CÁC DẠNG TOÁN BÀI CẤP SỐ CỘNG
Dạng 1: Tìm công thức của một cấp số cộng
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa là một cấp số cộng khi và chỉ khi với là một hằng số. Để chứng minh dãy số là một cấp số cộng, ta xét
■ Nếu là hằng số thì là một cấp số cộng với công sai .
■ Nếu phụ thuộc vào thì không là cấp số cộng.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng
a) Dãy số với b) Dãy số với
c) Dãy số với d) Dãy số với
Lời giải
a) Dãy số với
Ta có
Vậy là một cấp số cộng với công sai
b) Dãy số với thì ta có:
Vậy là một cấp số cộng với công sai
c) Ta có: với mọi .
Vậy dãy số đã cho là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
d) Ta có: Do đó, .
Vậy dãy số đã cho không là một cấp số cộng.
Bài tập 2: Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng
a) Dãy số với b) Dãy số với
Lời giải
a) Dãy số với
Ta có phụ thuộc vào n.
Vậy không là cấp số cộng.
b) Dãy số với
Ta có phụ thuộc vào nên không là cấp số cộng.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. . B. C. D. .
Lời giải
Dãy số có tính chất thì được gọi là một cấp số cộng.
Ta thấy dãy số: là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng
Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cấp số cộng là một dãy số mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi.
Đáp án A: Là cấp số cộng với .
Đáp án B: Là cấp số cộng với .
Đáp án C: Là cấp số cộng với .
Đáp án D: Không là cấp số cộng vì .
Câu 3: Cho cấp số cộng có số hạng đầu công sai Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
A. B. C. D.
Lời giải
Ta dùng công thức tổng quát hoặc :
để tính các số hạng của một cấp số cộng.
Ta có
Câu 4: Viết ba số hạng xen giữa các số và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18.
Lời giải
Giữa và có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có 5 số hạng với ta cần tìm
Ta có
Câu 5: Cho cấp số cộng có các số hạng đầu lần lượt là . Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng.
A. B. C. D.
Lời giải
Các số theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên
Câu 6: Cho cấp số cộng có và Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có
Câu 7: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. B. C. D.
Lời giải
Dãy là cấp số cộng ( là hằng số).
Câu 8: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. B. C. D.
Lời giải
Dãy là một cấp số cộng ( là hằng số).
Câu 9: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
A. B. C. D.
Lời giải
Dãy số không có dạng nên có không phải là cấp số cộng.
Câu 10: Cho cấp số cộng với . Tìm công sai của cấp số cộng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Câu 11: Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Với thì , như vậy dãy số này là một cấp số cộng.
Câu 12: Trong các dãy số sau, dãy nào là một cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai .
Câu 13: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét đáp án A: nên không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án B: nên không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án C: không đổi, nên là cấp số cộng.
Xét đáp án D: nên không phải là cấp số cộng.
Câu 14: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét phương án A: vì do đó không phải là cấp số cộng.
Xét phương án B: theo giả thiết ta có do đó là cấp số cộng.
Xét phương án C: do đó không phải là cấp số cộng.
Xét phương án D: vì do đó không phải là cấp số cộng.
Câu 15: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Nên dãy số là một cấp số cộng.
Câu 16: Xác định để 3 số theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của . B. .
C. . D. .
Lời giải
Theo công thức cấp số cộng ta có: .
Câu 17: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai .
Câu 18: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Xét dãy số
Ta có
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai
Câu 19: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có:
Thử các đáp án ta thấy với dãy số: thì:
Câu 20: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có dãy là cấp số cộng khi với là hằng số.
Xét hiệu .
Vậy dãy là cấp số cộng.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho các dãy số có số hạng tổng quát ;; . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là một cấp số cộng với số hạng đầu
b) là một cấp số cộng với công sai .
c) là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai
d) là một cấp số cộng với công sai
Lời giải
a) Đúng:
b) Đúng: ta có .
Do đó là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
c) Sai: Ta có: .
Suy ra: là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai
d) Sai: Ta có: (phụ thuộc vào giá trị của ).
Suy ra không phải là một cấp số cộng.
