onthicaptoc.com
Chøng minh mét sè kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng
Ph­¬ng ph¸p 1.
Nh×n ch÷ sè tËn cïng:
- V× sè chÝnh ph­¬ng b»ng b×nh ph­¬ng cña mét sè nªn suy ra.Sè chÝnh ph­¬ng ph¶i cã ch÷ sè tËn cïng lµ mét trong c¸c ch÷ sè: 0,1,4,5,6,9. Tõ ®ã ta cã thÓ gi¶i ®­îc c¸c bµi to¸n d¹ng sau ®©y:
Bµi to¸n 1.
Chøng minh sè: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng.
LG.
- Ta thÊy ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè: 20042,20032,20022,20012lÇn l­ît lµ 6,9,4,1. Do ®ã n cã ch÷ sè tËn cïng lµ 8. Nªn n kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Chó ý: NhiÒu khi sè ®· cho cã ch÷ sè tËn cïng lµ mét trong c¸c sè: 0,1,4,5,6,9 nh­ng vÉn kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng, khi ®ã ta ph¶i l­u ý thªm: NÕu mét sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× nã ph¶i chia hÕt cho p2
Bµi to¸n 2.
Chøng minh sè: 1234567890 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
LG.
- Ta thÊy sè: 1234567890 chia hÕt cho 5 (v× ch÷ sè tËn cïng b»ng 0), nh­ng kh«ng chia hÕt cho 25 (v× hai ch÷ sè tËn cïng b»ng 90). Do ®ã sè 1234567890 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Chó ý:
- Cã thÓ luËn r»ng: Sè 1234567890 chia hÕt cho 2 nh­ng kh«ng chia hÕt cho 4 (v× hai ch÷ sè tËn cïng lµ 90).Nªn 1234567890 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi to¸n 3.
Chøng minh r»ng xnÕu mét sè cã tæng c¸c ch÷ sè lµ 2004 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
LG.
Ta thÊy tæng c¸c ch÷ sè cña 2004 lµ 6 nªn 2004 chia hÕt cho 3 mµ nã l¹i kh«ng chia hÕt cho 9. Nªn sè cã tæng c¸c ch÷ sè lµ 2004 còng chia hÕt cho 3 mµ kh«ng chia hÕt cho 9. Do ®ã sè nµy kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Ph­¬ng ph¸p 2.
Dïng tÝnh chÊt cña sè d­.
Bµi to¸n 4.
Chøng minh mét sè cã tæng c¸c ch÷ sè lµ 2006 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng
LG.
- ë ®©y ta kh«ng gÆp tr­êng hîp nh­ bµi to¸n 3 nªn ta ph¶i nghÜ ®Õn ph­¬ng ph¸p kh¸c.
Ta thÊy ch¾c ch¾n sè nµy chia cho 3 d­ 2 nªn ta cã lêi gi¶i sau:
- V× sè chÝng ph­¬ng khi chia cho 3 chØ cã thÓ d­ 0 hoÆc 1 mµ th«i ( ®©y lµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n mµ ta dÔ dµng chøng minh ®­îc).
- Do tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã lµ 2006 nªn sè ®ã chia cho 3 d­ 2. Nªn sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi to¸n 5. ( T­¬ng tù bµi to¸n 4)
Chøng minh tæng c¸c sè tù nhien liªn tiÕp tõ 1 ®Õn 2005 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi to¸n 6.
Chøng minh sè: 20044 + 20043 + 20042 + 23 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Ph­¬ng ph¸p 3.
T×nh huèng chøng minh n kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng nh­ng n chia cho 3 vÉn d­ 0 hoÆc 1.
VD: Bµi to¸n 7.
Chøng minh sè: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng.
NhËn xÐt:
* NÕu chia n cho 3 sè d­ sÏ lµ 1. VËy kh«ng gi¶i ®­îc theo c¸ch cña bµi to¸n 3,4,5,6.
