onthicaptoc.com
SỞ GD & ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT NHO QUAN A
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024-2025 LẦN 1
Môn thi: Toán
Thời gian: 90 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Họ và tên thí sinh:…………………………………………………Số báo danh:……………......
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, gồm 12 câu, tổng 3,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
Câu 1. Khi đó các phương trình có nghiệm duy nhất và đổi dấu qua các nghiệm đó. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Cho hàm số liên tục trên sao cho . Xét . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Chuồng gà thứ nhất có con mái và con trống. Chuồng gà thứ hai có con mái và con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ngẫu nhiên ra một con đem bán. Các con gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên một con gà nữa từ chuồng này ra thì xác suất bắt được con gà trống là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình ; trong đó là thời gian được tính bằng giây và quãng đường được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng mấy lần?
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho tam giác biết và là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng , . Gọi là điểm thỏa . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác . ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 6. Lớp có học sinh gồm 23 bạn nữ và 22 bạn nam, trong đó bạn Việt (nam) làm lớp trưởng. Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kỉ yếu trong đó có 21 bạn đứng hàng trước trong đó có bạn Việt đứng ở chính giữa và 24 bạn đứng hàng sau. Số cách sắp xếp là
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ dưới đây(phần cong của đồ thị là một phần của Parabol ). Tính .
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho hàm sốxác định và liên tục trên , biết hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Một quả bóng cao su từ độ cao so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng hai phần năm độ cao lần rơi ngay trước đó. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , . Gọi là trung điểm của cạnh , biết hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy và . Tính góc giữa hai mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
A1.Q1.T0
Câu 12. Phương trình có điểm biểu diễn các nghiệm thuộc khoảng trên đường tròn lượng giác là một đa giác. Tính diện tích đa giác đó.
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng 4,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Một mô hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) .
b) Gọi là điểm nằm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại. Thể tích của khối chóp bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Góc nhị diện có độ lớn bằng (kết quả làm tròn đến phút).
d) Khoảng cách giữa và mặt phẳng bằng . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 2. Cho hàm số , với , . Biết trên khoảng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại .
a) Đạo hàm của hàm số bằng
b) Điểm là một điểm cực tiểu của hàm số.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại trên đoạn .
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, chỉ ra mệnh đề đúng, mệnh đề sai.
a) .
b) Nước chảy từ đáy của một bồn chứa với tốc độ (lít/phút), trong đó . Lượng nước chảy ra khỏi bồn chứa trong phút đầu tiên bằng (lít).
c) với và tối giản thì .
d) với thì .
Câu 4. Trong một công ty có 40 nhân viên, trong đó có 27 người thích chơi bóng bàn, 25 người thích
chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên trong công ty đó. Trrong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Xác suất để người đó thích chơi ít nhất một trong hai môn bóng bàn và cầu lông không vượt quá .
b) Xác suất để người đó thích chơi cả hai môn cầu lông và bóng bàn ít nhất là .
c) Xác suất để người đó không thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông ít nhất là .
d) Xác suất để người đó không thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông nhiều nhất là .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn, gồm 6 câu, tổng 3,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Có hai chiếc hộp, hộp I có viên bi màu trắng và viên bi màu đen; hộp II có viên bi màu trắng và viên bi màu đen. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi, giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I (làm tròn chữ số thập phân).
.
Câu 2. Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất viên kim cương to và viên kim cương nhỏ. Từ một tấn các bon loại (giá triệu đồng) có thể chiết xuất được viên kim cương to và viên kim cương nhỏ, từ một tấn Cacbon loại (giá triệu đồng) có thể chiết xuất được viên kim cương to và viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá triệu đồng, mỗi viên kim cương to giá triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa tấn Cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua Cacbon không vượt quá triệu đồng.
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng ; . Đường thẳng song song với mặt phẳng và cắt hai đường thẳng lần lượt tại sao cho là ngắn nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu ?
Câu 4. Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500.000 đồng/ ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50.000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất?
Câu 5. Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng , người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí đồng/; phần còn lại sơn màu trắng với chi phí đồng/.
Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng)
Câu 6. Trong không gian , cho mặt phẳng : và mặt cầu . Lấy thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng là lớn nhất. Giá trị của biểu thức là
-------- HẾT--------
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
SỞ GD & ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT NHO QUAN A
HDG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024-2025 LẦN 1
Môn thi: Toán
Thời gian: 90 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Họ và tên thí sinh:…………………………………………………Số báo danh:……………......
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
1.C
2.D
3.A
4.D
5.A
6.D
7.B
8.C
9.A
10.A
11.A
12.A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
a) Đ
a) Đ
a) S
a) Đ
b) Đ
b) S
b) Đ
b) S
c) S
c) S
c) Đ
c) S
d) S
d) Đ
d) S
d) S
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu
1
2
3
4
5
6
Chọn
0,84
222
27
1000
730
5
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, gồm 12 câu, tổng 3,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
Câu 13. Khi đó các phương trình có nghiệm duy nhất và đổi dấu qua các nghiệm đó. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Cho hàm số liên tục trên sao cho . Xét . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Đặt . Ta có hàm số đồng biến trên . Mà .
Suy ra: .
Suy ra .
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
Câu 15. Chuồng gà thứ nhất có con mái và con trống. Chuồng gà thứ hai có con mái và con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ngẫu nhiên ra một con đem bán. Các con gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên một con gà nữa từ chuồng này ra thì xác suất bắt được con gà trống là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là biến cố “Bắt được con trống ở chuồng gà thứ nhất”
Gọi là biến cố “Bắt được con mái ở chuồng gà thứ nhất ”
Gọi là biến cố “Bắt được con trống ở chuồng gà thứ hai”
Gọi là biến cố “Bắt được con mái ở chuồng gà thứ hai”
Gọi là biến cố “Bắt được con gà trống ở chuồng thứ ba”
Ta có
Xác suất bắt được 2 con trống từ hai chuồng thứ nhất và chuồng thứ hai là (việc bắt gà ở mỗi chuồng là độc lập với nhau)
Xác suất bắt được 2 con mái từ hai chuồng thứ nhất và chuồng thứ hai là
(việc bắt gà ở mỗi chuồng là độc lập với nhau)
Xác suất bắt được 1 con mái và một con gà trống từ chuồng thứ nhất và chuồng thứ hai là

