CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ
A. LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa:
- Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên
2. Tính chất:
- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy
thừa chẵn
- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
- Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.
B. LUYỆN TẬP :
Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho số ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2).
Chứng minh rằng A là số chính phương
HD:
Ta có:
, là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng số có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương
của 1 số tự nhiên
HD:
Đặt
Ta có:

Bài 3 : Chứng minh rằng số là số chính phương 
HD :
Biến đổi khi đó A là số chính phương
Bài 4 : Chứng minh số là số chính phương.
HD :
Biến đổi tổng khi đó B là số chính phương
Bài 5 : Chứng minh rằng số là số chính phương.
HD :
Biến đổi khi đó C là số chính phương
Bài 6 : Chứng minh rằng cũng là số chính phương
HD :


Vậy A là số chính phương.
Bài 7 : Chứng minh rằng cũng là số chính phương.
HD :

, Vậy B là số chính phương
Bài 8 : Cho (2008 chữ số 1) và ( 2007 chữ số 0).
Chứng minh rằng: là số tự nhiên.
HD:
Ta có:

Vậy là 1 số tự nhiên
Bài 1 : Cho , Chứng minh rằng  là số chính phương.
HD:
Ta có:
, Vậy là số chính phương.
Bài 1: Cho số nguyên dương n và các số và .
Chứng minh rằng: là số chính phương.
HD:
Ta có:



Vậy là số chính phương.
Bài 1: Cho: ( 2m chữ số 1); (m + 1 chữ số 1); (m chữ số 6) .
Chứng minh là số chính phương
HD:
Ta có: và và
Khi đó :
Mà . Vậy là số chính phương.
Bài 9 : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; …. Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
HD :
Xét số tổng quát :



Mà có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính phương
Bài 1: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn:
Chứng minh rằng là số chính phương.
HD:
Ta có: (*)
Gọi d là với , Thì:
,
Mà : , mà
Do đó : , Từ (*) ta được : là số chính phương
Vậy là số chính phương.
Bài 1: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn :
Chứng minh : đều là các số chính phương.
Bài 1: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của .
CMR : không là số chính phương.
HD:
Giả sử: là số chính phương. Đặt: (1)
Theo bài ra ta có: Thay vào (1) ta được :

Do là các số chính phương, nên là số chính phương.
Mặt khác: không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử)
Vậy không là số chính phương.
Bài 1: Chứng minh: là số chính phương
Bài 10 : Chứng minh rằng : thì là số chính phương.
HD :
Ta có :


là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 nên là số chính phương.
Bài 11 : Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.
HD:
Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là:
Xét tích:
Dễ dàng nhận thấy: Vậy P không thể là số chính phương.
Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :
là số chính phương.
HD :
Ta có :
Đặt Khi đó :
. Vậy A là số chính phương.
Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.
HD :
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : . Ta có :

, Đặt
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính
phương.
HD :
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là
Xét
Nhận thấy nhưng không chia hết cho 25 vì không có tận cùng là 3 hoặc 8
Bài 1: Chứng minh rằng: thì không thể là số chính phương.
HD:
Giả sử:
phải là số chính phương.
Ta lại có: , Do không phải là số chính phương.
Vậy không thể là số chính phương.
Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương
HD :
Gọi
Xét

Như vậy chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không có số dư là 2,
Vậy không là 1 số chính phương
Bài 17 : Chứng minh rằng: , không phải là số chính phương
HD:
Ta có:
Vì không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương
Bài 18 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số
chính phương
HD :
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên và p không chia hết cho 4 (1)
Giả sử là số chính phương. Đặt
Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> lẻ => m lẻ
Đặt
mâu thuẫn với ( 1)
Vậy p+1 không thể là số chính phương
Lại có : là 1 số chia hết cho 3 => ( Vô lý)
Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số chính phương
Bài 19 : Cho . Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp
không có số nào là số chính phương.
HD :
Ta có :
Thấy => không là số chính phương
Và là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2N không là số chính phương
Và lẻ nên không chia hết cho 4
không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương.
Bài 20 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp không có số nào là số chính
phương, trong đó :
HD :
Ta thấy : không là số chính phương
không là số chính phương
Giả sử : lẻ Vô lý
Vậy ta có đpcm
Bài 21 : Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị là 6,
Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1 số chính phương.
HD :
Theo tính chất : ‘ Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là 1 số lẻ, vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1 ;3 ;5 ;7 ;9 khi đó tổng của chúng là :
1+3+5+7+9=25 là 1 số chính phương
Bài 22 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn :
Chứng minh rằng: là số chính phương
HD:
Ta có:

