onthicaptoc.com
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022- 2023
Môn thi: Toán- Lớp 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 07 tháng 3 năm 2023
I. PHẦN CHUNG (dành cho tất cả các thí sinh)
Bài 1. (1,5 điểm)
Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):
1) ; ;
3) .
Bài 2. (2,5 điểm)
1) Tìm x, y biết:
a) .
2) Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử. Trong đó, số học sinh của nhóm I bằng số học sinh của nhóm II và bằng số học sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm.
Bài 3. (1,0 điểm)
1) Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là các số chính phương. Chứng minh rằng a12.
2) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (20a + 7b + 3).(20a + 20a + b) = 803.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ các tia Bx, Cy vuông góc với BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Gọi D là một điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt Bx và Cy theo thứ tự tại E và F.
1) Chứng minh DAEB = DADC;
2) Chứng minh tam giác EDF vuông cân;
3) Xác định vị trí điểm D trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất.
II. PHẦN RIÊNG
1. Dành cho thí sinh bảng A
Bài 5. (2,0 điểm)
1) Cho x thoả mãn: ½x – 2½+½x – 3½+ ½x – 4½+½x – 5½= 4, gọi m là giá trị nhỏ nhất của x, M là giá trị lớn nhất của x. Tính giá trị của A = m + M.
2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, Tính số đo góc biết góc là góc tù.
2. Dành cho thí sinh bảng B
Bài 5. (2,0 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2) Cho tam giác ABC có , . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính .
---------- Hết ----------
(Đề thi có 01 trang)
Họ và tên thí sinh:.................................... ; Số báo danh:....................
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2022-2023
Môn thi: Toán - Lớp 7
Bài
Lời giải sơ lược
Điểm
1 (1,5 điểm)
1.1
(0,5)
0,25
0,25
1.2 (0,5)
0,25
0,25
1.3 (0,5)

0,25

0,25
Bài 2 (2,5 điểm)
2.1.a
(0,75)
0,25
+ Nếu
0,25
+ Nếu

Vậy
0,25
2.1.b
0,75
0,25
0,25
Vậy x = 1
0,25
2.2. (1,0)
Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương)
Theo bài ra ta có: và
0,25
Từ
0,25
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
0,25
Vậy: Nhóm I có 24 học sinh; nhóm II có 22 học sinh, nhóm III có 20 học sinh.
0,25
Bài 3 (1,0 điểm)
3.1. (0, 5)
Vì 2a + 1 là số chính phương lẻ nên 2a + 1 chia cho 8 dư 1
Suy ra 2a chia hết cho 8
Nên a chia hết cho 4 (1)
0,25
Ta có (a + 1) + (2a+1) = 3a + 2 chia cho 3 dư 2
mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên a + 1 và 2a + 1 chia cho 3 cùng dư 1
nên a chia hết cho 3 (2)
Từ (1); (2); 3.4 =12; (3,4)=1 nên a12.
0,25
3.2 (0,5)
(20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803
20a + 7b + 3 và 20a + 20a + b lẻ (vì 803 lẻ)
Nếu a 0 20a + 20a chẵn.
mà 20a + 20a + b lẻ b lẻ 7b + 3 chẵn
20a + 7b + 3 chẵn (không thỏa mãn)
Do đó a = 0 (7b + 3) . (b + 1) = 803 = 1 . 803 = 11 . 73
0,25
Vì b N 7b + 3 > b + 1. Do đó:
hoặc
* Trường hợp không tìm được b thỏa mãn đề bài.
* Trường hợp b = 10.
Vậy a = 0, b = 10 thỏa mãn đề bài
0,25
Bài 4 (3,0 điểm)
4.1 (1,25)
Vẽ hình 0,25
Do DABC vuông cân tại A nên
Do Bx ^ BC nên mà suy ra
0, 5
Chứng minh tương tự ta được
Ta có:Þ
0,25
Xét DAEB vàDADC có: ;;
ÞDAEB = DADC (g -c - g)
02,5
4.2 (1,0)
Do DAEB = DADCÞ AE = AD mà DAED vuông tại A
Suy ra DAED vuông cân tại A Þ
0,5
Chứng minh tương tự phần a) suy ra DADB = DAFC (g – c – g)
ÞAD = AF ÞDDAF vuông cân tại AÞ
0,25
DEDF có ÞDEDF vuông cân tại D.
0,25
4.3 (0,75)
Kẻ AH^ BC Þ DABH vuông tại H có
ÞDABH vuông cân tại HÞHB = HA
0,25
DABC vuông cân tại A có đường cao AH đồng thời là trung tuyến suy ra BH = HC
mà HB = HA suy ra BC = 2AH
0,25
EF =AE + AF= AD + AD = 2AD ³ 2AH = BC
đẳng thức xảy ra khi D º H.
0,25
Bài 5 (2,0 điểm) Dành cho thí sinh bảng A
5.1
(1,0 điểm)
½x – 2½+½x – 3½+ ½x – 4½+½x – 5½= 4
½x – 2½+½5 – x½+ ½x – 3½+½4 – x½= 4
0,25
Áp dụng tính chất
Ta có ½x – 2½+½5 – x½ x – 2 + 5 – x = 3
Lại có ½x – 3½+½4 – x½ x – 3 + 4 – x =1
Do đó ½x – 2½+½5 – x½+ ½x – 3½+½4 – x½ 4
0,25
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra
0,25
Vì m là giá trị nhỏ nhất của x, M là giá trị lớn nhất của x nên m = 3, M = 4
A = 3 + 4 = 7
0,25
5.2
(1,0 điểm)
Kẻ BH vuông góc với AC tại H suy ra ÞDBHC là tam giác nửa đều
.
DBHC vuông tại H có trung tuyến HM Þ
Suy ra MB = BH=MH (1) và ∆BMH đều.
0,25
Vẽ tam giác đều MAE (E và M khác phía đối với AB).
Do suy ra AB vừa là phân giác vừa là trung trực của EM
Þ MB = EB (2)
0,25
Chứng minh được DAMH = DEMB (c.g.c) nên AH = EB (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AH = BH.
0,25
Tam giác AHB vuông cân tại H nên .
Từ đó
0,25
Bài 5 (2,0 điểm) Dành cho thí sinh bảng B
5.1
(1,0 điểm)
0,25
Áp dụng tính chất

0,25
Suy ra
0,25
Vậy Min A = 132 khi x = 12
0,25
5.2
(1,0 điểm)
Kẻ DE ^ AC chứng minh được ∆CED là tam giác nửa đều
Suy ra CD = 2CE ;
0,25
Do CD = 2CE; CD = 2CB(gt) Þ CB = CE Þ∆BCE cân tại C Þ
∆BED có Þ ∆BED cân tại EÞBE = ED (1)
0,25

∆ABC có
∆BEA có Þ ∆BEA cân tại EÞBE = EA (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra ∆DEA cân tại E mà
suy ra ∆DEA vuông cân tại E Þ
0,25
Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thì giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De chon HSG Toan 7 Luong Tai 22 23