CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. VECTƠ
1. Vectơ và các phép toán vectơ
a) Các khái niệm
• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua hai đầu mút của vectơ; độ dài của vectơ là khoảng cách giữa hai đầu mút của vectơ; hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau; hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài; vectơ-không (kí hiệu ) là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau; hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
b) Các phép toán vectơ trong không gian
• Tổng và hiệu của hai vectơ:
Cho hai vectơ .
- Lấy một điểm tuỳ ý, vẽ . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ , kí hiệu là (Hình .
- Hiệu của vectơ và vectơ là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .
Chú ý
- Nếu là hình bình hành thì (Quy tắc hình bình hành).
- Nếu là hình hộp thì (Quy tắc hình hộp).
- Với ba điểm trong không gian, ta có: (Quy tắc hiệu).
• Tích của một số với một vectơ:
Cho số thực và vectơ . Tích của số với vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu ;
- Có độ dài bằng .
Chú ý:
- Ta có khi và chỉ khi hoặc .
- Với hai vectơ bất kì và hai số thực , ta có:
;
.
- Hai vectơ khác là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực sao cho .
- Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì .
- Nếu là trọng tâm của tam giác thì .
- Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là có số thực sao cho .
• Tích vô hướng của hai vectơ:
Cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu , là một số thực được xác định bởi công thức: , ở đó là góc giữa hai vectơ .
Chú ý: Với các vectơ bất kì và số thực tuỳ ý, ta có:
, trong đó . Ngoài ra, .
II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Xét không gian với hệ trục tọa độ .
1. Toạ độ của vectơ
• ;
• Toạ độ của một vectơ là toạ độ của điểm , trong đó là điểm sao cho .
• Nếu thì . Ngược lại, nếu thì .
• Với và , ta có: .
• Cho hai điểm và . Khi đó, ta có:
.
2. Biểu thức tọa độ của phép toán vec tơ.
• Cho hai vec tơ và . Khi đó:
;
;
với ;
;

Chú ý
- Hai vectơ và () cùng phương khi và chỉ khi có một số thực
sao cho
- Nếu thì
- Nếu và thì .
- Với hai vectơ và khác vectơ ta có

- Cho hai điểm và . Nếu là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ; ; .
- Cho tam giác có , ,. Nếu là trọng tâm tam giác thì: ; ; .
3. Phương trình mặt phẳng
a) Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc thuộc mặt phẳng được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
Chú ý: Nếu hai vectơ , là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳngthì là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
b) Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳngđi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: với .
• Mặt phẳng đi qua ba điểm với có phương trình chính tắc là: .
c) Điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng lần lượt có phương trình tổng quát là:
; .
Gọi , lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng .
• Tồn tại số thực sao cho .
• .
d) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: được tính theo công thức: .
4. Phương trình đường thẳng
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Nếu vectơ khác và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng thì được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
b) Phương trình đường thẳng
• Hệ phương trình , trong đó không đồng thời bằng 0, là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
• Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương ( với ) thì có phương trình chính tắc là .
c) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng phân biệt lần lượt đi qua các điểm và tương ứng có là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
•
• cắt
• và chéo nhau
5. Phương trình mặt cầu
• Phương trình mặt cầu tâm bán kính là:
• Phương trình xác định một mặt cầu khi và chỉ khi . Ngoài ra, nếu thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm và bán kính .
6. Góc
a) Cosin của góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là . Khi đó, ta có: .
Nhận xét: .
b) Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Khi đó, ta có:
.
c) Cosin của góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là . Khi đó, ta có:
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Ví dụ 1. Cho hai vectơ có và . Khi đó, bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .Chọn A.
Ví dụ 2. Trong không gian , mặt cầu có bán kính bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Bán kính mặt cầu bằng .Chọn C.
Dạng 2: Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ví dụ 3. Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng trùng với mặt đất sao cho trục hướng về phía tây, trục hướng về phía nam, trục hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét).
Một máy bay tại vị trí cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu
a) Ra đa ở vị trí có toạ độ
b) Vị trí có toạ độ
c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí
Lời giải
Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có toạ độ ; điểm
Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là:
(km).
Vì nên ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí .
Đáp án: a) S, b) S, c) Đ, d) S
Ví dụ 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phù sóng trong không gian là .
b) Điểm nằm ngoài mặt cầu .