Xác suất để bắt được con gà trống từ chuồng thứ ba là
.
Câu 16. Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình ; trong đó là thời gian được tính bằng giây và quãng đường được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng mấy lần?
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Cho tam giác biết và là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng , . Gọi là điểm thỏa . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
 ; .
Mà .
Với  ; .
Ta có:   hay vuông tại .
Gọi là trung điểm .
Suy ra, đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm và bán kính .
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác : .
Câu 18. Lớp có học sinh gồm 23 bạn nữ và 22 bạn nam, trong đó bạn Việt (nam) làm lớp trưởng. Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kỉ yếu trong đó có 21 bạn đứng hàng trước trong đó có bạn Việt đứng ở chính giữa và 24 bạn đứng hàng sau. Số cách sắp xếp là
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. Đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ dưới đây(phần cong của đồ thị là một phần của Parabol ). Tính .
.
A. . B. . . C. . D. .
Lời giải
.
Ta có bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi , , Parabol , , .
Với qua , nên có pt: ; qua , nên có phương trình: ; qua và có đỉnh nên .
Vậy .
Câu 20. Cho hàm sốxác định và liên tục trên , biết hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. Một quả bóng cao su từ độ cao so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng hai phần năm độ cao lần rơi ngay trước đó. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống.
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng  lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội .
Suy ra .
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên là
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội .
Suy ra .
Vậy tổng quãng đường bóng bay là .
Câu 22. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , . Gọi là trung điểm của cạnh , biết hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy và . Tính góc giữa hai mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Đặt .
Ta có
Ta có .


