onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm vectơ trong không gian
* Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Chú ý
* Cho đoạn thẳng trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là thì ta có một vectơ, kí hiệu là , đọc là vectơ .
* Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là
* Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau,... được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.
2. Các phép toán vectơ trong không gian
a) Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
* Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm tuỳ ý, vẽ
Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu là .
Hình 1
Chú ý
* Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
* Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ-không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.
* Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.
* Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:
* Với ba điểm trong không gian, ta có: (Quy tắc ba điểm);
* Nếu là hình bình hành thì (Quy tắc hình bình hành);
* Nếu . là hình hộp thì (Quy tắc hình hộp).
* Trong không gian, cho hai vectơ . Hiệu của vectơ và vectơ là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .
* Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ:
Với ba điểm trong không gian, ta có: (Quy tắc hiệu).
b) Tích của một số với một vectơ trong không gian
Cho số thực và vectơ . Tích của số với vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:
* Cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu ;
* Có độ dài bằng .
Quy ước: . Do đó khi và chỉ khi hoặc .
Chú ý:
* Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
* Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:
Với hai vectơ bất kì và hai số thực , ta có:
.
* Hai vectơ khác là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực sao cho .
c) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
* Trong không gian, cho hai vectơ khác . Lấy một điểm tuỳ ý và vẽ hai vectơ .
* Góc giữa hai vectơ trong không gian là góc giữa hai vectơ , kí hiệu là .
Chú ý: .
* Trong không gian, cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu . , là một số thực được xác định bởi công thức: , ở đó là góc giữa hai vectơ .
Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ là số 0.
Chú ý
* Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có các tính chất sau:
Với các vectơ bất kì và số thực tuỳ ý, ta có:
(tính chất giao hoán);
(tính chất phân phối);
, trong đó . Ngoài ra .
* Nếu là hai vectơ khác thì .
3. Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ .
Chú ý: Ta gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .
Trong hệ tọa độ (hình vẽ 12), ta gọi: điểm là gốc tọa độ; là trục hoành, là trục tung, là trục cao; các mặt phẳng , là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ còn được gọi là không gian Oxyz.
4. Tọa độ của một điểm
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm (hình vẽ).
* Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Trong mặt phẳng tọa độ , tìm hoành độ , tung độ của điểm .
* Xác định hình chiếu của điểm trên trục cao , điểm ứng với số trên trục . Số là cao độ của điểm .
Bộ số là tọa độ của điểm trong không gian tọa độ , kí hiệu là .
Chú ý
* Tọa độ của một điểm trong không gian với hệ tọa độ luôn tồn tại và duy nhất.
* Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm theo cách sau (hình vẽ 14):
* Xác định hình chiếu của điểm trên trục hoành , điểm ứng với số trên trục . Số là hoành độ của điểm .
* Xác định hình chiếu của điểm trên trục tung , điểm ứng với số trên trục . Số là tung độ của điểm .
* Xác định hình chiếu của điểm trên trục cao , điểm ứng với số trên trục . Số là cao độ của điểm .
Khi đó, bộ số là tọa độ của điểm trong không gian với hệ tọa độ .
3. Tọa độ của một vectơ
* Tọa độ của điểm được gọi là tọa độ của vectơ .

* Trong không gian với hệ tọa độ , tọa độ của một vectơ là tọa độ của điểm , trong đó là điểm sao cho .
* Nếu có tọa độ thì ta viết , trong đó gọi là hoành độ, gọi là tung độ và gọi là cao độ của vectơ .
* Với lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục . Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ , nếu thì .
Ngược lại, nếu thì .
Chú ý: Với và , ta có: .
* Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và .
Khi đó, ta có: .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vecto biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vecto đó.
Câu 2: Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vecto ) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vecto ). Hãy giải thích vì sao .
Câu 3: Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được với một lực kéo có cường độ và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc . Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).
Câu 4: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng (như hình ). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết rằng các lực căng đều có cường độ là 4700 N và trọng lượng của khung sắt là 3000 N.
Câu 5: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn. Độ dài của ba đoạn dây đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch ( 1 inch ). Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó, là một hàm số với biến số là
a) Xác định công thức tính hàm số .
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.
Câu 6: Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc và có độ lớn lần lượt là và . Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn . Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.
