DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A.Bài toán
Bài 1. Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 2: Chứng minh rằng: với
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 5 :
a) Chứng minh (với mọi
b) Chứng minh:
c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
Bài 6 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 10: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 12 : Chứng minh rằng:
Bài 13 Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi
Bài 23 : Chứng minh rằng:
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. CMR:

Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Bài 26 : Chứng minh rằng:
Bài 27 : So sánh hai số sau: và
Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
Bài 30 : Chứng minh rằng:
Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:
Bài 32: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng
Bài 34 : a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 35 : Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh
Bài 36 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 37: Cho Chứng minh rằng:
Bài 38 : Cho CMR:
Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
Bài 40 : Cho Chứng minh rằng:
Bài 41 : Chứng minh rằng : với mọi
Bài 42 : Cho và
Chứng minh rằng
Bài 43 : Cho các số dương thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
Bài 44 : a. Chứng minh (với mọi
b. Chứng minh:
Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 48: Chứng minh rằng: với
Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 51: Cho biểu thức
a) Phân tích biểu thức thành nhân tử
b) Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì
Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 53: Cho Chứng minh rằng :
Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 58: Chứng minh rằng:
Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 61: Cho Chứng minh rằng :
Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Bài 70: Chứng minh rằng:
Bài 71: Chứng minh rằng: với
Bài 72: Chứng minh rằng:
Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 75: Cho Chứng minh rằng
Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 80: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:
Bài 83: a) Cmr :
b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :
Bài 84: Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 85: Cmr: a)
b)
Bài 86: Chứng minh rằng:
a) với ;
b) ;
c)
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:
Bài 88: Chứng minh BĐT:
Bài 89: a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: với .
d) Chứng minh: với
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Bài 90: Cho ba số dương
a) Chứng minh rằng:;
b) Chứng minh rằng:
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ; b) khi .
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .
Bài 95: a) Chứng minh: với
b) Chứng minh: với
Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a) ; b) ;
c) .
Bài 99:
a) Cho . Chứng minh rằng: .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 102: Cho Chứng minh rằng
Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
+ +
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: .
Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 124: Cho Chứng minh rằng
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn
Chứng minh rằng
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 129: Chứng minh rằng:
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 133: Cho Chứng minh rằng :
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh:
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:
với
Bài 137: Cho . Chứng minh
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
với mọi
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
b)Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1 : Cho dương và Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt
và
Chứng minh:
hay
Bài 2 : Chứng minh rằng: với
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Tương tự:
BĐT chứng minh tương đương với:
do
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 5
a) Chứng minh (với mọi
b) Chứng minh:
c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
Lời giải
a) (với mọi x)
b) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:
(luôn đúng)
Suy ra:
Vậy
Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
a) Ta có:
Do
Nên
Dấu “=” xảy ra
Vậy
b)
Do . Đẳng thức xảy ra
Vậy
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có :
Vậy
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ

Dấu “=” xảy ra
Bài 10 : Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên
Do dó
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
từ đó suy ra
Thay vào ta được
Từ đó suy ra hay
Bài 12 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Bài 13 : Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Ta có:
mà nên
Bài 14 :Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
. Vậy
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên suy ra
Do đó :
Lại có:
Vì nên
Do đó từ
Từ (1) và (3) suy ra
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ

Dấu bằng xảy ra
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh
Lời giải
Ta có :
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy

Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi và ta có:

Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :
Lời giải
Bài toán phụ : Chứng minh rằng
Chứng minh

Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
(2)
Mà (vì
Với ta có: (vì
Từ (2) và (3) suy ra :
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :
Lời giải
Ta có:
(vì
(Vì
(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi
Lời giải
Đặt Khi đó ta có:
Bài 23 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Ta cộng vế theo vế ta được:
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Bài 26 : Chứng minh rằng:

onthicaptoc.com Dang toan bat dang thuc on thi hsg dai so 8