Câu 23. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
A1.Q1.T0
Lời giải
Ta có
Xét

Ta xét
Ta có
Bảng biến thiên:
Vậy và phương trình có nghiệm kép
Xét hàm số
Ta có hàm số đồng biến trên
Bảng biến thiên:
Câu 24. Phương trình có điểm biểu diễn các nghiệm thuộc khoảng trên đường tròn lượng giác là một đa giác. Tính diện tích đa giác đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Họ nghiệm có một nghiệm thuộc khoảng là .
Họ nghiệm .
Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng là , , và .
Ta có điểm biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác như sau:
Các nghiệm , , và lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm .
Diện tích tứ giác là
với ; ; .
Vậy .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng 4,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 2. Một mô hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) .
b) Gọi là điểm nằm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại. Thể tích của khối chóp bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Góc nhị diện có độ lớn bằng (kết quả làm tròn đến phút).
d) Khoảng cách giữa và mặt phẳng bằng . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 3. Cho hàm số , với , . Biết trên khoảng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại .
a) Đạo hàm của hàm số bằng
b) Điểm là một điểm cực tiểu của hàm số.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại trên đoạn .
L giải
a) Tập xác định của hàm số là .
Ta có: . Mệnh đề đúng.
b) Vì trên khoảng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại nên hàm số đạt cực đại tại và . Mệnh đề sai.
c) Ta có
Theo trên, hàm số đạt cực đại tại .
.
Khi đó . (đều là các nghiệm đơn)
Mệnh đề sai.
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại trên đoạn .
Ta có . (đều là các nghiệm đơn).
Hàm số đạt cực đại tại nên có bảng biến thiên:
là điểm cực tiểu duy nhất thuộc .
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại trên đoạn .
Mệnh đề đúng.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau, chỉ ra mệnh đề đúng, mệnh đề sai.
a) .
b) Nước chảy từ đáy của một bồn chứa với tốc độ (lít/phút), trong đó . Lượng nước chảy ra khỏi bồn chứa trong phút đầu tiên bằng (lít).
c) với và tối giản thì .
d) với thì .
Lời giải
(a). SAI
.
(b). ĐÚNG
Lượng nước chảy ra khỏi bồn chứa trong phút đầu tiên là
(lít).
(c). ĐÚNG
Ta có
. Do đó .
(d). SAI
Ta có với mọi và phương trình có nghiệm trên đoạn .
Do đó
Do đó .
Câu 6. Trong một công ty có 40 nhân viên, trong đó có 27 người thích chơi bóng bàn, 25 người thích
chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên trong công ty đó. Trrong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Xác suất để người đó thích chơi ít nhất một trong hai môn bóng bàn và cầu lông không vượt quá .
b) Xác suất để người đó thích chơi cả hai môn cầu lông và bóng bàn ít nhất là .
c) Xác suất để người đó không thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông ít nhất là .
d) Xác suất để người đó không thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông nhiều nhất là .
Lời giải
Gọi là biến cố: Người đó thích chơi bóng bàn; là biến cố: Người đó thích chơi cầu lông.
Theo bài ra ta có: .
Gọi . Khi đó ta có:
Biến cố đối của biến cố : Người đó thich chơi ít nhất một trong hai môn bóng bàn và cầu lông là biến cố : Người đó không thích chơi cầu lông và bóng bàn.
Ta có: . Vậy .
Vậy (a) ĐÚNG.
Ta cần tính .
Ta có: .
Vậy (b) SAI.Ta cần tính .
Ta có: .
Vậy (c) SAI.Ta cần tính .
Ta có:
Vậy (d) SAI.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn, gồm 6 câu, tổng 3,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 7. Có hai chiếc hộp, hộp I có viên bi màu trắng và viên bi màu đen; hộp II có viên bi màu trắng và viên bi màu đen. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi, giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I (làm tròn chữ số thập phân).