Câu 7: Tính độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây cáp trong Hình 16. Cho biết khối lượng xe là , gia tốc là , khung nâng có khối lượng và có dạng hình chóp với đáy là hình chữ nhật tâm và vuông góc với . Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton.
Câu 8: Một căn phòng với hệ tọa độ được chọn như ở Hình 7. Hãy cho biết bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng tọa độ nào.
Câu 9: Người ta kéo vật nặng bằng một lực có cường độ . Hãy biểu diễn tọa độ vecto trong hệ tọa độ đã cho trong hình.
Câu 10: Trong quá trình cất cánh của một máy bay không người lái: Ban đầu máy bay ở vị trí , máy bay cách vị trí điều khiển 300 m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Một phút sau, máy bay ở vị trí cách vị trí điều khiển 1200 m về phía nam và 2100 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 250 m.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc trùng với vị trí điều khiển, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục có hướng trùng với hướng nam, trục có hướng trùng với hướng đông, trục vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 m. Hãy xác định toạ độ vectơ dịch chuyển của máy bay không người lái đó.
Câu 11: Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi 500 km. Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời như hình, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Hỏi rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí có toạ độ đối với hệ trục tọa độ trên không?
Câu 12: Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m (Hinh 19). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người điều khiển flycam đến vị trí cách vị trí điều khiển 80 m về phía bắc và 120 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 50 m.
Chọn hệ trục tọa độ với gốc là vị trí người điều khiển, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục có hướng trùng với hướng nam, trục có hướng trùng với hướng đông, trục vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 m.
a) Xác định tọa độ của flycam tại mỗi vị trí đối với hệ tọa độ đã chọn.
b) Tính quãng đường flycam bay từ vị trí đến vị trí , biết flycam bay từ vị trí đến vị trí theo một đường thẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Câu 13: Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.
a) Có thể thiết lập một hệ trục toạ độ với gốc là chân cột cờ, hai trục lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.
b) Gỉa sử cột cờ có chiều cao . Hãy xác định tọa độ của điểm đầu cột cờ đối với hệ tọa độ ở câu a (đơn vị đo trong không gian lấy theo mét).
Câu 14: Trong không gian xét hệ toạ độ có gốc trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng trùng với mặt biển với trục hướng về phía tây, trục hướng về phía nam và trục hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.
a) Hãy giải thích vì sao tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng với .
b) Khi nào thì tọa độ của chiếc tàu ngầm là ?
Câu 15: Trong góc phòng treo hai chiếc đèn. Chiếc thứ nhất cách mặt đất và cách mỗi bức tường . Chiếc thứ hai cách mặt đất và cách mỗi bức tường .
a) Hãy lập một hệ toạ độ phù hợp trong không gian và tìm toạ độ vị trí của mỗi chiếc đèn trong hệ toạ độ đó.
b) Tính khoảng cách giữa hai chiếc đèn.
Câu 16: Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của mỗi cột lần lượt là và . Xét hệ trục tọa độ sao cho mặt phẳng trùng với mặt sân, trục hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ tọa độ được lấy theo mét.
a) Biết rằng chân của hai cột có tọa độ lần lượt là và , hãy tìm tọa độ điểm đầu của mỗi cột.
b) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. Hỏi sợi dây cần có độ dài tối thiểu là khoảng bao nhiêu mét?
Câu 17: Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai là và cách mặt đất là . Đầu của sợi dây nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất là và cách mặt đất là .
a) Hãy lập một hệ trục toạ độ phù hợp và tìm tọa độ của hai đầu trong hệ tọa độ đó.
b) Tính độ dài của sợi dây được căng.
Câu 18: Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục tọa độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh được đặt dọc theo các trục tọa độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là . Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là 5 đơn vị, xác định
tọa độ của các đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.
Câu 19: Một chiếc gậy có chiều dài được đặt trong góc phòng như hình sau đây. Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là và . Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.
a) Hãy lập một hệ tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của đầu gậy nằm trên sàn nhà.
b) Tính khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.
