CÁC DẠNG TOÁN BÀI KHOẢNG CÁCH
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
■ Xác định hình chiếu của điểm trên đường thẳng
■ Khi đó ta có:
■ Tính độ dài bằng kiến thức hình học phẳng cơ bản, các định lý và hệ thức lượng trong tam giác.
Ví dụ 1: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Tính khoảng cách từ đến .
Lời giải
Vì , , vuông góc với nhau từng đôi một nên .
Kẻ . Khi đó .
Ta có: .
Trong tam giác vuông ta có: .
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật có . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng .
Lời giải
Do nên tam giác vuông tại . Trong tam giác kẻ đường cao AH thì
Trong tam giác ta có:
Mặt khác:
Xét tam giác :
Vậy .
Ví dụ 3: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , là hình thang vuông có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ , đồng thời đường cao . Biết . Tính khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng .
Lời giải
Ta có: vuông tại .
Trong dựng đường cao .
; .
Ví dụ 4: Cho hình thang vuông vuông ở và, . Trên đường thẳng vuông góc tại với lấy điểm với . Biết điểm M di động trên đường thẳng CD. Tìm giá trị nhỏ nhất khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
Lời giải
Dễ thấy khoảng cách này bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Trong tam giác vuông ta có: .
Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ; . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
Lời giải
Ta có vì nên S nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy. Mà vuông cân tại nên tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm của . Vậy S nằm trên đường thẳng đi qua vuông góc với .
Mà góc giữa đường thẳng và là
vuông cân tại A có . Mà là trung điểm của
Xét tam giác vuông ta có:
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng là .
Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm , ,. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
Lời giải
Do nên nếu dựng thì
Mà do
Suy ra .
Ví dụ 7: Cho hình chóp có là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng và Gọi là trung điểm của cạnh Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
Lời giải
trong mặt phẳng nếu dựng tại thì (định lý 3 đường vuông góc). Tức là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng đoạn
Ta có: mà
mà vuông tại nên:
Vậy .
Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng .
Bước 1: Xác định điểm là hình chiếu của trên mặt phẳng
Dựng mặt phẳng chứa và vuông góc với
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và
Kẻ . Khi đó
Bước 2: Tính bằng cách sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Giả sử là tứ diện vuông tại và là hình chiếu của lên mặt phẳng . Khi đó ta có: .
Ví dụ 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác có . Biết .
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải
a) Dựng ta có: .
Do đó: .
b) Dựng .
Ta có:
Trong đó
Ví dụ 9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng.
Lời giải
a) Do tam giác cân tại nên . Ta có: .
Mặt khác .
Dựng .
Mặt khác .
b) Dựng .
Ta có:
Do đó .
Ví dụ 10: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và có . Biết .
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải
a) Dựng .
Khi đó , do là hình vuông cạnh nên
.
b) Dựng . Khi đó .
Ta có: ABCE là hình vuông nên . Do đó
Ví dụ 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải
a) Do là trọng tâm tam giác .
Gọi là tâm của hình vuông .
Mặt khác . Khi đó .
b) Dựng .
Gọi là trung điểm của thì .
Khi đó:
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, . Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng và cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng .
Lời giải
Ta có:
. Do đó
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có:
Gọi H là giao điểm của AM và
Kẻ BK vuông góc với AM, .
Ta có .
Từ .
Mặt khác .
Ví dụ 13: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại có . Biết và .
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
b) Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
Lời giải
a) Ta có: , mặt khác .
Dựng .
Khi đó
b) Dựng ta có:
Khi đó:
Ta có: . Do BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên đều cạnh .
Khi đó
Ví dụ 14: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau. Biết . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
Lời giải
Do .
Dựng suy ra .
Khi đó .
Mặt khác: và
Do đó
Vậy
Ví dụ 15: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh Biết , tính khoảng cách từ đến các mặt phẳng và .
Lời giải
Dựng và thì ta có .
Mặt khác HF là đường trung bình trong tam giác ABC nên .
Khi đó .
Tương tự dựng
Mặt khác .
Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có vuông góc với đáy và .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng và .
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .
Lời giải
a) Dựng . Do .
. Vậy .
Tương tự .
b) Dựng .
Ta chứng minh được
Vì .
