Tailieumontoan.com

Sưu tầm và tổng hợp
CHUYÊN ĐỀ
TỶ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA
DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019
1
Website:tailieumontoan.com
CHUYÊN ĐỀ:
TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các tỉ lệ thức và
tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về
này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về tỷ lệ thức và tính
chất của dãy tỷ số bằng nhau thường được ra trong các kì thi gần đây.
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp
con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về này có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội
lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
Mục Lục
Trang
Lời nói đầu 1
Tóm tắt lý thuyết chung 3
Chủ đề 1. Tìm số hạng chưa biết 4
Dạng 1. Tìm một số hạng chưa biết 4
Dạng 2. Tìm nhiều số hạng chưa biết 5
Chủ đề 2. Chứng minh đẳng thức 11
Dạng 1. Chứng tỏ rằng: ad = bc 11
ac 12
Dạng 2. Đặt k l| gi{ trị chung của c{c tỷ số ; .
bd
xm
Tính c{c tỷ số , theo k.
yn
Dạng 3. Dùng biến đổi đại số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi 14
từ vế này thành vế kia.
Chủ đề 3. Tính giá trị của biểu thức 16
Chủ đề 4. Tính giá trị của biểu thức 18
Chủ đề 5. Các bài toán về tỷ lệ thức và chia tỷ lệ 20
Chủ đề 6. Sai lầm thường gặp khi giải toán tỷ lệ thức 23
Bài tập luyện tập tổng hợp 27
Hướng dẫn giải bài tập 34
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
CHUYÊN ĐỀ:
TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
a c
Tỉ lệ thức l| đẳng thức của hai tỉ số 
b d
a c
Tỷ lệ thức  còn được viết: a : b = c : d
b d
Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng của tỷ lệ thức;
- a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ;
- b v| d l| c{c số hạng trong hay trung tỉ;
b) Tính chất
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản)
ac
Nếu  thì ad = bc
bd
- Tính chất 2 (tính chất ho{n vị)
Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c 0 thì ta có c{c tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
b d c d b a c a
2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c a c a c a c
    bd
+ Từ tỉ lệ thức ta suy ra
b d b d b d b d
a c e
+ Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau  
b d f
a c e a c e a c e
     ....
ta suy ra
b d f b d f b d f
(giả thiết c{c tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
a b c
+ Khi có dãy tỉ số   ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c =
2 3 5
2:3:5.
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
a c

+ Vì tỉ lệ thức l| một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy
b d
22
 a  c a c a c k a k c
12
ra:   . ;k.  k. k 0 ;  (k ,k  0)
 
    12
b d b d b d k b k d
   
12
3
3 3 2
a c e a c e a c e a c e
     
từ   suy ra      ;  

     
b d f b d f b d f b d f
     

B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: {p dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
a c b.c a.d a.d
Nếu   a.d  b.c a ;b ;c
b d d c b
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm
trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Ví dụ minh họa:
Thí dụ 1. Tìm x biết:
x3 5 x 2 x 4
a)   0,52: x  9,36:16,38 b)  c)  .
5 x 7 x1 x 7
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
0,52.16,38
-0,52 : x = -9,36 : 16,38 xx. 9,36  0,52.16,38   0,91
 
9,36
b)
x3 5 x3 5 x
Cách 1: Ta có:
Cách 2: Từ   
5 x 7 5 7
x35

57 x Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta
xx 3 .7 5 .5
   
có :
 7xx 21 25 5
12x 46
x3 5 x x3 5 x 2 1
   
5
x 3
5 7 5 7 12 6
6
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
x3 1 5 5
Do đó:   6 x3  5 x3  x 3
 
5 6 6 6
c)
x 2 x 4 2 x x 4
Cách 1: Ta có:
Cách 2: Từ   
x1 x 7 1 x x 7
xx24

Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta
xx17
 x 2 x 7  x1 x 4
      có :
22
 x  7x 2x14 x  x 4x 4 24xx  
2xx 4 6 3
   