Câu 20: Để nghiên cứu mô hình rỗng của tinh thể muối ăn có dạng lập phương tâm khối, người ta đã thiết lập một hệ tọa độ (Đơn vi trên mỗi trục toạ độ là 1 Angstrom ) như trong Hình 13. Cho biết . Tìm toạ độ của các điểm là vị trí tâm của các ion và toạ độ của điểm là vị trí tâm của ion .
Câu 21: Trên một sân tennis có kích thước như trong Hình 14a, người ta đã thiết lập một hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là ) như trong Hình 14b. Hãy xác định toạ độ của các điểm .
Câu 22: Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian được minh hoạ như Hình 3. Cho biết là hình hộp chữ nhật và là hình lăng trụ đứng.
a) Tìm tọa độ của các điểm .
b) Tìm toạ độ của các vectơ .
c) Tính số đo .
Câu 23: Cho một lực (đơn vị: N) thực hiện một độ dịch chuyển (đơn vị: ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?
a) Cường độ của lực là .
b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là .
c) Công sinh bởi lực khi thực hiện độ dời là .
d) .
Câu 24: Hai vật đang chuyển động với vectơ vận tốc lần lượt là và .
a) Hai vật đang chuyển động cùng hướng. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?
b) .
c) .
d) .
Câu 25: Trong không gian được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc . Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).
Câu 26: Để nghiên cúu mô hình mạng tinh thể than chì, một nhà hoá học đã thiết lập một hệ toạ độ như Hình 2 (đơn vị: ). Cho biết có dạng lục giác đều. Tìm toạ độ của các điểm .
Câu 27: Một robot cắt cây đã di chuyển một lực (đơn vị: ) theo độ dời (đơn vị: ). Tính công sinh bởi lực khi thực hiện độ dời nói trên.
Câu 28: Một chiếc đèn chùm có trọng lượng được treo bởi bốn sợi xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có . Cho biết trọng lực của đèn được phân bố đều lên bốn sợi xích. Gọi là lực tác dụng của các sợi xích lên móc treo . Với hệ toạ độ như trong Hình 1, hãy tìm tọa độ các lực .
Câu 29: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm .
Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng 19
(Nguồn: https://abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).
Tìm toạ độ của các điểm và vectơ .
Câu 30: Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm , còn đầu kia gắn với vật tại điểm như hình (trong đó mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 N ). Gọi lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp . Tìm toạ độ của các lực .
LỜI GIẢI
Câu 1: Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vecto biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vecto đó.
Lời giải
Gọi vectơ thể hiện độ dịch chuyền của thang máy từ tầng 10 lên tầng 26 là và vectơ thể hiện độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 26 xuống tầng 18 là . Khi đó và cùng phương và ngược hướng. Hơn nữa độ dài của bằng độ cao của 16 tầng, độ dài của bằng độ cao của 8 tầng, suy ra . Từ các lập luận trên suy ra .
Câu 2: Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vecto ) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vecto ). Hãy giải thích vì sao .
Lời giải
Các vectơ đôi một cùng phương vì giá của chúng đều vuông góc với mặt đất. Ba vectơ đó cùng hướng vì đều ngược hướng với trọng lực. Ba vectơ đó có độ lớn bằng nhau vì trọng lực phân tán đều qua ba chân bàn. Do đó . Hai vectơ và cùng phương, ngược hướng và nên . Vậy .
Câu 3: Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được với một lực kéo có cường độ và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc . Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).
Lời giải
Áp dụng công thức tính công, ta có:
Câu 4: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng (như hình ). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết rằng các lực căng đều có cường độ là 4700 N và trọng lượng của khung sắt là 3000 N.
Lời giải
Gọi lần lượt là các điểm sao cho
Do các lực căng đều có cường độ là 4700 N nên . Gọi là tâm của hình chữ nhật . Khi đó, là trung điểm của và .
Sử dụng quy tắc trung điểm ta có:
Suy ra, . Mặt khác, do các cạnh tạo với với mặt phẳng một góc bằng nên , do đó tam giác là tam giác đều cạnh với đường cao .
Do khung sắt ở vị trí cân bằng nên , ở đó là trọng lực tác dụng lên chiếc xe ô tô và
khung sắt. Ta tính được tổng trọng lực có độ lớn là .
