có: f(x) = (x + 4)(x – 5)(3x2 + 2) + ax + b
Cho x = -4, f(-4) = -4a + b = 15 (1)
Cho x = 5, f(5) = 5a + b = -3 (2)
Từ (1) và (2) ta được a = -2, b = 7.
Khi đó f(x) = (x + 4)(x – 5)(3x2 + 2) - 2x + 7 = 3x4 – 3x3 -58x2 – 4x - 33
2
2
3
4x2 +10y2 + 4xy – 4x + 10y - 68
= 4x2 + 4xy + y 2 – 2(2x + y) + 9y2 + 12y – 68
= (2x + y)2 – 2(2x + y) + 1 + (9y2 + 12y + 4) – 73
= (2x + y - 1)2 + (3y + 2)2 – 73 = 0
Suy ra (2x + y - 1)2 + (3y + 2)2 = 73
Vì x, y nguyên dương nên 3y + 2 > 4; 2x + y – 1 > 1, mà 73 = 9 + 64 = 32 + 82
Nên ta có 3y + 2 = 8; 2x + y – 1 = 3
Suy ra x = 1, y = 2.
Vậy x = 1, y = 2.
2.
a4 + 4a3 + 5a2 + 2a + 4 = a4 + 4a3 + 4a2 + a2 + 2a + 4
= a2(a+2)2 +a(a+2) + 4
Đặt a(a+2) = t
Ta có t2 + t + 4 = k2 (Vì là số chính phương)
Suy ra 4t2 + 4t + 16 = 4k2
(2t + 1)2 +15 = (2k)2
Suy ra (2k-2a-1)(2k+2a+1) = 15
HS lập bảng (Hoặc lập luận), tìm được a =0, a = 1, a=-3, a = -2
Vậy a =0, a = 1, a=-3, a = -2.
2
2
4
1.
a. *) HS chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật
*) HS tìm và chứng minh được M là trung điểm của AC thì DEMF là hình vuông
b. Chứng minh
Chứng minh được tứ giác CKMF là hình vuông (hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác) nên MF = MK (1)
Chứng minh được tứ giác ABKE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) suy ra AE = BK
vuông cân tại E nên AE = EM suy ra BK = EM (2)
Từ (1), (2)
Mà (đối đỉnh)
vuông tại M nên
M
N
P
Q
I
K
H
D
E
2.

Trên QI lấy D sao cho ID = IN, qua D kẻ đường thẳng song song với PQ cắt IP tại E.
Chứng minh được DMNI = DEDI , suy ra EI = MI.
Do DE // PQ nên ta có = (Đ/l Thalès), suy ra = (1)
Mặt khác IK // MQ nên ta có = (Đ/l Thalès) (2)
IH // NP nên ta có = (Đ/l Thalès) (3)
Từ (1), (2), (3) = hay =
Suy ra = hay = Suy ra KQ = HP.
1
1
2
2
5

Đặt và do và nên và đồng thời và . Khi ấy
Áp dụng bất đẳng thức và (với x >0) ta có:
Nên
Vậy hay
2
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 8 cum NGA SON 24 25