Tương tự : và
Khi đó : ,
Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương
Bài 23 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: , Chứng minh rằng là bình phương của 1 số hữu tỉ
HD:
Ta có:

Bài 1: Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và .
Chứng minh rằng một trong ba số a,b,c là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 1: Cho đa thức bậc ba với hệ số là 1 số nguyên dương và
Chứng minh rằng: là hợp số
HD:
Ta có: ,
Theo đề bài ta có:
Và :
. Vì a nguyên dương nên: ,
Vậy là hợp số.
Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương.
HD :
Giả sử: và
Ta có:
, ĐPCM.
Bài 1: Cho .
Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho p.
Bài 1: Với là số nguyên dương , đặt: , Với
Chứng minh: . Tìm số n để là số chính phương.
Bài 1: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì 5n + 3 không phải là số nguyên tố.
Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn:
Chứng minh rằng : không thể là một số nguyên tố
Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3. Số (n là số tự nhiên) là số nguyên tố hay hợp số.
Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1 chữ số 1
có dạng như sau: 10101; 101010101; …..; 1010……101; ….. (n nguyên dương)
Chứng minh các số trên đều là hợp số.
Bài 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng là hợp số.
Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số.
Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm nguyên dương.
Chứng minh rằng là hợp số
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số: là hợp số với mọi số nguyên dương k.
Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết dưới dạng thập phân thì ta luôn có chữ số hàng chục là một số lẻ.
Bài 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
Bài 1: Chứng minh rằng: không thể là số chính phương, với mọi p, q là các số nguyên không âm
Bài 1: Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình: .
Chứng minh là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 1: Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn:
Chứng minh
Bài 1: Chứng minh rằng nếu ba số a, a + k và a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6
Bài 1: Chứng minh số là số chẵn.
Bài 1: Cho là số nguyên tố . Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố .
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2.
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
Bài 1: Cho a + 1 và 2a + 1 (a Î N) đồng thời là hai số chính phương.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
Bài 1:Cho hai số A = (20182017 + 20172017)2018 ; B = (20182018 + 20172018)2017
Chứng minh rằng: A > B.
Dạng 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng và đều là các số chính phương.
HD :
Ta có : , tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được :
25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n bằng 12 ;24 ;40 ;60 ;84
Thay n vào ta được các giá trị lần lượt là : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153
Và thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40
Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + 26 và n - 11 đều là lập phương của 1 số nguyên dương.
HD:
Giả sử: với
Lấy (1) –(2) theo vế ta được:
Mà và nên ta có:

Bài 1 : Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho và đều là các số chính phương.
HD:
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho:
Vì là hai số có cùng tính chẵn lẻ và Nên:
TH1: hoặc: (loại)
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương.
HD:
Giả sử và
Suy ra: , Vì
Khi đó:
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để : và là hai số chính phương.
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho: là bình phương của số tự nhiên.
Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để là số chính phương
Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để n2 + 2010 là số chính phương.
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
HD:
Ta có: là số chính phương nên A có dạng :

, Vì .
Vậy với thì A là số chính phương.
Bài 1: Tìm các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương.
Bài 1: Tìm số tự nhiên a sao cho : có giá trị là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho là một số chính phương.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức là một số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sau cho: là số chính phương.
Bài 1:Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: là số chính phương?
Bài 1: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để là số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để : là số chính phương
Bài 3 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m ; n) sao cho và
HD :
Ta có : lẻ. Giả sử :
TH1 : do
TH2 : do
Vậy có 5 cặp số nguyên dương tìm được :
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương
HD:
Đặt

Nhận xét: nên ta có các TH sau:
TH1: Vậy số tự nhiên cần tìm là 4
Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho: là số chính phương.
HD:
Đặt

Nhận xét: và chúng là các số dương nên ta có:

Bài 6 : Tìm số tự nhiên n sao cho 13n +3 là số chính phương.
HD:
Đặt
mà 13 là số nguyên tố nên hoặc =>
Khi đó:
Vậy với thì 13n+3 là số chính phương
Bài 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
HD:
Đặt

