onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ I. SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
CHỦ ĐỀ 1. TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với a,b Z, b 0. Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới dạng phân số có mẫu dương.
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có hoặc x = y, hoặc x < y, hoặc x > y. Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó:
- Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;
- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số
Phương pháp giải: Sử dụng các kí hiệu , , N, Z,Q để biểu diễn mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập hợp với nhau.
1A. Điền kí hiệu thích hợp ( , , N, Z,Q) vào ô trống
6 N; - 4 N; - 9 Z; - 2 Q;
Z; Q; Z N; N Z Q.
; Z ; Z .
1B. Điền kí hiệu thích hợp (, , N, Z,Q) vào ô trống
2 N; 1 Q; - 11 Z; Q.
Z; N; Z; Z Q.
; Q .
Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ
Phương pháp giải:
- Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số với a,b Z, b ≠ 0.
- Khi biểu biễn số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số có mẫu dương tối giản nhất. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết đoạn thẳng đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
- Số hữu tỉ âm sẽ nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ đó, tương tự với số hữu tỉ dương.
2A. a) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:
b) Cho các phân số sau: .Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
2B. a) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:
b) Cho các phân số sau: Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
Dạng 3. Tìm điền kiện để số hữu tỉ âm hoặc dương
Phương pháp giải:
- Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu.
- Số hữu tỉ là số hữu tỉ âm khi a,b khác dấu.
3A. Cho số hữu tỉ Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương; b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
3B. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương; b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
Dạng 4. So sánh hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước sau:
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương;
Bước 2. Đưa các phân số ở bước 1 về cùng mẫu số (qui đồng);
Bước 3. So sánh các tử của các phân số ở bước 2, phân số nào có tử lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
Lưu ý: Ngoài phương pháp so sánh hai phân số theo cách trên, ta có thể sử dụng linh hoạt các phương pháp khác như: So sánh trung gian, so sánh phần bù, so sánh hai phân số có cùng tử số...
4A. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) và ; b) và ;
c) và ; d) và .
4B. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) và ; b) và ;
c) và ; d) và .
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Điền kí hiệu thích hợp (, ,)vào ô trống
-5 N; Q; - 2 Z; Z.
Z; Q; N; N Q.
6. Điền các kí hiệu thích hợp N,Z,Q vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể):
5 ; 12 ; ; N ;
Z -2
7. Cho các phân số . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
8. So sánh các số hữu tỉ sau:
và ; b) và ;
c) và ; d) và .
9. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương; b) x là số âm;
c) x không là số dương và cũng không là số âm.
10. Cho hai số hữu tỉ và ( a,b,c, d Z, b > 0, d > 0). Chứng minh ad < bc khi và chỉ khi <
11*. Cho số hữu tỉ ( a ≠ 0). Với giá trị nào của a thì x đều là số nguyên?
12*. Cho x, y, b,d N*. Chứng minh nếu < thì < <.
HƯỚNG DẪN
1A. 6 N - 4 N -9 Z - 2 Q


1B. Tương tự 1A
Lưu ý:
2A. a) Học sinh tự vẽ biểu diễn b)
2B. Tương tự 2A
a) Học sinh tự vẽ b)
3A. a) Để x là số dương thì .Từ đó tìm được
b) Để x là số âm thì .Từ đó tìm được
c) x = 0. Ta tìm được
3B. Tương tự 2A
a) b) c)
4A. a) ta có nên
b) nên
c) Ta có và nên
d)
4B. Tương tự 4A
a)
5. Tương tự 1A.
6. Tương tự 1A.
Lưu ý:
7. Tương tự 2A.
8. Tương tự 4A.
a) b) c) d)
9. Tương tự 3A.
a) b) c)
10. Nếu ad < bc =>
Ngược lại nếu
11*. . Để x là số nguyên thì
12*. Ta có : => ad < bc => ady < bcy => ady + abx < bcy + abx
=> a ( bx + dy) < b ( ax+ cy) => <
Ta có: => ad < bc => adx < bcx => adx + cdy < bcx + cdy
=> d ( ax + cy) < c (bx + dy) =>
Từ (1) và (2) suy ra
CHỦ ĐỀ 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
- Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số;
- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với số đối.
2. Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó dấu + thành dấu và dấu thành dấu “-” thành dấu “+”
3. Chú ý
Trong Q ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong Z.
Với x, y, z Q thì: x- (y - z) = x - y + z; x - y + z = x - (y - z).
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để cộng, trừ hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số cùng một mẫu dương:
Bước 2. Cộng, trừ hai tử, mẫu chung giữ nguyên:
Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể)
1A. Tính
a) ; b) ;
c) ; d)
1B. Tính:
a) ; b) ;
c) ; d)
Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước sau
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương
Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành, hiệu của hai số nguyên;
Bước 3. Tách ra hai phân số có tử là các số nguyên tìm được;
Bước 4. Rút gọn phân số (nếu có thể).
2A. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ dưới dạng hiệu của hai số hữu tỉ dương
2B. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ dưới dạng hiệu của hai số hữu tỉ dương
Dạng 3. Tính tổng hoặc hiệu của nhiều số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để tính tổng hoặc hiệu của nhiều số hữu tỉ ta thực hiện đúng thứ tự phép tính đối với biểu thức có ngoặc hoặc không ngoặc. Sử dụng các tính chất của phép cộng số hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể)
3A. Thực hiện phép tính ( hợp lí nếu có thê):
a) ; b) .
3B. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):
a) b)
Dạng 4. Tính tổng dãy số có quy luật
Phương pháp giải: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính
4A. a) Tính
b) Tính A + B và A + B + C.
c) Tính nhanh:
4B. a) Tính M =
b) Tính M + N và M + N + P.
c) Tính nhanh:
Dạng 5: Tìm x
Phương pháp giải: Ta sử dụng quy tắc chuyển vế biến đổi hạng tự do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác.
5A. Tìm x, biết
a) b)
5B. Tìm x, biết:
a) b)
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. Tính:
a) b)
c) d)
7. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ dương.
8. Tìm x, biết:
a) ; b) ;
c) ; d) .
9*. Tính nhanh;
;
.
HƯỚNG DẪN
1A. a)
1A. a)
Tương tự b) c) d)
1B. Tương tự 1A
2A. Ta có thể viết thành các số như sau:
a) ; ;
b) ; ;
2B. Tương tự 2A
3A. a) Ta thực hiện
b) Ta thực hiện
3B. Tương tự 3A
a) ; b) -3
4A. a) b) A + B = ; A + B + C =
c)


4B. Tương tự 4A.
a) b) M + N = ; M + N + P =
c)
5A. a) Ta thực hiện
b)
5B. Tương tự 5A.
a) b)
6. a) b) c) d)
7. a) ;
b)
8. a) ; b) ; c) ; d) ;
9*. a)

c) Ta có
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ 3. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Nhân, chia hai số hữu tỉ
- Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
- Phép nhân số hữu tỉ cũng có bốn tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, phân phối với phép cộng và phép trừ tương tự như phép nhân số nguyên;
- Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo.
2. Tỉ số
Thương của phép chia x cho y (với y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là hoặc x: y.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Nhân, chia hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để nhân chia hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số;
Bước 2. Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể)
1A. Thực hiện phép tính
a) b)
c) d)
1B. Thực hiện phép tính:
b)
c) d)
Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số (PS có thể không tối giản);
Bước 2. Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;
Bước 3. Tách ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên vừa tìm được;
Bước 4. Lập tích hoặc thương của các phân số đó.
2A. Viết số hữu tỉ dưới các dạng:
a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là ;
b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là .
2B. Viết số hữu tỉ dưới dạng:
a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là ;
b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là .
Dạng 3. Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ
Phương pháp giải:
- Sử dụng đúng bốn phép tính của số hữu tỉ;
- Sử dụng các tính chất của các phép tính để tính hợp lí (nếu có thể);
- Chú ý dấu của kết quả và rút gọn.
3A. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
a) b) ;
c) d) .
3B. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
a) ; b) ;
c) ; d) .
Dạng 4. Tìm x
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế biến đổi số hạng tự do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác. Sau đó, sử dụng các tính chất của phép tính nhân, chia các số hữu tỉ.
4A. Tìm x biết:
a) ; b) ;
c) ; d) .
