Chủ đề 8
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Vấn đề cần nắm:
1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ
2. Tích vô hướng của hai vectơ
3. Các hệ thức lượng trong tam giác
Trong chủ đề này, chúng tôi xin giới thiệu một chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tính vô hướng của hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì với là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã biết ở lớp 9.
§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Với mỗi góc ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Tung độ của điểm M là sin của góc , kí hiệu là
Hoành độ của điểm M là côsin của góc , kí hiệu .
STUDY TIP
- Để nhớ định nghĩa giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot ta có các câu sau:
Cô sin (cos) là trục nằm ngang (trục hoành).
Song song với nó là chàng cô tang (cot).
Còn sin thì đứng thẳng bang.
Đối diện với nó có tang (tan) đứng chờ.
Giả sử điểm M có tọa độ . Khi đó
Khi , tỉ số được gọi là tang của góc , kí hiệu .
Khi , tỉ số được gọi là cotang của góc , kí hiệu .
Các số được gọi là các giá trị lượng giác của góc .
Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy:
+ Góc bất kì từ đến có sin thuộc đoạn .
+ Góc bất kì từ đến có cosin thuộc đoạn .
+ Với :
+ Với :
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1. . 4.
2. . 5.
3. . 6.
3.Tính chất
a) Hai góc phụ nhau
1. . 4.
2. . 5.
b) Hai góc bù nhau
1. . 4.
2. . 5.
4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị lượng giác
0
1
1
0
0
1
||
||
1
0
Ghi nhớ:
Cách 1: Quy tắc bàn tay trái.
- Bước 1: Ghi các góc đặc biệt lên các ngón tay như hình vẽ (lòng bàn tay hứng vào trong).
Tính giá trị lượng giác của góc nào, ta quặp ngón tay đó lại như hình vẽ.
- Bước 2:

Cách 2: Đánh số vị trí cho các góc lần lượt theo thứ tự là 0, 1, 2, 3, 3.
Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:

5. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ và . Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và và . Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc
STUDY TIP
Trong định nghĩa thì O được lấy tùy ý. Tuy nhiên trong giải toán ta có thể chọn vị trí điểm O thích hợp, hay chọn điểm O trùng với điểm gốc của vectơ và cho đơn giản.
Lời giải
b) Nhận xét:
Từ định nghĩa ta có .
+ khi và chỉ khi và cùng hướng.
+ khi và chỉ khi và ngược hướng.
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
Xác định tọa độ của điểm M
STUDY TIP
Muốn xác định tọa độ của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị, ta xác định góc . Khi đó điểm M sẽ có tọa độ là
Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa..
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Tọa độ của điểm M là:
A. B.
C. D.
Lời giải
Vì hoành độ của điểm M là , tung độ của điểm M là nên tọa độ của điểm M là .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Hoành độ của điểm M là:
A. B. C. D.
Phân tích: Dựa vào ví dụ 1, hoành độ điểm M là .Dùng máy tính cầm tay ta suy ra kết quả là đáp án A. Ta sẽ chuẩn xác lời giải bằng 2 cách sau:
Lời giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Xét tam iacs ABC cân tại A, . Khi đó .
Dựng phân giác CD. Suy ra tam giác ACD cân tại D, tam giác BCD cân tại C.
Do đó: .
Kẻ . Đặt
STUDY TIP
Do . Nên .
Như vậy ta thấy ngay rằng đáp án C, D bị loại
Khi đó .
Do CD là phân giác của góc nên

Vậy . Hoành độ của điểm M là .
Lưu ý: Từ bài toán này ta có thể tính được bằng cách làm tiếp từ bài toán trên như sau:
STUDY TIP
Ở cách 2, ta cần biết 2 công thức sau:
Do
Nên
Kể , do tam giác CDB cân tại C nên
Mà nên
Cách 2: (Sau khi học xong các công thức lượng giác)
Ta có:

Đáp án A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Giá trị của bằng:
A. B.
C. D.
Phân tích: Với bài toán thi trắc nghiệm, với kiểu hỏi này, ta có thể cho . Từ đó ta sẽ cho ra kết quả là đáp án B
Lời giải
Từ giả thiết, ta có: và .
Dựng tam giác MON sao cho , N là giao điểm của nửa đường tròn với trục hoành, M thuộc nửa đường tròn đơn vị.
Suy ra và .
Với cách dựng hình như trên ta có:

