Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số y, y’
-Định lí cực trị
Điều kiện cần (định lí 1): Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng và đạt cực đại
(hoặc cực tiểu) tại thì
Điều kiện đủ (định lí 2):
Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm (theo chiều tăng) thì hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm (theo chiều tăng) thì hàm số
đạt cực đại tại điểm
Định lí 3: Giả sử có đạo hàm cấp trong khoảng với Khi đó:
Nếu thì là điểm cực tiểu.
Nếu thì là điểm cực đại.
- Các THUẬT NGỮ cần nhớ
Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số là
(hay hoặc Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
Nếu là điểm cực trị của đồ thị hàm số
Câu 1. (Đề Tham khảo TN THPT 2023) Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Câu 2. (Đề Thi TN THPT 2022) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta suy ra: điểm cực tiểu của hàm số đã cho là .
Câu 3. (Đề Thi TN THPT 2021) Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng xét dấu, đổi dấu khi qua các điểm .
Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là 4 .
Câu 4. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng .
Câu 5. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Hàm số đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.
Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại .
Câu 6. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Từ BBT ta có hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho là .
Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gía trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng .
Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2.
Câu 10. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại B. Hàm số có bốn điểm cực trị
C. Hàm số đạt cực tiểu tại D. Hàm số không có cực đại
Lời giải
Chọn.C
Dựa vào bảng biến thiên. Hàm số có đạo hàm trên và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nên hàm số đạt cực tiểu tại .
Câu 11. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Dựa bào BBT ta có: Giá trị cực đại của hàm số là
Câu 12. (Mã 104 - 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 13. (Mã 110 - 2017) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
A. và B. và
C. và D. và
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có và .
Câu 14. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định tại , và đạo hàm đổi dấu từ sang
Câu 15. (Mã 103 - 2018) Cho hàm số (, , ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Câu 16. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Câu 17. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây sai
A. Hàm số có giá trị cực đại bằng B. Hàm số có hai điểm cực tiểu
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng D. Hàm số có ba điểm cực trị
Lời giải
Chọn C
Câu 18. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có điểm cực tiểu của hàm số là .
Câu 19. (Mã 102 - 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số này là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 20. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Theo bảng biến thiên thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Câu 21. (Mã 101 - 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Câu 22. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đối dấu từ sang tại .
Nên hàm số đạt cực đại tại điểm .
Câu 23. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt cực đại tại điểm .
Câu 24. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Từ BBT của hàm số suy ra điểm cực đại của hàm số là .
Câu 25. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau :
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Câu 26. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Hàm số đã cho xác định trên .
Qua , đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại .
Câu 27. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Từ bảng biến thiên ta thấy đổi dấu khi qua nghiệm và nghiệm ; không đổi dấu khi qua nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 28. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu của hàm số đã cho có điểm cực trị.
Câu 29. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của như sau:
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Do hàm số liên tục trên , ,
không xác định nhưng do hàm số liên tục trên nên tồn tại
và đổi dấu từ sang khi đi qua các điểm , nên hàm số đã cho đạt cực đại tại 2 điểm này.
Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2.
Câu 30. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta thấy đổi dấu 2 lần từ sang khi qua các điểm nên hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Câu 31. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Câu 32. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số liên tục trên R có bảng xét dấu
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Ta có: , không xác định tại . Nhưng có 2 giá trị mà qua đó đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.
Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết y, y’
« Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số
@ Phương pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau:
Quy tắc I: sử dụng nội dụng định lý 1
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1).
Quy tắc II: sử dụng nội dụng định lý 2
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm Giải phương trình và kí hiệu là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính và
Bước 4. Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của điểm
+ Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
+ Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Câu 1. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có
Bảng xét dấu :
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có đúng điểm cực đại.
Câu 2. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.
Câu 3. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có ,. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
Bảng xét dấu của
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu là và .
Câu 4. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
Câu 5. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Phương trình
Do có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu qua ba nghiệm này nên hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 6. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị đó là điểm cực tiểu .