Ví dụ 17: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy trùng với trung điểm của . Biết .
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
a) Ta có: . Mặt khác .
Dựng
Do AHMD là hình chữ nhật nên
Khi đó
b) Dựng khi đó:
Ta có:
Do đó .
Ví dụ 17: Cho hình hộp chữ nhật có . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ?
Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khi đó
Ta có:
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
Ví dụ 18: Cho lăng trụ có khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh đến mặt phẳng ?
Lời giải
Ta có:
Vậy .
Ví dụ 19: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và mặt bên hợp với mặt đáy một góc . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ?
Lời giải
Ta có:
Vì nên .
Từ kẻ thì (do ).
Do đó .
.
Ví dụ 20: Cho hình chóp là hình thoi cạnh . Các mặt phẳng bên và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng ?
Lời giải
Ta có hình vẽ
Ta có suy ra
Xét vuông tại ta có .
Dạng 3: Khoảng cách giữa các đối tượng song song
Bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ từ đường thẳng này đến đường thẳng kia
 Bước 1: Chọn 1 điểm trên đường thẳng này (điểm này thông thường là trung điểm của đoạn thẳng hoặc hai đầu mút của đoạn thẳng)
 Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia
Khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng
 Bước 1: Chọn 1 điểm trên đường thẳng (điểm này thông thường là trung điểm của đoạn thẳng hoặc hai đầu mút của đoạn thẳng)
 Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ từ mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
 Bước 1: Chọn 1 điểm trên mặt phẳng này (điểm này thông thường là trung điểm của đoạn thẳng hoặc hai đầu mút của đoạn thẳng)
 Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng kia
Ví dụ 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng .
a) Tính khoảng cách giữa cạnh với cạnh
b) Tính khoảng cách giữa cạnh với mặt phẳng
c) Tính khoảng cách giữa mặ phẳng với
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có: .
Dạng 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1: Khi đường thẳng vuông góc với đường thẳng
 Bước 1: Dựng một mặt phẳng tại H .
 Bước 2: Trong mặt phẳng dựng tại K .
 Bước 3: Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của và .
Cách 2:
 Bước 1: Dựng .
 Bước 2: Dựng là hình chiếu của lên mặt phẳng bằng cách lấy . Sau đó dựng đoạn . Khi đó là đường thẳng đi qua và song song .
 Bước 3: Gọi , dựng là đoạn vuông góc chung cần tìm.
Ví dụ 22: Cho hình lập phương . Xác định đoạn vuông góc chung của và .
Lời giải
Do là hình hộp lập phương nên .
Vậy định đoạn vuông góc chung của và là .
Ví dụ 23: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và . Biết mặt phẳng tạo với đáy một góc .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Do . Do đó
Suy ra .
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có:
Dựng khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC.
Ta có: .
Dạng 5: Toán thực tế vận dụng khoảng cách
Ví dụ 24: Một giá đỡ Tripod ba chân (như hình) đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng 40 cm. Biết rằng chiều cao các chân giá đỡ là 1 m, tính chiều cao của giá đỡ so với mặt đất (theo đơn vị mét và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Xét hình chóp tam giác đều có m và m. Gọi là trung đểm và là trọng tâm tam giác . Ta có .
Khoảng cách từ giá đỡ so với mặt đất là: m.
Ví dụ 25: Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng . Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao đi qua hay không? (thường ta thấy ở một số cầu vượt có khung khống chế chiều cao)
Lời giải
Gọi là một điểm nằm trên thanh ngang và là hình chiếu vuông góc xuống mặt dốc.
Khoảng cách từ đến mặt phẳng dốc là .
Do đó, không cho phép xe cao đi qua.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 LỰA CHỌN
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và , . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì nên .
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . Tính khoảng cách từ điểm đến mp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi
Vì
Ta có:
.
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , cạnh bên vuông góc với , (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là hình chiếu của trên .
Ta có: .
Từ ta có .
Xét tam giác vuông , ta có: .
Vậy .
Câu 4: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Có . Khi đó .
Vậy .
Câu 5: Cho lăng trụ đều , biết . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm (đường cao trong tam giác đều cạnh )
Ta có: (do đều)
Mặt khác: (do lăng trụ là lăng trụ đều)
Suy ra .