Câu 5: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn. Độ dài của ba đoạn dây đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch ( 1 inch ). Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó, là một hàm số với biến số là
a) Xác định công thức tính hàm số .
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.
Lời giải
a) Gọi lần lượt là các điểm sao cho (Hình 20). Khi đó, hai vectơ cùng phương, do đó tồn tại số sao cho: , tương tự, .
Suy ra, . (1)
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên . Gọi là tâm của chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác là tam giác đều nên cũng là trọng tâm của tam giác. Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác , ta được:
Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là , do đó . Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều, có vuông góc mới mặt phẳng đáy .
Khi đó:Suy ra, hay .
Thay vào (1), ta được công thức tính hàm số: .
Câu 6: Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc và có độ lớn lần lượt là và . Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn . Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.
Lời giải
Gọi lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm như Hình 2.
Ta có . Độ lớn các lực: , .
Dựng hình bình hành . Theo quy tắc hình bình hành, ta có .
Suy ra . Mà , suy ra
Dựng hình bình hành . Tổng lực tác động vào vật là . Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là . Vì nên , suy ra là hình chữ nhật.
Do đó tam giác vuông tại . Khi đó, .
Suy ra
Do đó .
Câu 7: Tính độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây cáp trong Hình 16. Cho biết khối lượng xe là , gia tốc là , khung nâng có khối lượng và có dạng hình chóp với đáy là hình chữ nhật tâm và vuông góc với . Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton.
Lời giải
Ta có
Gọi là độ lớn của trọng lực xe và khung sắt nâng.
Ta có . Ta có , suy ra .
Câu 8: Một căn phòng với hệ tọa độ được chọn như ở Hình 7. Hãy cho biết bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng tọa độ nào.
Lời giải
Bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng tọa độ .
Câu 9: Người ta kéo vật nặng bằng một lực có cường độ . Hãy biểu diễn tọa độ vecto trong hệ tọa độ đã cho trong hình.
Lời giải
Đặt , ta có.
Vậy.
Câu 10: Trong quá trình cất cánh của một máy bay không người lái: Ban đầu máy bay ở vị trí , máy bay cách vị trí điều khiển 300 m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Một phút sau, máy bay ở vị trí cách vị trí điều khiển 1200 m về phía nam và 2100 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 250 m.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc trùng với vị trí điều khiển, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục có hướng trùng với hướng nam, trục có hướng trùng với hướng đông, trục vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 m. Hãy xác định toạ độ vectơ dịch chuyển của máy bay không người lái đó.
Lời giải
Từ giả thiết ta có toạ độ của điểm là , toạ độ của điểm là . Do đó, ta
có: .
Câu 11: Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi 500 km. Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời như hình, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Hỏi rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí có toạ độ đối với hệ trục tọa độ trên không?
Lời giải
Khoảng cách từ trung tâm kiểm soát không lưu tới máy bay tại vị trí bằng độ dài :
Vì vậy rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trícó toạ độ .
Câu 12: Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m (Hinh 19). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người điều khiển flycam đến vị trí cách vị trí điều khiển 80 m về phía bắc và 120 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 50 m.
Chọn hệ trục tọa độ với gốc là vị trí người điều khiển, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục có hướng trùng với hướng nam, trục có hướng trùng với hướng đông, trục vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 m.
a) Xác định tọa độ của flycam tại mỗi vị trí đối với hệ tọa độ đã chọn.
b) Tính quãng đường flycam bay từ vị trí đến vị trí , biết flycam bay từ vị trí đến vị trí theo một đường thẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Lời giải
a) Toạ độ của flycam tại vị trí là .
Toạ độ của flycam tại vị trí là .
b) Quãng đường flycam bay từ vị trí đến vị trí bằng khoảng cách giữa hai điểm và
Câu 13: Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.
a) Có thể thiết lập một hệ trục toạ độ với gốc là chân cột cờ, hai trục lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.
b) Gỉa sử cột cờ có chiều cao . Hãy xác định tọa độ của điểm đầu cột cờ đối với hệ tọa độ ở câu a (đơn vị đo trong không gian lấy theo mét).