Nhận thấy và chúng là những số lẻ nên ta có các TH
Xét các Th ta có các giá trị của n là: 1588; 316; 43; 28
Bài 8 : Tìm a để là số chính phương
HD:
Làm tương tự như trên ta có:
Bài 9 : Tìm a để là số chính phương
HD:
Làm tương tự ta có
Bài 10 : Tìm a để là số chính phương
HD :
Làm tương tự như các bài trên ta có :

Bài 11 : Tìm số tự nhiên n để : là số chính phương
HD :
Làm tương tự như trên ta có :
Bài 12 : Tìm số tự nhiên n sao cho : là số chính phương.
HD :
Làm tương tự như trên ta có :
Bài 13 : Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương
Bài 14 : Tìm số tự nhiên n để là số chính phương
Bài 15 : Tìm số tự nhiên n để là số chính phương
HD :
Đặt
Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác : => 2 số m+n và m-n cùng tính chẵn lẻ (2)
Như vậy m+n và m-n là hai số chẵn=> nhưng 2006 không chia hết cho 4
Dẫn đến mâu thuẫn, vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn
Bài 16 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để : là số chính phương
HD :
Đặt , Vì chia 3 dư 1
chia 3 dư 1=> n chẵn
TH1: Nếu n=0=>
TH2: Nếu vô lý
Vì số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Vậy n=0 là số cần tìm
Bài 17 : Tìm tất các các số nguyên n để : là số chính phương
HD :
Đặt
hoặc :
Khi hoặc không phải là số chính phương
Với và
Ta có : , lúc đó :
Bài 18 : Tìm các số nguyên dương n sao cho số có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai số nguyên dương.
HD :
Giả sử : với
Dễ thấy: chẵn
Đặt . có:
thay vào ta lại có tiếp:
, Vô lý vậy không tồn tại n thỏa mãn.
Bài 19 : Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
HD:
Gỉả sử:
với khi đó ta có:
và
Thử lại ta thấy
Bài 20 : Tìm các số tự nhiên n để là số nguyên tố
HD:
Ta có:

Để là số nguyên tố thì
Thử lại với là số nguyên tố
Bài 21 : Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng . trong đó , biết p có không nhiều hơn 19 chữ số.
HD:
Ta thấy n=1 thỏa mãn:
Với ta có:
TH1: Nếu n lẻ thì: và
TH2: Nếu với t lẻ. Khi đó;
TH3: Nếu thì
Thử và nhận thấy n=2, n=4, n=8 thỏa mãn.
Bài 22 : Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau :
HD :
Ta có : và và
Vô lý, Vậy không tồn tại p và q thỏa mãn.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của là một số chính phương.
HD:
a. Vì p là số nguyên tố nên có các ước tự nhiên là:
Giả sử:
( 1)
Mặt khác: (2)
Từ (1) và (2)
Do đó
Vì
Bài 1: Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương của tổng 4 số còn lại
Bài 2: Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố x để tổng các ước tự nhiên của là một số chính phương.
Bài 5: Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 2016) sao cho xy+x và xy+y là bình phương của hai số nguyên dương khác nhau
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố n để: là một số chính phương.
Bài 1: Cho một số tự nhiên có 4 chữ số abcd. Biết rằng a, b,c,d là 4 chữ số liên tiếp từ nhỏ đến lớn. Biết bacd là một số chính phương. Tìm abcd
Bài 2: Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phương và nếu ta
thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương.
Dạng 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: trong đó và
và đồng thời A viết được dưới dạng với là bốn số nguyên tố.
HD:
Ta có:


Như vậy phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13
Do
=>
Vậy hoặc
Bài 2 : Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng
nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị
vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương
HD:
Gọi là số phải tìm, a, b, c, d
Với , ta có :

Do đó :
Nên hoặc : hoặc 
Vậy
Bài 3 : Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn: Tích của hai số bất kỳ trong ba số ấy cộng
với 1 chia hết cho số còn lại.
HD:
Gọi ba số càn tìm là: , giả sử :
Ta có: và và , Như vậy ,
Nhân theo vế ta được :
(1)
TH1 : Nếu là số lẻ. Từ (1) =>
Từ đó ta tìm được a=7, b=3
TH2 : Nếu hoặc
Xét dư 1 (loại)
Xét làm tương tự như trên, ta thấy không có bộ ba số nào thỏa mãn:
Vậy bộ ba số cần tìm là: 7; 3; 2
Bài 4 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B
HD :
Gọi , Khi đó :

onthicaptoc.com 8 Chuyen de boi duong HSG toan 8 So chinh phuong