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; ,. Khoảng cách từ điểm đến mp bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
dựng
Do
Có , suy ra
Vậy .
Có .
Câu 7: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , là tam giác đều cạnh bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm . Ta có nên .
Câu 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên và vuông góc với mặt đáy . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vẽ tại .
Vẽ tại mà tại .
Do đó . Do là trung điểm của nên .
Vậy
Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật có , , . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Kẻ tại (1).
Do nên (2).
Từ (1) và (2) suy ra hay .
Xét tam giác vuông , ta có .
Vậy .
Câu 10: Cho tứ diện có ,, đôi một vuông góc với nhau và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của
Ta có: mà
Từ dựng .
Trong có
Trong có .
Vậy .
Câu 11: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại và diện tích của hình vuông bằng
Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do là tam giác vuông cân tại và diện tích của hình vuông bằng nên .
Ta có nên
Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , biết . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trong , gọi là hình chiếu vuông góc của trên .
Tam giác vuông tại , là đường cao .
Vậy .
Câu 13: Cho hình chóp có . Tam giác vuông cân tại , . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Vì tam giác vuông cân tại nên .
Theo giả thiết . Do đó .
Trong mặt phẳng , kẻ (1). Mà (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Ta có ; .
Vì là trung điểm của nên .
Câu 14: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Do đó .
Câu 15: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , và , . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên .
Ta có:
Do đó:
Vậy .
Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Vẽ tại trong mặt phẳng
Ta có
Vì nên .
vuông tại với đường cao có
Câu 17: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có , do đó .
Tam giác đều, gọi là trung điểm thì (1).
Ta có (2).
Từ (1) và (2) suy ra , do đó .
Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có do là hình vuông nên . Mặt khác nên
Từ đó ta có là đoạn vuông góc chung của đường thẳng và .
Vậy .
Câu 19: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi , lần lượt là trung điểm của và .
Khi đó nên tam giác cân, suy ra . Chứng minh tương tự ta có , nên .
Xét tam giác vuông ta có .
Vậy.
Câu 20: Cho hình chóp đều , đáy là hình vuông cạnh , tâm . là trung điểm . Biết rằng , khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là hình chiếu của lên và là hình chiếu của lên .
Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , và .
Ta có đều
Ta có
Xét tam giác vuông .
Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy, góc . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của . Dựng
Khi đó
Do tam giác có và nên là tam giác đều
Suy ra , do đó .
Ta có .
Câu 22: Cho lăng trụ đứng tam giác có đáy là một tam giác vuông cân tại , là trung điểm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm .
Khi đó .
Ta có và nên .
Gọi là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Tứ diệncó đôi một vuông góc nên:
.
.
.
Suy ra .
Câu 23: Cho hình thang vuông vuông ở và, . Trên đường thẳng vuông góc tại với lấy điểm với . Biết điểm M di động trên đường thẳng CD, tìm giá trị nhỏ nhất khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng SA.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dễ thấy khoảng cách này bằng khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SA.
Trong tam giác vuông ta có:
.
Câu 24: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ; . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có vì nên S nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy. Mà vuông cân tại nên tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm của . Vậy S nằm trên đường thẳng đi qua vuông góc với .
Mà góc giữa đường thẳng và là
vuông cân tại A có . Mà là trung điểm của
Xét tam giác vuông ta có:
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng là .
Câu 25: Cho hình chóp có là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng và Gọi là trung điểm của cạnh Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
trong mặt phẳng nếu dựng tại thì (định lý 3 đường vuông góc). Tức là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng đoạn
Ta có:
Mà
Nên , mà vuông tại nên:
Vậy .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1: Cho hình hộp có mặt đều là hình vuông cạnh .
a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng a.
b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .
c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng độ dài đoạn thẳng .
d) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .
Lời giải
a) Đúng: Do hình hộp có 6 mặt là hình vuông nên là hình lập phương.
Khi đó .
b) Sai: Ta có
c) Sai:Ta có nên .
d) Đúng: Ta có và do đôi một vuông góc nên
.
Câu 2: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Các khẳng định sau ĐÚNG hay SAI?
a) Khoảng cách giữa và bằng .
b) Khoảng cách giữa và bằng .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Khoang cach lop 11