onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên tập .
* nếu
* nếu
2. Cách tìm giá trị lớm nhất, giá trị nhỏ nhất cuủa hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đąo hàm
* Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
* Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Chú ý: Với hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng , có thể trừ một số hữu hạn điểm, ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn như sau:
* Bước 1. Tìm các điểm thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
* Bước 2. Tính và .
* Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Mảng xối nước mưa được làm bằng một miếng nhôm rộng Sau khi đánh dấu chiều dài từ mỗi cạnh, miếng nhôm được gập lên một góc ( xem hình vẽ). Diện tích của mặt cắt ngang của máng được biểu thị dưới dạng một hàm số của như sau:
Tìm gócđể diện tích S là lớn nhất ( góc này sẽ cho phép nước chảy nhiều nhất qua máng xối)
Câu 2. Một công ty ước tính rằng tổng lợi nhuận (nghìn đồng) cho một sản phẩm có thể được mô hình hoá bằng hàm số , trong đó là số lượng đơn vị sản phẩm đó được sản xuất và bán ra. Mức sản xuất nào sẽ mang lại lợi nhuận lớn nhất? Khi đó lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 3. Lợi nhuận thu được của một công ty khi dùng số tiền chi cho quảng cáo được cho bởi công thức Ở đây các số tiền được tính bằng đơn vị nghìn USD.
a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa.
b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?
Câu 4. Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ dặm/giơ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là 3,6 USD/gallon thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) khi lái xe 200 dặm với tốc độ dặm/giờ được cho bởi công thức
Ở đây, dặm và gallon là những đơn vi đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng Hỏi:
a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?
b) Nếu người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phi mà công ty phải trả cho lái xe và chi phi nhiên liệu là nhỏ nhất)?
Câu 5. Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau mét, một nguồn có cường độ a đặt ở điểm và một nguồn có cường độ đặt ở điểm . Cường độ nhiệt tại điểm nằm trên đoạn thẳng nối và được tính theo công thức
trong đó là khoảng cách giữa và . Tại điểm nào nằm giữa và , nhiệt độ sẽ
thấp nhất?
Câu 6. Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên so với phương ngang với vận tốc ban đầu là (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường (tính bằng feet, 1 feet ) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số Góc ném nào làm cho quãng đường lớn nhất? Giá trị lớn nhất của là bao nhiêu?
Câu 7. Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên 10 cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu giây để chuyển động trong 4 giây. Vị trí tại thời điểm giây là .
a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?
b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?
Câu 8. Một chất điểm chuyển động theo phương ngang có tọa độ xác định bởi phương trình với tính bằng mét, tính bằng giây, . Tìm thời điểm mà tốc độ của chất điểm lớn nhất.
Câu 9. Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm , người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng ở bốn góc và gấp lại thành một hình hộp không nắp . Tìm để thể tích của hình hộp là lớn nhất.
Câu 10. Cho tam giác ABC cân tại nội tiếp trong đường tròn tâm , bán kính 1 cm . Đặt .
a) Viết biểu thức tính diện tích của tam giác ABC theo .
b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC.
Câu 11. Một mảnh vườn hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5 . Tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn đó.
Câu 12. Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất thành phẩm được cho bởi hàm số (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Câu 13. Giá bán (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng sản phẩm được cung cấp ra thị trường theo công thức . Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu lớn nhất.
Câu 14. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng (phút) được cho bởi công thức: với .
(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson)
a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm với . Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?
Câu 15. Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là , chiều cao của thùng là . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?
a) Thể tích của thùng là .
b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: .
c) Đạo hàm của hàm số là .
d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4 dm .
Đ
S
Đ
S
Đ
S
Đ
S
Câu 16. Nhóm bân Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách AB để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.
Câu 17. Nồng độ của một loại hoá chất trong máu sau giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức: với (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất?
Câu 18. Khối lượng riêng của nước phụ thuộc vào nhiệt độ được cho bởi công thức:
với
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Tính khối lượng riêng của nước ở nhiệt độ .
b) Ở nhiệt độ nào thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất?
