onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng được gọi là một đurờng tiệm cận đứng (hay tiệm cận đúnng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn
Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số được minh hoạ như Hình 2.
2. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng được gọi là một đurờng tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu hoặc .
Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số được minh hoạ như Hình 5 .
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng , được gọi là đuoòng tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số nếu hoặc .
Đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số được minh hoạ như Hình 8 .
Nhận xét:
a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số trong phương trình của đường tiệm cận xiên theo công thức như sau: hoặc .
b) Khi thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong (tháng) được tính theo công thức , trong đó (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong (tháng) khi đủ lớn.
Câu 2. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất (sản phẩm) là (triệu đồng). Khi đó là chi phi sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số giảm và . Tính chất này nói lên điều gì?
Câu 3. Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số với và tính bằng đơn vị centimét. Chứng minh rằng là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.
Câu 4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng . Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là .
a) Viết biểu thức tính chu vi (mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Câu 5. Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian cho bởi công thức , với được tính theo và được tính theo giờ, . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số . Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian trở nên rất lớn?
(Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Câu 6. Một bình chứa 200 ml dung dịch muối với nồng độ .
a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào dung dịch muối với nồng độ .
b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 ? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến được không?
Câu 7. Chi phí để làm sạch lượng dầu loang từ một sự cố trên biển có thể được xấp xỉ bời công thức
(tỉ đồng)
a) Tính chi phí để làm sạch và lượng dầu loang.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Câu 8. Hằng tháng, một công ty chuyên sản xuất mặt hàng A phải trả chi phí cố định là 50 triệu đồng (để thuê mặt bằng và lương nhân viên) và chi phí cho nguyên liệu là (đồng) với là số lượng sản phẩm A được nhập về.
a) Viết công thức tính chi phí trung bình mà công ty cần chi để sản xuất một sản phẩm.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Câu 9. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong (tháng) được tính theo công thức , trong đó (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong (tháng) khi đủ lớn.
Câu 10. Tốc độ đánh máy trung bình (tính bằng từ trên phút) của một học viên sau tuần học được cho bởi công thức: với .
a) Xem là một hàm số xác định trên khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó khi thời gian càng lớn.
Câu 11. Tổng chi phí để sản xuất sản phẩm của một xí nghiệp được tính theo công thức:
(nghìn đồng).
a) Viết công thức tính chi phí trung bình của 1 sản phẩm khi sản xuất được sản phẩm.
b) Xem là một hàm số xác định trên khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
c) Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng .
d) Nêu nhận xét về chi phí để tạo ra 1 sản phẩm khi càng lớn.
LỜI GIẢI
Câu 1. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong (tháng) được tính theo công thức , trong đó (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong (tháng) khi đủ lớn.
Lời giải
a) Xét hàm số với .
Ta có . Do đó đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho trên nửa khoảng .
b) Ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận ngang, tức là khi càng lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong (tháng) sẽ tiến gần đến 1000 sản phẩm.
Câu 2. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất (sản phẩm) là (triệu đồng). Khi đó là chi phi sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số giảm và . Tính chất này nói lên điều gì?
Lời giải
Có . Có . Do đó hàm số giảm.
Có .
Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và giới hạn của chi phí trung bình là 2 triệu đồng khi số lượng sản phẩm tiến gần đến vô cùng. Điều này có thể hiểu là khi sản xuất nhiều sản phẩm hơn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm và tiến gần đến một giá trị ổn định.
Câu 3. Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số với và tính bằng đơn vị centimét. Chứng minh rằng là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.
Lời giải
Tập xác định: .
Ta có
Tương tự ta cũng có .
Do đó là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
Câu 4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng . Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là .
a) Viết biểu thức tính chu vi (mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Lời giải
a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là .
Chu vi mảnh vườn là .
b) Ta có . Tương tự
Vậy là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tương tự .
Do đó là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Câu 5. Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian cho bởi công thức , với được tính theo và được tính theo giờ, . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số . Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian trở nên rất lớn?
(Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Lời giải
Do đó là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên.
Nhận xét:
Khi thời trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về giá trị cố định là 5 . Điều này có thể được hiểu sau một thời gian dài, môi trường trong hồ sẽ đạt đến một trạng thái ổn định nồng độ oxygen không thay đổi nhiều.
Câu 6. Một bình chứa 200 ml dung dịch muối với nồng độ .
a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào dung dịch muối với nồng độ .
b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 ? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến được không?
Lời giải
a) Nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào dung dịch muối với nồng độ là .
b) Để có dung dịch muối với nồng độ , ta phải thêm vào bình với thoà mãn . Khi đó ta có . Rõ ràng là hàm đồng biến trên khoảng và . Do đó, nồng độ muối trong bình không thể đạt đến .
Câu 7. Chi phí để làm sạch lượng dầu loang từ một sự cố trên biển có thể được xấp xỉ bời công thức
(tỉ đồng)
a) Tính chi phí để làm sạch và lượng dầu loang.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Lời giải
a) tỉ đồng; tỉ đồng; tỉ đồng
tỉ đồng; tỉ đồng
b) Tiệm cận đứng:
Câu 8. Hằng tháng, một công ty chuyên sản xuất mặt hàng A phải trả chi phí cố định là 50 triệu đồng (để thuê mặt bằng và lương nhân viên) và chi phí cho nguyên liệu là (đồng) với là số lượng sản phẩm A được nhập về.
a) Viết công thức tính chi phí trung bình mà công ty cần chi để sản xuất một sản phẩm.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Lời giải
a)
b) Tiệm cận đứng: ; Tiệm cận ngang
Câu 9. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong (tháng) được tính theo công thức , trong đó (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong (tháng) khi đủ lớn.
Lời giải
a) Ta có: .
Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
b) Ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận ngang, tức là khi đủ lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong (tháng) sẽ tiến gần đến mức 1000 và số lượng sản phẩm bán không thể vượt mức 1000 cho dù thời gian có kéo dài đến vô cùng.
Câu 10. Tốc độ đánh máy trung bình (tính bằng từ trên phút) của một học viên sau tuần học được cho bởi công thức: với .
a) Xem là một hàm số xác định trên khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó khi thời gian càng lớn.
Lời giải
a) Tiệm cận ngang là đường thẳng .
b) Do đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên khi càng lớn thì tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sẽ tiến gần đến mức 100 từ/phút và không thể vượt mức 100 từ/phút cho dù thời gian có kéo dài đến vô cùng.
Câu 11. Tổng chi phí để sản xuất sản phẩm của một xí nghiệp được tính theo công thức:
(nghìn đồng).
a) Viết công thức tính chi phí trung bình của 1 sản phẩm khi sản xuất được sản phẩm.
b) Xem là một hàm số xác định trên khoảng , hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
c) Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng .
d) Nêu nhận xét về chi phí để tạo ra 1 sản phẩm khi càng lớn.
Lời giải
a) (nghìn đồng).
b) Tiệm cận ngang là đường thẳng .
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng .
d) Do đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên khi càng lớn thì chi phí để tạo ra 1 sản phẩm sẽ giảm gần đến mức 20 nghìn đồng và không thể giảm hơn 20 nghìn đồng cho dù số sản phẩm sản xuất được có thể lớn vô cùng.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Chuyen de toan thuc te Duong tiem can