
TRỊNH BÌNH TỔNG HỢP
CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS
Tài liệu sưu tầm
1
Website:tailieumontoan.com
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về số nguyên tố và
hợp số. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu
về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về quan hệ chia hết thường được ra trong các kì
thi gần đây. Chuyên đề gồm 4 phần:
• Tóm tắt lý thuyết
• Các dạng toán thường gặp
• Bài Tập rèn luyện
• Hướng dẫn giải bài tập rèn luyện
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp
con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về số nguyên tố và hợp số này có thể giúp ích nhiều cho
học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
Mục Lục
Trang
Lời nói đầu 1
Phần A. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ 3
1. Định nghĩa số nguyên tố 3
2. Một số định lý cơ bản 3
3. Cách nhận biết số nguyên tố 4
4. Số các ước số và tổng các ước số 5
5. Hai số nguyên tố cùng nhau 5
6. Một số định lý đặng biệt 6
Phần 2. Các dạng toán thường gặp 6
Dạng 1. Sử dụng phương pháp phân tích thừa số
6
Dạng 2. Tìm số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện cho trước
9
Dạng 3. Nhận biết số nguyên tố, sự phân bố số nguyên tố trong N
12
Dạng 4. Các bài toán chứng minh số nguyên tố
13
Dạng 5. Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b (x thuộc N, (a, b) = 1)
14
Dạng 6. Áp dụng định lý Fermat
16
Dạng 7. Các bài toán về các số nguyên tố cùng nhau
18
Dạng 8. Giải phương trình nghiệm nguyên nhờ tính chất số nguyên tố
20
Dạng 9. Các bài toán liên quan đến số nguyên tố
24
Phần 3. Tuyển chọn các bài toán số nguyên tố trong các đề thi toán
25
THCS
Phần 4. Hướng dẫn các bài toán số nguyên tố trong các đề thi toán THCS 33
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
I/ ĐỊNH NGHĨA
1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số.
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
II/ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
Chứng minh:
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1; p2; p3; ....pn. trong đó pn là số lớn nhất
trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 ...pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (i = 1, n)
đều dư 1 (1)
Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn) do đó N phải
có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi (i = 1, n). (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn (1).
Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố.
2/ Định lý 2:
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy
nhất (không kể thứ tự các thừa số).
Chứng minh:
* Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố:
Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n
ta chứng minh điều đó đúng với mọi n.
Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh.
Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n)
Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các
thừa số nguyên tố.
* Sự phân tích là duy nhất:
Giả sử mọi số m < n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất, ta
chứng minh điều đó đúng với n:
Nếu n là số nguyên tố thì ta được điều phải chứng minh.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
Nếu n là hợp số: Giả sử có 2 cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau:
n = p.q.r....
’ ’ ’
n = p .q .r ....
’ ’ ’
Trong đó p, q, r ..... và p , q , r .... là các số nguyên tố và không có số nguyên tố nào
cũng có mặt trong cả hai phân tích đó (vì nếu có số thoả mãn điều kiện như trên, ta có thể
chia n cho số đó lúc đó thường sẽ nhỏ hơn n, thương này có hai cách phân tích ra thừa số
nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết của quy nạp).
’
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết p và p lần lượt là các số nguyên tố nhỏ
nhất trong phân tích thứ nhất và thứ hai.
’ 2 ’2
Vì n là hợp số nên n > p và n > p
’ ’
Do p = p => n > p.p
’
Xét m = n - pp < n được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất ta
thấy:
’
p | n => p | n – pp hay p | m
’ ’ ’ ’
p | n => p | n – pp hay p | m
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có:
’ ’
∈
m = n - pp = pp . P.Q ... với P, Q P ( P là tập các số nguyên tố)
’ ’ ’
 pp’ | n = pp | p.q.r ... => p | q.r ... => p là ước nguyên tố của q.r ...
(Chú ý: kí hiệu p | n là n chia hết cho p)
’
Mà p không trùng với một thừa số nào trong q,r ... (điều này trái với gỉa thiết quy
nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất).
Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên tố
(Định lý được chứng minh).
III/ CÁCH NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ
Cách 1:
Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7...
Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia
vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố.
Cách 2:
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố
Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất
(nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản:
a
Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số a là một số khôngvượt quá .
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy
nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp số ta thử a
có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không.
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
+ Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học
sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
Hệ quả:
a
Nếu có số a > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến thì a là một
nguyên tố.
(Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng
minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.).
IV/ SỐ CÁC ƯỚC SỐ VÀ TỔNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA MỘT SỐ
X1 X2 Xn
Giả sử: A = p1 . p2 ......pn
Trong đó: pi ∈ P ; xi ∈ N ; i = 1, n
a) Số các ước số của A tính bằng công thức:
T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Thật vậy: Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30}
Ư(30) có 8 phân tử
Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc
phân tích ra thừa số nguyên tố.
100
3 có (100 + 1) = 101 ước
9 9 9
1 000 000 000 = 10 = 2 .5 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin
tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa.
V/ HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước
chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
∈
a, b nguyên tố cùng nhau <=> (a,b) = 1 a,b N
2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau <=> (a,b,c) = 1
5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
a,b,c nguyên tố sánh đôi <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
VI/ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐẶC BIỆT
1) Định lý Đirichlet
Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
p = ax + b (x ∈ N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt.
Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....
2) Định lý Tchebycheff
Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố
(n > 2).
3) Định lý Vinogradow
3
Mọi số lẻ lớn hơn 3 là tổng của 3 số nguyên tố.
Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải
một số bài tập.
B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số
nN∈ *
Bài 1. Tìm để:
4 2003 2002
a) n + 4 là số nguyên tố. b) nn+ +1 là số nguyên tố.
Lời giải
a) Ta có:
4 4 2 22 2 22 2
n+ 4 (4n+ n+ 4)− 4n (2n+ )− (2n) (2n++ 2nn)(2+− 2n) .
4 2
n + 4 nn− 2+=21⇔ n=1
Nếu là số nguyên tố thì .
4
n=1 n +=45
Thử lại: Với thì là số nguyên tố.
4
n + 4
Vậy, với n=1 thì là số nguyên tố.
2003 2002 2 2001 2001 2
b) Ta có: n+ n+1 n (nn−+1) (nn−+1)+ n+1.
n>1
Với ta có:
2001 3 2 2
2003 2002 2
n −11n − nn++1 do đó: n + n +11 nn++ và nn+ +>1 1 nên
( )( )
2003 2002
nn+ +1 là hợp số.
2003 2002
Với n = 1 thì nn+ +=13 là số nguyên tố.
Bài 2.
a) Tìm các số nguyên số p để 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
b) Tìm các số nguyên tố p để 13p + 1 là lập phương của một số tự nhên.
Lời giải
3
nN∈ nm21+ mN∈
a) Giả sử 21pn+= (với ); n là số lẻ nên ( ), khi đó
32
2 p+=1 (2m+1)⇒ p mm(4+ 6m+ 3) .
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
=
=
=
= = =
7
Website:tailieumontoan.com
m=1
Vì p là số nguyên tố nên , suy ra p=13 .
3
Thử lại: 2 p+=1 2.13+=1 27 3 . Vậy p=13 .
3
n≥ 3
b) Giả sử 13p+= 1 nn(∈ N); p≥ 2 suy ra .
32
13p+=1 n⇒13p= (n−1)(nn++1) .
2
n−>1 1 n−=1 13
13 và p là các số nguyên tố, mà và nn+ +>1 1 nên hoặc
np−=1 .
3
n−=1 13 n=14
i) Với thì , khi đó 13pn−=1 2743⇒ p 211 là số nguyên tố.
2
ii) Với np−=1 thì nn++=1 13⇒ n 3, khi đó p= 2 là số nguyên tố.
Vậy với p = 2, p = 211 thì 13p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
22
xy− 2 =1
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố xy, thỏa .
Lời giải
22 22
Giả sử xy, là các số nguyên tố thỏa: xy− 2 =1. Khi đó xy21+ , suy ra x là số lẻ, đặt
x= 2n+∈1(nN*)
. Ta có:
22 2 2 2 2
(2n+1) 2y+1⇒ 4n+ 4n+1 2y+1⇒ y 2(nn+ )2⇒ y 2 , mà y là số nguyên tố nên
suy ra y = 2.
Với y = 2, ta có x= 3.
22
x= 3
Thử lại với , y= 2 thì xy− 2 =1.
y
x, yz,
Bài 4. Tìm các số nguyên tố thỏa xz+=1 .
Lời giải
Vì xy, là các số nguyên tố nên xy≥≥2, 2 suy ra z≥ 5 .
y y
x
z là số nguyên tố lẻ nên là số chẵn suy ra x = 2, khi đó z 21+ .
y 2
2 +13 z 2+=15
Nếu y lẻ thì , suy ra z3 , vô lí. Vậy y chẵn, suy ra y=2, .
x y 2; z 5.
Vậy các số nguyên tố cần tìm là
nn
k
1++2 4 (nN∈ *) kN∈
Bài 5. Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì n= 3 với .
Lời giải
k
nm= 3.
Đặt với (m, 3)=1. Giả sử m > 1, xét hai trường hợp:
m=3l+∈1(lN*)
i) . Ta có:
k k k
nn 3 (3l+1) 3 (3l+1) (3l+1) (6l+2) 3
1++2 4=1+ 2 + 4 =1+ aa+ , (với a= 2 ), suy ra
n n 3l 26l 2 2 nn
1+ 2+ 4 a(a−1)+ a (a−1)+ aa++1aa++1⇒1+ 2+4 là hợp số.
ii) m=3l+ 2,(lN∈ *) . Ta có:
kk
nn 3 (32l+ ) 3 (32l+ ) 32l+ 6l+4 63l+ 2 3l 2 2
1+ 2+ 4=1+ 2 + 4 =1+ a + a =a(a −1)+ a (a−1)+ aa++1aa++1
k
3
(với a= 2 ).
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
=
= = =
=
=
= = =
=
=
= =
=
8
Website:tailieumontoan.com
nn
Suy ra 1++2 4 là hợp số.
k
Vậy m = 1 tức là n = 3 .
n nn n
Bài 6. Cho abc, , ,d∈ N * thỏa mãn ab= cd . Chứng minh rằng: A= abc+ ++ d là hợp
nN∈
số với mọi .
Lời giải
Giả sử (a, b) = t, khi đó: a ta ,c tc với (,ac )=1.
11 11
Từ ab = cd suy ra ab c d⇒ bc .
11 1
Đặt: b= kc⇒ c d= a .kc⇒=d ka .
1 1 11 1
n n n n n n nn nn n n n n n n
Khi đó: A= abc+ ++ d= t a+ k c+ t c+ k a= (k+ t )(a+ c ) .
1 1 1 1 11
Vì k,,t a ,c∈ N * nên A là hợp số.
11
nn( +1)
Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên tố p dạng ( n≥1).
−1
2
Lời giải
Ta có:
2
nn( +1) n +−n 2 (n−1)(n+ 2)
p 1 .
2 22
Với n = 2 ta có p = 2.
Với n = 3 ta có p = 5.
n1
Với n > 3 thì và n+2 >1 nên p là hợp số.
1
2
nn( +1)
−1
Vậy với n = 2, n = 3 thì p là số nguyên tố có dạng .
2
ab
Bài 8. Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho là số nguyên tố.
ab−
Lời giải
Vì a,b có vai trò như nhau nên có thể giả sử a > b.
ab
= p
Giả sử với p là số nguyên tố.*
ab−
Suy ra abp⇒ a p hoặc b p⇒ p∈ 2,3,5,7 .
{ }
22

a+ pp= ap= − p
2
Từ * ta có ab = ap - bp (a+ pp)(−=b) p⇔ ⇔

pb−= 11b= p−

Với p = 2 ta có ab= 21 hoặc ab=12 .
Với p = 3 ta có ab= 62 hoặc ab= 26 .
Với p = 5 và p = 7 ta có a có 2 chữ số (loại).
Vậy các số ab cần tìm là 12, 21, 26, 62.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
= −= =
=
==

onthicaptoc.com Chuyên đề số nguyên tố