Câu 19. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Câu 20. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích . Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/ , trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng . Tìm các kích thước của bình để chi phi vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Câu 21. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình , trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Câu 22. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích ( lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng (phút) được cho bởi công thức
( Nguồn: R.I.Charles et al. Algebra, Pearson)
a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm với . Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?
Câu 23. Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức: , trong đó là hằng số, là bán kính bình thường của khí quản, là bán kính khí quản khi ho ( Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?
Câu 24. Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng . Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?
Câu 25. Khối lượng của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán (nghìn đồng ) theo công thức . Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức .
a) Viết công thức biểu diễn theo .
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
Câu 26. Hộp sữa được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh . Tìm để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
LỜI GIẢI
Câu 1. Mảng xối nước mưa được làm bằng một miếng nhôm rộng Sau khi đánh dấu chiều dài từ mỗi cạnh, miếng nhôm được gập lên một góc ( xem hình vẽ). Diện tích của mặt cắt ngang của máng được biểu thị dưới dạng một hàm số của như sau:
Tìm gócđể diện tích S là lớn nhất ( góc này sẽ cho phép nước chảy nhiều nhất qua máng xối)
Lời giải
Ta có: .
Suy ra, .
Do đó trên đoạn . Mặt khác, ta có: .
Vậy để diện tích của mặt cắt ngang của máng lớn nhất thì góc uốn phải bằng .
Câu 2. Một công ty ước tính rằng tổng lợi nhuận (nghìn đồng) cho một sản phẩm có thể được mô hình hoá bằng hàm số , trong đó là số lượng đơn vị sản phẩm đó được sản xuất và bán ra. Mức sản xuất nào sẽ mang lại lợi nhuận lớn nhất? Khi đó lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Xét hàm số .
Ta co: (do );
Bảng biến thiên của hàm số:
Do đó,
Vậy để đạt lợi nhuận lớn nhất thì công ty đó cần sản xuấ và bán ra 350 đơn vị sản phẩm.
Câu 3. Lợi nhuận thu được của một công ty khi dùng số tiền chi cho quảng cáo được cho bởi công thức
Ở đây các số tiền được tính bằng đơn vị nghìn USD.
a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa.
b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?
Lời giải
a) Ta có: hoặc .
Lập bảng biến thiên hàm số:
Vậy để mang lại lợi nhuận tối đa, số tiền công ty phải chi cho quảng cáo là 40 nghìn USD.
b) Từ bảng biến thiên suy ra:
+ Lợi nhuận của công ty tăng dần khi số tiền chi cho quảng cáo tăng từ 0 đến 40 nghìn USD.
+ Lợi nhuận của công ty giảm dần khi số tiền chi cho quảng cáo lớn hơn 40 nghìn USD và khi đó, càng tăng tiền quảng cáo thì lợi nhuận càng giảm.
Câu 4. Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ dặm/giơ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là 3,6 USD/gallon thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) khi lái xe 200 dặm với tốc độ dặm/giờ được cho bởi công thức
Ở đây, dặm và gallon là những đơn vi đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng Hỏi:
a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?
b) Nếu người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phi mà công ty phải trả cho lái xe và chi phi nhiên liệu là nhỏ nhất)?
Lời giải
a) Ta có: (do ).
Mặt khác, .
Vậy xe tải đi với tốc độ 50 dặm/giờ thì chi phi nhiên liệu sẽ ít nhất.
b) Trong trường hợp người lái xe tải được trả lương 28 USD/giờ (khi xe chạy) thì chi phí khi lái xe dặm là Ta có: . Suy ra với mọi , tức là hàm số nghịch biến trên đoạn này.
Vậy khi xe tải di chuyển với tốc độ 75 dặm/giờ thì sẽ tiết kiệm chi phi nhất.
Câu 5. Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau mét, một nguồn có cường độ a đặt ở điểm và một nguồn có cường độ đặt ở điểm . Cường độ nhiệt tại điểm nằm trên đoạn thẳng nối và được tính theo công thức
trong đó là khoảng cách giữa và . Tại điểm nào nằm giữa và , nhiệt độ sẽ
thấp nhất?
Lời giải
Xét hàm số . Ta có: .
Do đó: .
Lập bảng biến thiên hàm số:
Vậy tại điểm trên đoạn AB và cách một khoảng thì nhiệt độ sẽ thấp nhất.
Câu 6. Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên so với phương ngang với vận tốc ban đầu là (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường (tính bằng feet, 1 feet ) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số Góc ném nào làm cho quãng đường lớn nhất? Giá trị lớn nhất của là bao nhiêu?
Lời giải
Ta có:
Do đó: (do ).
Mặt khác, .
Bảng biến thiên:
Vây khi góc ném thì quãng đường là lớn nhất và bằng feet, trong đó (feet/giây) là vân tốc ban đầu của vật.
Câu 7. Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên 10 cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu giây để chuyển động trong 4 giây. Vị trí tại thời điểm giây là .
a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?
b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?
Lời giải
a) Vận tốc cùa xe là .
Do đó, gia tốc của xe là .
Ta co: (do ).
Mặt khác, .
Tốc độ là độ lớn của vận tớc, tức là .
Vậy tốc độ lớn nhất của xe là , đạt được tại các thời điểm: giây.
Tại các thời điểm đó, xe đều có gia tốc bằng 0 và tại vị trí(tức là ở vị trí xe đứng yên, khi mà chưa kéo lò xo).
b) Ta co: .
Khi đó, .
Độ lớn gia tốc của xe là . Do đó, độ lớn gia tốc là lớn nhất tại các thời điểm 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 giây.
Khi ; 2; 4 giây, xe ở vị trí ; khi giây, xe ở vị trí . Vậy độ lớn gia tốc của xe lớn nhất tại các vị trí hoặc (tức là khi xe ở mép phải hoặc mép trái của quãng đường dao động) và tại các vị trị đó, vận tốc của xe đều bằng 0 .
Câu 8. Một chất điểm chuyển động theo phương ngang có tọa độ xác định bởi phương trình với tính bằng mét, tính bằng giây, . Tìm thời điểm mà tốc độ của chất điểm lớn nhất.
Lời giải
Câu 9. Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm , người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng ở bốn góc và gấp lại thành một hình hộp không nắp . Tìm để thể tích của hình hộp là lớn nhất.
Lời giải
Thể tích chiếc hộp là với .
Vậy .
Câu 10. Cho tam giác ABC cân tại nội tiếp trong đường tròn tâm , bán kính 1 cm . Đặt .
a) Viết biểu thức tính diện tích của tam giác ABC theo .
b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC.
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của BC, ta có .
Do đó: ,
Suy ra .
b) ;
hoặc (loại) hoặc
Lập bảng biến thiên, ta có .
Câu 11. Một mảnh vườn hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5 . Tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn đó.
Lời giải
Xét hình thang cân ABCD có như hình bên. Ta có diện tích hình thang cân ABCD là
với
Lập bảng biến thiên, ta có
Câu 12. Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất thành phẩm được cho bởi hàm số (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Lời giải
Lợi nhuận xưởng thu được trong một ngày khi sản xuất thành phẩm là
Vậy .
Câu 13. Giá bán (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng sản phẩm được cung cấp ra thị trường theo công thức . Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu lớn nhất.
Lời giải
Doanh thu
Ta có .
So sánh và ta có lớn nhất khi .
Câu 14. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng (phút) được cho bởi công thức: với .
(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson)
a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm với . Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?
Lời giải
a) Khi , ta có: . Vậy ban đầu trong bình xăng có 4 lít xăng.
b) 30 giây phút. Khi , ta có: .
Vậy dung tích của bình xăng trong xe là 41,5 lít.
c) Ta có: với .
Lại có .
Vậy tại hay khi xăng chảy vào bình xăng thì ở thời điểm phút có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.