 5xx14 3  4 1 x x 7 1 xx 7 8 4
 5xx 3 414
Do đó:
2x 10
23 x
  4 2 x  3 1 x  8 4x 3 3x
   
x 5
14 x
 4x 3x 8 3 x 5
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
x y z
Dạng 1 : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn :  (1)
a b c
và x + y + z = d (2)
(trong đó a, b, c, a + b + c ≠ 0 v| a, b, c, d l| c{c số cho trước)
Cách giải:
x y z
- Cách 1: Đặt    k x ka, y k.b, z kc
a b c
d
Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d  k a b c  d k
 
abc
a.d bd cd
x ;;y z
Từ đó tìm được
a b c a b c a b c
- Cách 2: {p dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z xy z d ad bd cd
    xy ;  ;z
a b c a b c ab c ab c ab c ab c
c)Ví dụ minh họa:
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
Thí dụ 1. Tìm x , y biết rằng:
xy xy
a)  và 2x – y = 3 b)  và xy = 10.
25 25
Hướng dẫn giải
x y 2xy 2x y 3
a) Từ tỉ số      3
2 5 4 5 45 1
Do đó: x = (-3).2 = -6 và y = 5.(-3) = -15.
xy
2
b) Đặt   k x 2k, y 5k . Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k = 10  x1
25
Với k = 1 ta có: x = 2, y = 5.
Với k = -1 ta có x = -2, y = -5.
Thí dụ 2. Tìm x , y, z biết rằng:
x y z x y z
a)  và x +y + z = 27 b)  và x + y - z = 9
2 3 4 2 3 4
Hướng dẫn giải
a) Cách 1.
x y z
   k x 2k, y 3k, z 4k
Đặt
2 3 4
2k3k 4k 279k 27 k 3
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z xy z 27
     3 x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.312 .
2 3 4 23 4 9
b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x y z 9
    1 x 2.1 2; y 3.1 3; z 4 .1 4
   
2 3 4 23 4 9
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
x y z
Dạng 2 : Cho x, y, z thoả mãn :  (1)
a b c
và x + y + z = d (2)
Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta được c{c b|i to{n phức tạp hơn.
C{c c{ch điến đổi thường gặp:
+ Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
k x k y k z e
1 2 3
*
2 2 2
k x  k y  k z  f
*
1 2 3
* x.y.z = g
+ Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
x y y z
;
-
a a a a
1 2 3 4
- a xa y;a y a z
2 1 4 3
- b xb y b z
1 2 3
b xb z b yb x b z b y
1 3 21 3 2

-
a b c
xb y b zb
1 2 2 33
- 
a a a
1 2 3
+Thay đổi cả hai điều kiện.
Thí dụ 1. Tìm x , y, z biết rằng:
x y z
a) và 2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = 14

2 3 4
Hướng dẫn giải
x y z
a) Cách 1: Đặt  = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k.
2 3 4
Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21
 4k9k 20k217k21 k 3
Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com
x y z 2x 3y 5z
 
Cách 2: Từ suy ra
2 3 4 4 9 20
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y 5z 2x 3y5z 21
     3 x 6; y 9; z12
4 9 20 4 9 20 7
6x 4y 3z x y z
     
b) Từ 6x = 4y = 3z
12 12 12 2 3 4
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y 5z 2x3y 5z 14
    2 x4; y6; z8
4 9 20 4 9 20 7
Thí dụ 2. Tìm x , y, z biết rằng:
a b c
2 2 2
2 2 2
a)  và a b  2c 108 b) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x  2y 3z 100
2 3 4
Hướng dẫn giải
2 2 2
a b c a b c
a) Ta có:     
2 3 4 4 9 16
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2 2 2
a b c ab 2c 108
     4
4 9 16 49 32 27
Do đó:
2
a
2
 4aa16 4
4
2
b
2
 4bb 36 6
9
2
c
2
 4cc 64 8
16
Vậy a = 4, b = 6, c = 8 hoặc a = -4, b = -6, c = -8.
2 2 2
x y z x y z
b) Ta có: x : y : z = 3: 4: 5 nên     
3 4 5 9 16 25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2 2 2
x y z 2x  2y 3z 100
     4
9 16 25 18 32 75 25
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

onthicaptoc.com Chuyên đề tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau