Câu 45: [1H3-3.4-4] (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI-2018) Một khối lập phương lớn tạo bởi khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang (không đi qua đỉnh) bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là khối lập phương lớn tạo bởi khối lập phương đơn vị và là tâm hình lập phương đó, khối lập phương có cạnh bằng . Ta xét mặt phẳng đi qua và vuông góc với , cắt tại , cắt tại .
Ta có .
Gọi là mặt phẳng chia lớp khối lập phương mặt trên với khối lập phương ở mặt thứ , gọi .
Ta có .
Gọi là mặt phẳng chia lớp khối lập phương mặt thứ với khối lập phương ở mặt thứ , gọi .
Ta có .
Giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông (hình vẽ), trong các hình vuông này có cặp hình vuông cùng chung một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng cắt ngang khối lập phương mặt trên.
Tương tự mặt phẳng cắt ngang khối lập phương mặt dưới cùng.
Giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông (hình vẽ), trong đó có 3 cặp hình vuông cùng chung với một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng cắt ngang khối lập phương mặt thứ hai.
Vậy, mặt phẳng cắt ngang (không đi qua đỉnh) khối lập phương đơn vị.
Cách khác
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là , với , , và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là và . Phương trình mặt trung trực của là . Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút và của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với . Do đó bài toán quy về đếm trong số bộ , với , , , có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:
.
Các bộ ba không thỏa điều kiện , tức là là:
Vậy có khối lập phương đơn vị bị cắt bởi .

onthicaptoc.com Dạng 4 dựng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước thiết diện mức độ 4