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Lời giải
Phương trình mặt cầu tâm bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là .
Ta có: nên điểm nằm trong mặt cầu. Vì điểm nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Ta có: nên điểm nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Đáp án: S,S, Đ, Đ
⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ng
Ví dụ 5. Trong không gian , cho tam giác có và
. Tính .
Lời giải
Ta có: . Suy ra
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. [MĐ2] Cho tứ diện. Lấylà trọng tâm của tam giác. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Tính chất trọng tâm: .
Câu B chỉ đúng khi là tâm tứ diện .
Câu 2. [MĐ2] Trong không gian, cho điểmthỏa mãn .Tọa độ của điểmlà
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn B
Với
Khi đó .
Câu 3. [MĐ2] Trong không gian, cho hai vectơ . Tọa độ của vectơ là:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A
.
Câu 4. [MĐ2] Trong không gian, cho vectơ . Tọa độ của vectơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
Câu 5. [MĐ2] Trong không gian , cho tam giác có và . Trọng tâm của tam giác có tọa độ là:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác, khi đó:
.
Câu 6. [MĐ2] Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 7. [MĐ2] Trong không gian , khoảng cách giữa hai điểm và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Khoảng cách giữa hai điểm và là độ dài đoạn thẳng .
Ta có:
.
Câu 8. [MĐ2] Trong không gian , cho hai vectơ và . Tọa độ của vectơ là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
.
Câu 9. [MĐ1] Cho hình hộp chữ nhật Cặp vectơ nào sau đây là cặp vectơ chỉ phương của mặt phắng ?
A. và . B. và. C. và D. và
Lời giải
Chọn D
có giá nắm trên (1)
có giá song song với (2)
Từ (1) và (2) suy ra và là cặp vectơ chỉ phương của mặt phắng .
Câu 10. [MĐ1] Trong không gian , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng có 1 VTPT là .
Câu 11. [MĐ1] Trong không gian , mặt phẳng đi qua điểm nhận , lả căp vectơ chỉ phương có phương trình tồng quát là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: là 1 VTPT của mp cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn.
Câu 12. [MĐ2] Trong kho̊ng gian, mặt phẳng cắt ba trục toa độ tại ba điểm , có phương trình chính tắc là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt chắn là: .
Câu 13. [MĐ1] Trong không gian , đường thẳng đi qua điểm và nhận là vecto chi phương có phương trinh tham số là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Câu 14. [MĐ1] Trong không gian , vectơ nào sau đây là vectơ chi phương cùa đường thằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng có một VTCP là
Câu 15. [MĐ1] Trong không gian , mặt cầu tâm và đường kính bằng 10 có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.
Phương trình mặt cầu tâm và đường kính bằng 10 có phương trình là: .
Câu 16. [MĐ1] Trong không gian , điểm nào sau đây thuộc mặt cầu ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn.
⮲Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài tất cả các cạnh đều bằng .
a) Tứ giác là hình vuông.
b) Tam giác cân tại .
c) .
d) .
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
Đ
S
Đ
a) Do là hình chóp đều nên là hình vuông. Suy ra a) đúng.
b) Do là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng . Suy ra b) đúng.
c) Do tứ giác là hình vuông có độ dài cạnh bằng nên độ dài đường chéo .
Tam giác có và nên tam giác vuông cân tại , suy ra .
Vậy . Suy ra c) sai.
d) Ta có . Suy ra d) đúng.
Câu 18. Trong không gian , cho các điểm .
a) .
b) .
c) .
d) Ba điểm không thẳng hàng.
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
S
Đ
a) Ta có . Suy ra a) đúng.
b) Ta có . Suy ra b) sai.
c) Do . Suy ra c) sai..
d) Ta có, không cùng phương. Suy ra ba điểm không thẳng hàng. Suy ra d) đúng.
Câu 19. Trong không gian , cho hình bình hành có và .
a) .
b) .
c) .
d) Tọa độ điểm là .
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
Đ
Đ
S
a) Ta có . Suy ra a) đúng.
b) Ta có . Suy ra b) đúng.
c) Do hình bình hành có . Suy ra c) đúng.
d) Do hình bình hành có .
Mà ;
.
Vậy . Suy ra d) sai.
Câu 20. Trong không gian , cho hình lập phương có , , , . Gọi lần lượt là trung điểm của và (Hình 3).
a) Toạ độ của điểm là .
b) Toạ độ của điểm là .
c) Phương trình mặt phẳng là .
d) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
Đ
Đ
a) Do , và là trung điểm của nên . Suy ra a) Đúng
b) Do , và là trung điểm của nên . Suy ra b) Sai.
c) Do ,, . Phương trình mặt phẳng là
( phương trình đoạn chắn ). Suy ra c) Đúng
d) Ta có: Phương trình mặt phẳng là
. Mà điểm từ đó ta có:
. Suy ra d) Đúng
Câu 21. Trong không gian , cho hai mặt phẳng . Xét các véc tơ , .
a) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng .
b) không là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng .
c) .
d) Góc giữa hai mặt phẳng bằng .
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
Đ
D
a) Do nên là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng . Suy ra a) Đúng.
b) Do nên là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng . Suy ra b) Sai.
c) . Suy ra c) Đúng.
d)
Suy ra d) Sai
Câu 22. Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Xét các vectơ , .
a) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .
b) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
c) .
d) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
Đ
S
Đ
a) Do nên là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . Suy ra a) Đúng.
b) Do nên là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng . Suy ra b) Đúng.
c) Ta có
. Suy ra c) Sai
d) Từ ý c) suy ra . Suy ra d) Đúng.
Câu 23. Trong không gian , cho hai đường thẳng
Xét các vectơ và .
a) Đường thẳng đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương.
b) Đường thẳng đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương.
c) .
d) hai đường thẳng và chéo nhau.
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
Đ
S
Đ
a) Do Nên đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương. Suy ra a) Đúng.
b) Do Nên đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương. Suy ra b) Đúng.
c) Do . Suy ra c) Sai.
d) suy ra hai đường thẳng và không chéo nhau. Suy ra d) Sai.
Câu 24. Trong không gian ( đơn vị trên mỗi trục tính theo mét ), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí . Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là .
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là:
b) Nếu người đi biển ở vị trí thì không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
c) Nếu người đi biển ở vị trí thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
d Nếu hai người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá .
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
S
Đ
a) Do phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: suy ra đúng.
b) Do ta có: nên người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng suy ra sai.
c) Do ta có: nên người đi biển ở vị trí không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng suy ra sai.
d) Do đường kính của mặt cầu trên bằng hay nên hai người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá suy ra đúng.
⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 25. [MĐ3] Cho hình lập phương . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi là góc giữa hai vectơ và . Số đo của góc bằng bao nhiêu độ?
Lời giải
Trả lời:
(Hinh 5). Vì nên .
Tam giác là tam giác đều vì là hình lập phương.
Suy ra .
Vậy .
Câu 26. [MĐ3] Cho hình lâp phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tích vô hướng ( là số thập phân). Giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời:
(Hinh 5). Vì nên .
Ta có: . Suy ra
.
Vậy .
Câu 27. [MĐ3] Trong không gian cho tam giác có . Số đo của góc bằng bao nhiêu độ?
Lời giải
Trả lời:
Ta có: . Suy ra
Suy ra góc .
Câu 28. [MĐ3] Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí cách vị trí điều khiển về phía nam và về phía đông, đồng thời cách mặt đất . Flycam II ở vị trí cách vị trí điều khiển về phía bắc và về phía tây, đồng thời cách mặt đất . Chọn hệ trục toạ độ với gốc là vị trí người điều khiển, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục có hướng trùng với hướng nam, trục trùng với hướng đông, trục vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )?
Lời giải
Trả lời:
Ta có: Vị trí có tọa độ lần lượt là: . Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng:
Câu 29: [MĐ2] Trong không gian , cho hai mặt phẳng và . Góc giữa hai mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 67
Hai mặt phẳng và lần lượt có vectơ pháp tuyến là và
Ta có:.
Suy ra .
Câu 30: [MĐ2] Trong không gian , cho hai đường thẳng và . Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 82
Hai đường thẳng và lần lượt có vectơ chỉ phương là và.
Тa có:.
Suy ra.
Câu 31: [MĐ2] Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 21
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Ta có:.
Suy ra .
Câu 32: [MĐ2] Trong không gian , cho tứ diện có , , và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 2

onthicaptoc.com Chuyen de vecto va phuong phap toa do trong khong gian on thi TN THPT