Câu 7. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Xét dấu của đạo hàm:
Ta thấy đạo hàm đổi dấu đúng 1 lần nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị
Câu 8. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Vì nghiệm là nghiệm bội lẻ và là nghiệm bội chẵn nên số điểm cực trị của hàm số là 1.
Câu 9. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 1 điểm cực trị .
Câu 10. (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng 2019) Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Bảng xét dấu đạo hàm.
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 11. (Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số có điểm cực trị.
Câu 12. (VTED 2019) Hàm số có đạo hàm , . Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
có nghiệm bội lẻ và hệ số dương nên có cực tiểu
Câu 13. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số có đạo hàm , . Hỏi có bao nhiêu điểm cực đại?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có điểm cực đại.
Câu 14. (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số có đạo hàm là . Số điểm cực trị của hàm số là?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Do là nghiệm đơn, còn các nghiệm và là nghiệm bội chẵn nên chỉ đổi khi đi qua .
Hàm số có điểm cực trị.
Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.
Câu 16. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Lập bảng xét dấu của như sau:
Ta thấy đổi dấu khi đi qua các điểm và , do đó hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 17. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm số , ta thấy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
Câu 18. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số có đạo hàm là thì tổng các điểm cực trị của hàm số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Có . Ta thấy chỉ đổi dấu qua nghiệm nên hàm số có đúng một điểm cực trị là .
Vậy tổng các điểm cực trị của hàm số bằng .
Câu 19. (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Sử dụng MTCT chọn một số nằm giữa các khoảng suy ra bảng xét dấu
đổi dấu 3 lần qua ,,. suy ra hàm số có 3 cực trị.
Cách 2: Sử dụng nghiệm bội chẵn lẻ, nghiệm đơn.
đổi dấu qua 3 nghiệm đơn. 2 nghiệm bội chẵn không đổi dấu nên có 3 cực trị.
Câu 20. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số có đạo hàm trên và . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có điểm cực trị.
Câu 21. (Đề Minh Họa 2017) Tìm giá trị cực đại của hàm số .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng
Câu 22. (Mã 104 - 2017) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Có nên hàm số không có cực trị.
Câu 23. Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng B. Cực tiểu của hàm số bằng
C. Cực tiểu của hàm số bằng D. Cực tiểu của hàm số bằng
Lời giải
Chọn D
· Cách 1.
Ta có: ;
Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu bằng .
· Cách 2.
Ta có ;
. Khi đó: ; .
Nên hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu bằng .
Câu 24. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số có tổng hoành độ và tung độ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Bảng biến thiên
Khi đó:
Câu 25. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm giá trị cực tiểu của hàm số.
A. B. C. D.
Lời giải
Tập xác định: ; ; .
Bảng biến thiên
Vậy ; .
Câu 26. (THPT Cù Huy Cận 2019) Giá trị cực tiểu của hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại .
Câu 27. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ là số dương?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định .
; .
Suy ra đồ thị có hàm số có điểm cực trị có tung độ là số dương.
Câu 28. (Hsg Bắc Ninh 2019) Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. B. C. D.
Lời giải
+ Xét hàm số .
Tập xác định , .
Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
Do đó hàm số không có cực trị.
Câu 29. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số . Xét các mệnh đề sau đây
1) Hàm số có 3 điểm cực trị.
2) Hàm số đồng biến trên các khoảng ; .
3) Hàm số có 1 điểm cực trị.
4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; .
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Lời giải
Bảng xét dấu:
Hàm số có điểm cực trị, đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng ; . Vậy mệnh đề , , đúng.
Câu 30. (THPT Ba Đình 2019) Tìm giá trị cực đại của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định của hàm số là .
Ta có:.
Giá trị cực đại của hàm số là: .
Câu 31. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
TXĐ: .
; .
Hàm số đạt cực tiểu tại .
Câu 32. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do đó hàm số đạt cực đại tại . Vậy chọn đáp án .
Câu 33. (Sở Ninh Bình 2019) Hàm sốđạt cực tiểu tại điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có hàm sốcó tập xác định .
; .
; ; .

onthicaptoc.com Chuyen de Cuc tri muc thong hieu