4B. Tìm x, biết:
a) ; b) ;
c) ; d) .
Dạng 5. Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên
Phương pháp giải: Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tách số hữu tỉ về dạng tổng hoặc hiệu giữa một số nguyên và một phân số (tử không còn x);
Bước 2. Lập luận, tìm điều kiện để phân số đó có giá trị nguyên. Từ đó dẫn đến số hữu tỉ có giá trị nguyên
5A. Cho và
a) Tính A khi x = l; x = 2; x =
b) Tìm x Î Z để A là số nguyên.
c) Tìm x Î Z để B là số nguyên.
d) Tìm x Î Z để A và B cùng là số nguyên.
5B. Cho và
a) Tính A khi x = 0; x = ; x = 3
b) Tìm x Î Z để C là số nguyên.
c) Tìm x Î Z để D là số nguyên.
d) Tìm x Î Z để C và D cùng là số nguyên.
IlI. BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
a) ; b) ;
c) ; d)
7. Tìm x, biết
a) ; b) ;
c) ; d) .
8. Cho và
a) Tìm x Î Z để A; B là số nguyên.
b) Tìm xÎ Z để A và B cùng là số nguyên.
HƯỚNG DẪN
1A. a) b)
Tương tự c) d) 2.
1B.Tương tự 1A.
a) b) c) d) 3.
2A. a) b)
2B.Tương tự 2A a) b)
3A. a)
b)
c)
d)
3B.Tương tự 3A
a) b) c) d) 0.
4A.
a) .;
b)
c) Từ đề bài ta có x - = 0 hoặc x +=0 . Tìm được x = hoặc x = -
d) Tương tự, x = hoặc x = .
4B.Tương tự 4A
a) .; b)
c) x - hoặc x = d)x = hoặc x = .
5A.
a) Thay x =1 vào A ta được A =
Thay x = 2 vào A ta được A = -8
Thay x = vào A ta được a = -19
b) ta có Để A nguyên thì tìm được x{- 8;2;4;14}
c) Ta có B=
Tương tự ý b) Tìm được x { -10;-4;-2;4}
d) Để A và B cùng là số nguyên thì x = 4
5B. Tương tự 5A
a) x = 0 => C = -; x = => C = 0; x = 3 => C = 1
b) Biến đổi C = 2 - , từ đó tìm được x { - 7; -3; -1;3}
c) Biến đổi D = x - 3 + , từ đó tìm được x {-5;-3;-2;0;1;3}
d) x {3}
6. a) -14 b) c) d)
7. Tương tự 4A
8. Tương tự 5A
CHỦ ĐỀ 4. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
- Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.
x khi x ≥ 0
|x| =
-x khi x < 0
- Tính chất:
+ Ta có |x| ≥ 0 với mọi x Î Q. Dấu “=” xảy ra Û x = 0.
+ Ta có |x| ≥ x và |x| ≥ - x với mọi x Î Q.
+ Ta có |x| = |-x| với mọi x Î Q.
+ Với a > 0, ta có:
* |x| = a ó x = ± a
* |x| ≤ a ó - a ≤ x ≤ a
x < -a
* |x| > a ó
x > a
x = y
+ Ta có |x| = |y| ó
x = -y
2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân
- Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép cộng, trừ, nhân, chia phân số.
- Trong thực hành, khi cộng, trừ, nhân hai số thập phân thường áp dụng quy tắc về giá trị tuyệt đối, về dấu tướng tự như đối với số nguyên.
- Với x, y Î Q ta có:
xy = |x|.|y| và khi x,y cùng dấu.
xy = -|x|.|y| và khi x,y trái dấu.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ, tính giá trị (hoặc rút gọn) biểu thức hữu tỉ
Phương pháp giải: Ta sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ
x khi x ≥ 0
|x| =
-x khi x < 0
1A. Tính: |- 4, 8|; |0, 5|; - |- 3, 4|; |- 10|; - |- 1,6|.
1B. Tính: |- 3, 2|; |l, 7|; -|- 4, 5|; |- 2l|; - |-3,5|.
2A. Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = 3x3 - 6x2 + 2 |x| + 7 với
b) B = 4 |x|- 2|y| với và y = -2
2B. Tính giá trị của các biểu thức:
a) C = 6x3 - 3x2 + 2|x| + 4 với ;
b) D = 2|x| - 3|y| với và y = -3.