Lời giải
Trả lời:
Xét các biến cố
: “Viên bi lấy ra là viên màu trắng”.
: “2 viên bi lấy ra từ hộp I có màu trắng”.
: “2 viên bi lấy ra từ hộp I có màu đen”.
: “2 viên bi lấy ra từ hộp I có cả hai màu đen trắng”.
Ta có

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

Từ yêu cầu, ta cần tìm .
Áp dụng công thức Bayes, ta có
.
.
Câu 8. Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất viên kim cương to và viên kim cương nhỏ. Từ một tấn các bon loại (giá triệu đồng) có thể chiết xuất được viên kim cương to và viên kim cương nhỏ, từ một tấn Cacbon loại (giá triệu đồng) có thể chiết xuất được viên kim cương to và viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá triệu đồng, mỗi viên kim cương to giá triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa tấn Cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua Cacbon không vượt quá triệu đồng.

Lời giải
Trả lời:
Gọi (tấn) lần lượt là số tấn Cacbon loại và loại sử dụng mỗi tháng,
Số viên kim cương loại to là
Số viên kim cương loại nhỏ là
Tổng số tiền mua Cacbon là
Số tiền thu vào từ bán kim cương là
Số tiền lãi mỗi tháng là
Ta có hệ bất phương trình:
Miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác , trong đó tọa độ các đỉnh là
, , , , ,
Tại điểm ta có là giá trị lớn nhất, vậy mỗi tháng công ty lãi nhất là triệu
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng ; . Đường thẳng song song với mặt phẳng và cắt hai đường thẳng lần lượt tại sao cho là ngắn nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu ?

Lời giải
Do cắt hai đường thẳng lần lượt tại ta có .
Có .
Đường thẳng song song với mặt phẳng .
Suy ra .
Suy ra là ngắn nhất bằng khi .
Câu 10. Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500.000 đồng/ ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50.000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất?

Lời giải
Gọi giá tiền mà chủ khách sạn cho thuê một phòng là (nghìn đồng). ()
Vì cứ tăng giá thêm 50.000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống nên số phòng được thuê là: (phòng).
Khi đó tổng doanh thu tương ứng trong 1 ngày là: (nghìn đồng).
Đặt. Ta có:
.
Vì là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên đạt giá trị lớn nhất tại .
Vậy để tổng doanh thu là lớn nhất thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá (nghìn đồng) một ngày (tức 1 triệu đồng một ngày).
Câu trả lời là: 1000 nghìn đồng.
Câu 11. Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng , người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí đồng/; phần còn lại sơn màu trắng với chi phí đồng/.
Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng)

Lời giải
Đáp án: nghìn đồng.
Phần giải chi tiết
Dựa vào đồ thị, ta thấy:
+ Parabol có đỉnh là nên
Mặt khác, thuộc parabol nên
+ Parabol có đỉnh là nên
Mặt khác, thuộc parabol nên
+ Diện tích logo hình con cá là:
+ Diện tích phần được sơn màu trắng là:
+ Chi phí để trang trí là: (đồng).
Câu 12. Trong không gian , cho mặt phẳng : và mặt cầu . Lấy thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng là lớn nhất. Giá trị của biểu thức là

Lời giải
Đáp án:
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Ta có: . Suy ra mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung. Từ đó, điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách nhỏ nhất hoặc lớn nhất tới mặt phẳng là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua và vuông góc với .
Trước hết ta lập phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với .
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến là .
Vì nên nhận làm véctơ chỉ phương.
Từ đó có phương trình với .
Ta tìm giao điểm của và . Xét hệ:

. Suy ra có hai giao điểm là và .
Ta có: ; .
Suy ra . Từ đó ; ; .
Vậy .
-------- HẾT--------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De chon HSG cap tinh Toan 12 THPT Quan Nho A 24 25 Lan 1