Câu 2: Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Dãy số với là cấp số cộng với .
b) Dãy số với là cấp số cộng với .
c) Dãy số với là cấp số cộng với .
d) Dãy số với không là cấp số cộng.
Lời giải
a) Đúng: Dãy số với
Ta thấy: . Vậy là cấp số cộng với .
b) Đúng: Dãy số với .
Ta có:
Vậy là cấp số cộng với .
c) Sai: Dãy số với .
Ta có: phụ thuộc vào .
Vậy không là cấp số cộng.
d) Đúng: Dãy số với .
Ta có: phụ thuộc vào . Vậy không là cấp số cộng.
Câu 3: Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là .
b) Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có công sai là .
c) Có tất cả hàng cây.
d) Hàng thứ trồng được cây.
Lời giải
a) Đúng: Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng có .
b) Sai:
c) Đúng: Giả sử có hàng cây thì .
Ta có .
c) Sai: Số cây hàng thứ trồng được là .
Vậy mệnh đề đúng. Mệnh đề sai.
Câu 4: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 50 triệu đồng. Gọi (triệu đồng) là giá của chiếc ô tô trong năm thứ sử dụng. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) .
b) Dãy số là cấp số cộng với công sai .
c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng lớn hơn 500 triệu đồng.
d) Sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.
Lời giải
a) Đúng: Giá của chiếc ô tô trong năm thứ 2 là: triệu đồng.
b) Sai: Dãy số là cấp số cộng với công sai .
c) Đúng: Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng: triệu đồng.
d) Sai: Ta có:
Suy ra đến năm thứ 8 thì giá trị của chiếc xe nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:
Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?
b) Dãy số có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?
Lời giải
Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:
Câu 2: Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:
Dãy số có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?
Lời giải
Ta có:
Xét hiệu
Do đó là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là ,.
Xác định số bậc của chiếc thang đó.
Lời giải
Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là
Khi Vậy cái thang có 8 bậc.
Câu 4: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
Tìm công sai của cấp số cộng trên.
Lời giải
Công sai của cấp số cộng trên là: .
Câu 5: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Lời giải
Giá của chiếc xe sau n năm là:
Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: (triệu đồng)
Dạng 2: Xác định số hạng và công sai của cấp số cộng
Phương pháp:
■ Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu và công sai
■ Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số và rồi giải hệ đó.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu , công sai .
a) Viết công thức của số hạng tổng quát .
b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?
Lời giải
a) Ta có: .
b) Ta có: . Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của .
c) Nhận thấy . Vậy số 300 không là số hạng nào của .
Bài tập 2: Cho cấp số cộng với và . Tìm công sai và viết công thức của số hạng tổng quát .
Lời giải
Ta có hay mà nên .
Công thức của số hạng tổng quát là: .
Bài tập 3: Tìm sao cho và là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
Lời giải
Từ và là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ta suy ra:
.
Thử lại ta có ba số tìm được là thoả mãn bài toán. Vậy .
Bài tập 4: Cho cấp số cộng có và . Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Lời giải
Ta có .
Ta có hệ phương trình .
Bài tập 5: Cho tam giác có ba góc theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó hãy chứng minh rằng:
Lời giải
Theo định lí côsin ta có:
, ,
Theo định lí sin ta có: , , .
Vì ba góc theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên
Do đó
.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Xác định số hàng đầu và công sai của cấp số cộng có và .
A. và . B. và . C. và . D. và .
Lời giải
Ta có: . Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
.
Câu 2: Cho là một cấp số cộng thỏa mãn và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vậy công sai của cấp số cộng là .
Câu 3: Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng thỏa mãn:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử dãy cấp số cộng có công sai là . Khi đó, trở thành:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng :
Vậy .
Câu 4: Cấp số cộng có số hạng đầu , công sai thì số hạng thứ 5 là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 5: Cho cấp số cộng có , . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 6: Cho cấp số cộng có và công sai . Hãy tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có : .
Câu 7: Cho cấp số cộng , biết: , . Chọn đáp án đúng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có là cấp số cộng nên suy ra .
Câu 8: Một cấp số cộng có và . Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Ta có: .
Câu 9: Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 10: Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát .
Câu 11: Tìm số hạng thứ của cấp số cộng có số hạng đầu bằng và công sai .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có .