3A. Rút gọn biểu thức khi:
a) ; b) .
3B. Rút gọn biểu thức khi:
a) ; b) .
Dạng 2. Tìm giá trị của biến thỏa mãn một đẳng thức hữu tỉ cho trước
Phương pháp giải: Ta sử dụng một số chú ý sau:
x khi x ≥ 0
* |x| =
-x khi x < 0
* |x| = a ó x = ± a ( với a ≥0 cho trước).
a ≥ 0
* |x| = a ó
x = ± a
* |x| ≥ 0 với mọi x hữu tỉ. Dấu “=” xảy ra ó x = 0
4A. Tìm x biết:
; b) ;
c) ; d) .
4B. Tìm x biết:
a) ; b) ;
c) ; d).
Dạng 3. Tìm giá trị của biến thỏa mãn một bất đẳng thức hữu tỉ cho trước
Phương pháp giải: Ta sử dụng một số chú ý sau:
- Ta có |x| < a ó-a< x < a với a > 0
- Ta có |x| ≤ a ó-a ≤ x ≤ a với a > 0
- Ta có với a > 0
- Ta có với với 0 < a < b
5A. Tìm x biết:
a) ; b) .
5B. Tìm x biết:
a) ; b) .
Dạng 4. Cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân
Phương pháp giải:
- Áp dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân.
- Vận dụng các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối…
6A. Thực hiện phép tính:
a) A = 1,3 + 2,5; b) B = -4,3 - 13,7 + (-5,7) - 6,3;
c) C = 25.(-5).(-0,4).(-0,2) d) D = |11,4 - 3,4| + |12,4 - 15.5|
6B. Thực hiện phép tính:
a) M = 2,4 + 13,5; b) N= 5,2 + (+6,7) - (-4,8) + 2,3;
c) P = 10. (-25).0,4.(-0,1); d) Q= |16,5 – 12,5|+|5,4 - 9,5|.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Tính giá trị của các biểu thức:
a) với ;
b) Q = 2|x - 2| -3|1- x| với |x - 1|=4
8. Rút gọn trong các trường hợp sau:
a) ; b) ; c) .
9. Tìm x, biết:
a) ; b);
c) ; d) .
10. Tìm x biết:
a) ; b) .
11. Cho biết a = 2,5; b = - 6,7; c = 3,1 và d = - 0,3. Hãy so sánh các hiệu sau:
a) a - b và b - a; b) b - d và d - b; c) b - c và c – b.
12* . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) ; b) .
13*. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) ; b) .

HƯỚNG DẪN
1A. Ta có : |-4,8|= 4,8 |0,5| = 0,5
- |-3,4| = -3,4; |-10| = 10; -|- 6|= -1,6
1B. Tương tự 1A
2A. a) Thay x = - vào biểu thức A ta được
d) Tương tự
2B. Tương tự 2A
a)
b)
3A. a)
b)
3B. Tương tự 3A
a) b)
4A. a) Từ đề bài ta suy ra |x- 2,5|= . Do đó ta có x - 2,5= hoặc
x - 2,5 = . Tìm được
b) Từ đề bài ta suy ra ra . Tìm được
c) Từ đề bài ta suy ra ra|0,5x - 2|=. Do đó ta có 0,5 x - 2 = x + hoặc 0,5x - 2 = x - . Tìm được
d) Với x -1 thì |x + 1| = x +1, thay lại đề bài ta có 2x - ( x + 1) = -. Tìm được x = ( TM)
Với x < -1 thì |x + 1| = - x - 1 thay lại vào đề bài ta có 2x - ( - x - 1) = . Tìm được x = ( KTM). Vậy x =
4B. Tương tự 4A
a) b)
c) d) x=
5A. a) Vì | x- 0,6| < nên suy ra - < x - 0,6 < . Từ đó tìm được
b) Từ đề bài ta suy ra , đo đó ta có x + 3,5
hoặc x + -3,5. Từ đó tìm được x 0 hoặc x -7
5B. Tương tự 5A a) b) x hoặc x <
6A. a) A= 3,8

onthicaptoc.com Cong tru so huu ti