STUDY TIP
-Với thì - Với thì ;.
Đáp án B
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, là giao điểm của nửa đường tròn đơn vị với trục Ox (A thuộc tia Ox), M thuộc trục Ox sao cho (như hình vẽ). Dựng điểm N trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MN vuông góc với OA. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Do MN vuông góc với OA nên hoành độ điểm N bằng hoành độ điểm M. Do nên . Suy ra
Tung độ điểm N dương do giả thiết bài toán.
Do .
Khi đó
Đáp án A
Dạng 2
Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Với dạng toán này, ta sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
Bài toán 1: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .
Phương pháp:
Ta có:
Biết , ta sẽ tính được
Bài toán 2: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu thì giá trị
Do đó ta có thể tính đưuọc 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Trường hợp 2: Nếu thì
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Bài toán 3: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . (Trường hợp biết tính tương tự)
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu thì
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Trường hợp 2: Nếu
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Bài toán 4: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác theo , tính các giá trị lượng giác của góc
Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức lượng giác đã cho về một dạng chỉ chứa một hàm lượng giác, rồi tực hiện phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải một phương trình đại số.
- Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tích.
- Sử dụng bất đẳng thức.
Bài toán 5: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác, giả sử là biểu thức A, tính các giá trị của biểu thức lượng giác B.
Phương pháp:
- Biến đổi A rồi thay vào B.
- Biến đổi B rồi sử dụng A.
- Biến đổi đồng thời cả hai biểu thức A, B xuất hiện biểu thức trung gian.
- Sử dụng phương pháp giải phương trình để tính các giá trị.
Ví dụ 1: Biết và
a) Tính các giá trị lượng giác còn lại.
b) Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
a) Ta có
b) Với câu b, ta có thể thay trực tiếp kết quả tính được ở ý a, cho ra kết quả. Ngoài ra ta có thể làm như sau:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
a) Tính ?
b) Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
a) Vì nên suy ra góc tù. Do đó
Ta co: , .
b) Với ý b, ta có thể thay trực tiếp kết quả từ ý a. Sau đây chúng tôi nêu thêm một cách nữa như sau:

Ví dụ 3: Cho các số m, n dương và số thỏa mãn . Tính .
Lời giải
Với , ta suy ra . Khi đó (vô lí).
Vậy .
Cách 1: (sử dụng bất đẳng thức).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản ta có:


Cách 2: Ta có thể tính như sau:

Cách 3: Đặt . Khi đó (1) trở thành

Ví dụ 4:
a) Với giá trị nào của thì biểu thức xác định.
b) Cho góc thỏa mãn . Tính .
Lời giải
a) Biểu thức xác định thì
b) Ta có:
Cách 1:
Từ đây sẽ dễ dàng tìm ra được
Cách 2:

Dạng 3
Do nên . Vậy
Chứng minh, rút gọn biểu thức lượng giác
Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp:
Cách 1. Biến đổi vế phức tạp sang vế rút gọn.
Cách 2. Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.
Cách 3. Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đúng.
- Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
- Chú ý tới các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1.
2. .
3.
4.
5.
Vấn đề 2. Rút gọn các biểu thức lượng giác.
Phương pháp:
- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác.
- Rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức thì ta thường phải biến đổi tử và mẫu duwois dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung.
- Nếu gặp dạng căn thức thì thường nhân và chia cho biểu thức liên hợp, biến đổi biểu thức trong căn dạng lũy thừa rồi rút gọn.
Vấn đề 3. Chúng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số
Phương pháp:
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.
- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biến đổi nó bằng hằng số.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau
a) với .
b) .
c) .
Lời giải
a)
b)
Cách 1:

Cách 2:

Cách 3:

c, Đặt Khi đó:
Khi đó


Ví dụ 2: Cho khác 0 và thỏa mãn Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

Lời giải
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu Theo giả thiết ta suy ra
Lúc đó không phụ thuộc vào
Tương tự với các trường hợp Rõ ràng rằng nếu thì
Ta xét trường hợp cả hai giá trị
Ta có:



Ví dụ 3: Cho biểu thức
Xác định để
A không phụ thuộc vào
Lời giải




Dạng 4
Để A không phụ thuộc vào điều kiện là
So sánh giá trị của các “hàm” lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên nửa đường tròn đơn vị (như hình vẽ) lấy hai điểm M, N sao cho
Ta có:
Với giả thiết ta luôn có:

Trường hợp ta luôn có
Trường hợp ta luôn có:
Khi đó
Trường hợp ta cũng xét tương tự.
Ví dụ: So sánh các cặp số:
a) và
b) và
c) và .
d) và .
e) và
Lời giải
Theo nhận xét trên ta dễ dàng đưa ra được kết quả:
a) Do nên
b)
c)
d)
e) Dạng 5

Hai góc bù nhau, phụ nhau.

onthicaptoc.com chuyen de tich vo huong cua hai vec to va ung dung