Câu 12: Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 13: Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Giá trị bằng
A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.
Lời giải
Ta có: .
Câu 14: Cho cấp số cộng với số hạng đầu tiên và công sai . Tìm ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 15: Cho cấp số cộng có và công sai . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của đều lớn hơn ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; .
Vậy .
Câu 16: Viết ba số xen giữa và để ta được một cấp số cộng có số hạng?
A. , , . B. , , . C. , , . D. , , .
Lời giải
Xem cấp số cộng cần tìm là có: suy ra: .
Vậy cấp số cộng cần tìm là : ,, , , .
Câu 17: Cho cấp số cộng có và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: và suy ra
; ;
Câu 18: Cho cấp số cộng với ; . Khi đó số là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 19: Cho cấp số cộng . Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cấp số cộng . có số hạng đầu và công sai .
Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: .
Câu 20: Cho cấp số cộng biết , thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; .
Câu 21: Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và -2. Tìm số hạng thứ 5.
A. B. C. D.
Lời giải
Theo giả thiết ta có . Vậy .
Câu 22: Cho cấp số cộng , biết và . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ giả thiết và suy ra ta có hệ phương trình: .
Vậy .
Câu 23: Cho cấp số cộng có và . Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho?
A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.
Lời giải
Ta có: .
Số hạng tổng quát: .
Ta có: .
Câu 24: Cho cấp số cộng biết . Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?
A. 20. B. 23. C. 22. D. 21.
Lời giải
.
Câu 25: Cho cấp số cộng có số hạng đầu là , . Số là số hạng thứ mấy trong cấp số cộng đã cho?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Lại có .
Vậy số là số hạng thứ 19 trong cấp số cộng đã cho.
Câu 26: Cho cấp số cộng có và công sai . Biết rằng là một số hạng của cấp số cộng trên. Hỏi đó là số hạng thứ bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số hạng tổng quát của cấp số cộng có và công sai là , .
Ta có .
Vậy là số hạng thứ của cấp số cộng trên.
Câu 27: Cho cấp số cộng có và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi và lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số công.
Ta có: . Vậy .
Câu 28: Một cấp số cộng có số hạng đầu công sai . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Có , .
Vậy từ thì số hạng của cấp số cộng đó nhận giá trị âm.
Câu 29: Cho cấp số cộng có . Số hạng đầu là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
.
Câu 30: Cho dãy số xác định bởi Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Từ . Ta có nên dãy là một cấp số cộng với công sai nên .
Câu 31: Cho cấp số cộng thỏa mãn . Tính số hạng thứ của cấp số.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Số hạng thứ là .
Câu 32: Cho cấp số cộng có công sai và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi .
Từ đó suy ra
Câu 33: Cho cấp số cộng , biết , . Số là số hạng thứ bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vậy là số hạng thứ .
Câu 34: Một cấp số cộng có , công sai . Số là số hạng thứ mấy trong cấp số cộng đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Gọi là số hạng thứ trong khai triển, ta có:
.
Câu 35: Cho hai cấp số cộng , , ,… và : , , ,…. Hỏi trong số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: .
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: .
Giả sử là số hạng chung của hai cấp số cộng trong số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.
Vì là số hạng của cấp số cộng nên với và .
Vì là số hạng của cấp số cộng nên với và .
Do đó có số hạng chung.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho cấp số cộng . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
c)
Lời giải
a) Đúng: Theo tính chất của cấp số cộng, ta có: và .
b) Sai: nên
c) Sai: Vậy
d) Đúng: Vậy
Câu 2: Cho cấp số cộng có công sai thoả mãn . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số hạng
b) Công sai
c) Số hạng
d) Số hạng
Lời giải
Ta có:
Thay vào ta được:
a) Đúng: Vì nên ta nhận , khi đó
b) Sai: Ta có: .
c) Đúng: Số hạng
d) Đúng: Số hạng
Câu 3: Cho cấp số cộng có và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c) Số là số hạng thứ của cấp số cộng
d) Số là số hạng thứ của cấp số cộng
Lời giải
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
a) Đúng: Ta có: .
b) Sai:
c) Đúng: Ta có: .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Cap so cong lop 11