Lời giải
a) Vì cột cờ vuông góc với mặt sân nên cột cờ vuông góc với hai vạch kẻ sơn. Hơn nữa hai vạch kẻ sơn cũng vuông góc với nhau. Vì vậy có thể thiết lập một hệ trục toạ độ với gốc là chân cột cờ, hai trục lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia trùng với cột cờ.
b) Toạ độ của điểm đầu cột cờ là .
Câu 14: Trong không gian xét hệ toạ độ có gốc trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng trùng với mặt biển với trục hướng về phía tây, trục hướng về phía nam và trục hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.
a) Hãy giải thích vì sao tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng với .
b) Khi nào thì tọa độ của chiếc tàu ngầm là ?
Lời giải
a) Tàu ngầm luôn nằm dưới mặt nước biến hoặc nằm ngang mực nước biển, vì vậy tọa độ của tàu ngầm không lớn hơn 0. Do đó toạ độ của tàu ngầm luôn có dạng với .
b) Toạ độ của chiếc tàu ngầm là khi tàu ngầm nổi lên mặt nước biển.
Câu 15: Trong góc phòng treo hai chiếc đèn. Chiếc thứ nhất cách mặt đất và cách mỗi bức tường . Chiếc thứ hai cách mặt đất và cách mỗi bức tường .
a) Hãy lập một hệ toạ độ phù hợp trong không gian và tìm toạ độ vị trí của mỗi chiếc đèn trong hệ toạ độ đó.
b) Tính khoảng cách giữa hai chiếc đèn.
Lời giải
a) Chọn hệ toạ độ có gốc trùng với góc phòng, các trục trùng với các mép tường như hình bên. Đơn vị đo trong không gian được lấy theo mét. Khi đó toạ độ của chiếc đèn thứ nhất là và toạ độ của chiếc đèn thứ hai là .
b) Khoảng cách giữa hai chiếc đèn là
Câu 16: Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của mỗi cột lần lượt là và . Xét hệ trục tọa độ sao cho mặt phẳng trùng với mặt sân, trục hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ tọa độ được lấy theo mét.
a) Biết rằng chân của hai cột có tọa độ lần lượt là và , hãy tìm tọa độ điểm đầu của mỗi cột.
b) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. Hỏi sợi dây cần có độ dài tối thiểu là khoảng bao nhiêu mét?
Lời giải
a) Đầu chiếc cột có chiều cao là có toạ độ là , đầu chiếc cột có chiều cao là có toạ độ là .
b) Khoảng cách giữa hai đầu của hai chiếc cột là Do đó sợi dây cần có độ dài tối thiểu là .
Câu 17: Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai là và cách mặt đất là . Đầu của sợi dây nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất là và cách mặt đất là .
a) Hãy lập một hệ trục toạ độ phù hợp và tìm tọa độ của hai đầu trong hệ tọa độ đó.
b) Tính độ dài của sợi dây được căng.
Lời giải
a) Chọn hệ trục toạ độ như hình bên. Khi đó toạ độ của hai đầu lần lượt là và .
b) Độ dài của sợi dây là
Câu 18: Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục tọa độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh được đặt dọc theo các trục tọa độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là . Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là 5 đơn vị, xác định
tọa độ của các đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.
Lời giải
Vì hình hộp thứ hai nằm ngay phia trên hình hộp thứ nhất và cách hình hộp thứ nhất là 5 đơn vị nên cùng hướng với và có độ dài là 5.
Suy ra .
Vì tọa độ của là nên .
Vì tọa độ của là nên , suy ra .
Vì toạ độ của là nên , suy ra .
Câu 19: Một chiếc gậy có chiều dài được đặt trong góc phòng như hình sau đây. Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là và . Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.
a) Hãy lập một hệ tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của đầu gậy nằm trên sàn nhà.
b) Tính khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.
Lời giải
a) Có thể lập hệ toạ độ như hình vē sau.
Khi đó đầu gậy trên sàn nhà có toạ độ là .
b) Gọi khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà là thì toạ độ của đầu gậy đó là .
Khi đó chiều dài của chiếc gậy bằng , suy ra . Do đó . Vậy đầu gậy trên mép tường cách sàn nhà khoảng .