Câu 15. Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là , chiều cao của thùng là .
a) Thể tích của thùng là .
b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: .
c) Đạo hàm của hàm số là .
d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4 dm .
Đ
S
Đ
S
Đ
S
Đ
S
Lời giải
a)Đ; b) Đ; c)S; d)S
Câu 16. Nhóm bân Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách AB để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.
Lời giải
Câu 17. Nồng độ của một loại hoá chất trong máu sau giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức: với (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất?
Lời giải
Ứng với thì đạt giá trị lớn nhất, tức là sau khoảng 2,38 giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất.
Câu 18. Khối lượng riêng của nước phụ thuộc vào nhiệt độ được cho bởi công thức:
với
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Tính khối lượng riêng của nước ở nhiệt độ .
b) Ở nhiệt độ nào thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất?
Lời giải
a) .
b) Ở nhiệt độ khoảng thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất khoảng .
Câu 19. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Lời giải
Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x ( và chiều cao là h (
Diện tích bề mặt của hình hộp là nên (điều kiện ).
Thể tích của hình hộp là: .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Ta có: (do )
Lập bảng biến thiên của hàm số
Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy
Khi đó, chiều cao của hình hộp là: .
Câu 20. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích . Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/ , trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng . Tìm các kích thước của bình để chi phi vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi lần lượt là bán kính hình tròn đáy và chiều cao của hình trụ .
Khi đó ta có
Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là .
Chi phí vật liệu sản xuất mặt trên và mặt dưới là (nghìn đồng).
Diện tích mặt bên của bình là .
Tổng chi phí là: (nghìn đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Có .
Lập bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta có chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình nhỏ nhất khoảng 485,6 nghìn đồng khi khoảng 4,6 cm và h khoảng 15 cm.
Câu 21. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình , trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Lời giải
Xét phương trình chuyển động chất điểm
Vận tốc tức thời của chất điểm là .
Ta có . Khi đó trên khoảng khi . Ta có.
Do đó tại .
Vậy chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng tại thời điểm trong 5 giây đầu tiên.
Câu 22. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích ( lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng (phút) được cho bởi công thức
( Nguồn: R.I.Charles et al. Algebra, Pearson)
a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm với . Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?
Lời giải
a) Ta có: . Do đó ban đầu trong bình xăng có 4 lít xăng.
b) Sau khi bơm 30 giây, tức 0,5 phút thì bình xăng đầy. Ta có. Vậy dung tích của bình xăng trong xe là 41,5 lít.
c) Ta có . Có .
Khi đó trên khoảng khi .
. Do đó tại .
Vậy xăng chảy vào bình ở thời điểm kể từ khi bắt đầu bơm có tốc độ tăng.
Câu 23. Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức: , trong đó là hằng số, là bán kính bình thường của khí quản, là bán kính khí quản khi ho ( Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?
Lời giải
Xét hàm số .
Ta có . Khi đó trên nửa khoảng , .
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên, ta thấy tại .Vậy thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất.
Câu 24. Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng . Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?
Lời giải
Nửa chu vi khung cửa số là .
Gọi chiều dài khung cửa sổ là .
Chiều rộng khung cửa sổ là 2 - x (m).
Diện tích khung cửa số là .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
Ta có .
Bảng biến thiên
Diện tích của cửa sổ lớn nhất là 1 m² khi đó khung cửa số có dạng hình vuông cạnh .
Câu 25. Khối lượng của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán (nghìn đồng ) theo công thức . Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức .
a) Viết công thức biểu diễn theo .
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
Lời giải
a) Từ . Khi đó .
b) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Tập xác định:
Có .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy
Vậy bán mỗi sản phẩm giá 7,5 nghìn đồng thì đạt doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.
Câu 26. Hộp sữa được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh . Tìm để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi chiều cao của hộp là h (cm)
Thể tích của hộp là:
Diện tích toàn phần của hộp là:
Tập xác định:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy
Vậy x = 1cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Chuyen de Toan thuc te 2 Gia tri lon nhat va gia tri nho nhat