Câu 20: Để nghiên cứu mô hình rỗng của tinh thể muối ăn có dạng lập phương tâm khối, người ta đã thiết lập một hệ tọa độ (Đơn vi trên mỗi trục toạ độ là 1 Angstrom ) như trong Hình 13. Cho biết . Tìm toạ độ của các điểm là vị trí tâm của các ion và toạ độ của điểm là vị trí tâm của ion .
Lời gỉai
Theo mô hình ta có .
Câu 21: Trên một sân tennis có kích thước như trong Hình 14a, người ta đã thiết lập một hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là ) như trong Hình 14b. Hãy xác định toạ độ của các điểm .
Lời giải
và
Câu 22: Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian được minh hoạ như Hình 3. Cho biết là hình hộp chữ nhật và là hình lăng trụ đứng.
a) Tìm tọa độ của các điểm .
b) Tìm toạ độ của các vectơ .
c) Tính số đo .
Lời giải
a) Ta có là các hình chữ nhật, suy ra
b) Ta có .
c) Ta có .
Câu 23: Cho một lực (đơn vị: N) thực hiện một độ dịch chuyển (đơn vị: ).
a) Cường độ của lực là .
b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là .
c) Công sinh bởi lực khi thực hiện độ dời là .
d) .
Lời giải
a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ
Câu 24: Hai vật đang chuyển động với vectơ vận tốc lần lượt là và .
a) Hai vật đang chuyển động cùng hướng.
b) .
c) .
d) .
Lời giải
a) Đ; b) Đ; c) Đ; d) S
Câu 25: Trong không gian được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc . Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).
Lời giải
Ta có: . Vậy .
Câu 26: Để nghiên cúu mô hình mạng tinh thể than chì, một nhà hoá học đã thiết lập một hệ toạ độ như Hình 2 (đơn vị: ). Cho biết có dạng lục giác đều. Tìm toạ độ của các điểm .
Lời giải
a) Ta có ,
Suy га
Câu 27: Một robot cắt cây đã di chuyển một lực (đơn vị: ) theo độ dời (đơn vị: ). Tính công sinh bởi lực khi thực hiện độ dời nói trên.
Lời giải
Công sinh bởi lực khi thực hiện độ dời là:
Câu 28: Một chiếc đèn chùm có trọng lượng được treo bởi bốn sợi xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có . Cho biết trọng lực của đèn được phân bố đều lên bốn sợi xích. Gọi là lực tác dụng của các sợi xích lên móc treo . Với hệ toạ độ như trong Hình 1, hãy tìm tọa độ các lực .
Lời giải
Ta có suy ra .
Trong không gian như trong hình, ta có
Các vectơ có điểm đầu tại , điểm cuối lần lượt là .
Ta có nên cũng là hình chóp tứ giác đều. Gọi là trọng lực tác dụng lên đèn chùm và là tâm của hình vuông .
Ta có . Từ , suy ra . Do đó là trung điểm của . Suy ra là trung điểm của .
Suy ra . Tương tự ta có ,
Câu 29: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm .
Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng 19
(Nguồn: https://abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).
Tìm toạ độ của các điểm và vectơ .
Lời giải
Gọi là tâm của hình chữ nhật .
Ta có .
là trung điểm của MP khi và chỉ khi
Vậy toạ độ điểm . Các điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Mà có cao độ bằng 25 nên có cao độ bằng 19 nên . Suy ra .
b) Khảo sát hàm số . , do đó đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. , do đó đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có, . Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên khoảng .
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 10 N, ta có: (thoả mãn điều kiện ). Dựa vào đồ thị hàm số ở trên, ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 10 N là 30 inch.
Câu 30: Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm , còn đầu kia gắn với vật tại điểm như hình (trong đó mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 N ). Gọi lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp . Tìm toạ độ của các lực .
Lời giải
Theo giả thiết, ta có các điểm .
Khi đó: .
Suy ra . Lại có , vì nên tam giác PQR đều. Do đó, .
Vì vậy, tồn tại hằng số sao cho:
Suy ra . Mặt khác, ta có: , trong đó là trọng lực của vật. Suy ra , tức là .
Vậy ,
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Chuyen de toan thuc te vecto va he truc toa do trong khong gian