* NÕu xÐt ch÷ sè tËn cïng ta thÊy ch÷ sè tËn cïng cña n lµ 9 nªn kh«ng gi¶i ®­îc theo c¸ch cña bµi to¸n 1,2.
VËy ë ®©y ta ph¶i dùa vµo nhËn xÐt sau (ta cã thÓ cm):
Mét sè chÝnh ph­¬ng khi chia cho 4 th× sè d­ chØ cã thÓ lµ 0 hoÆc 1. Lóc ®ã ta sÏ gi¶i ®­îc bµi to¸n nµy.
Ph­¬ng ph¸p 4.
Ph­¬ng ph¸p kÑp gi÷a hai sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp: n2 vµ (n+1)2.
Ta thÊy: NÕu n vµ k N vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn: n2 < k < (n+1)2 th× lóc ®ã k kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi to¸n 8.
Chøng minh sè 4014025 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
NhËn xÐt:
Sè nµy cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 25 nªn chia cho 3 d­ 1 vµ chia cho 4 còng d­ 1, nªn kh«ng thÓ ¸p dông b»ng c¸ch trªn.
LG.
Ta thÊy: 20032 = 401209; 20042= 4016016. Nªn 20032< 4014025 < 20042. Chøng tá sè 4014025 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi to¸n 9.
Chøng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng víi mäi nN, n0
NhËn xÐt: NÕu ®· quen d¹ng nµy ta cã thÓ thÊy A+1 ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng ( bµi to¸n líp 8) nh­ng líp 6,7 cã thÓ gi¶i theo c¸ch sau.
LG.
Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2+3n +1)2
MÆt kh¸c (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
§iÒu nµy hiÓn nhiªn ®óng v×: n > 1. Chøng tá
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2. Suy ra A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Mét sè bµi to¸n kh¸c.
Bµi 10.
Chøng tá sè: 235+2312+232003 kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Gîi ý: NghÜ ngay ®Õn phÐp chia cho 3 hoÆc chia cho 4
Bµi 11.
Cã 1000 m¶nh b×a h×nh ch÷ nhËt, trªn mçi m¶nh ®­îc ghi mét trong c¸c sè tõ 1 ®Õn 1001 (kh«ng cã m¶nh nµo ghi kh¸c nhau). Chøng minh r»ng kh«ng thÓ ghÐp tÊt c¶ c¸c m¶nh b×a ®ã liÒn nhau ®Ó ®­îc mét sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 12.
Chøng minh r»ng tæng b×nh ph­¬ng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Gîi ý: NghÜ ®Õn phÐp chia cho 4
Mét sè bµi to¸n liªn quan vÒ sè chÝnh ph­¬ng
Bµi 1. Chøng minh r»ng tæng cña n sè lÎ ®Çu tiªn lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
LG.
Ta tÝnh tæng n sè lÎ ®Çu tiªn:
S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1).
Lóc nµy ta ph¶i xÐt hai tr­êng hîp: n ch½n vµ n lÎ.
Tr­êng hîp 1: n ch½n
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+... Cã n/2 sè h¹ng , mµ mçi sè h¹ng cã gi¸ trÞ lµ 2n
VËy S = 2n. = n2.
Tr­êng hîp 2: n lÎ
§Ó tÝnh S ta còng ghÐp nh­ tr­êng hîp trªn nh­ng ta ®­îc sè h¹ng, mçi sè h¹ng cã gi¸ trÞ lµ 2n. Nªn tæng S = .2n + n = = n2
VËy S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nªn S lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
Tõ bµi to¸n trªn ta còng cã nhËn xÐt tæng qu¸t:
Tæng c¸c sè lÎ ®Çu tiªn th× b»ng b×nh ph­¬ng cña sè c¸c sè Êy
Bµi 2.
Chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph­¬ng khi vµ chØ khi sè ­íc cña nã lµ mét sè lÎ.
Bµi 3.
BiÓn sè xe m¸y cña b¹n Hïng lµ mét sè cã 4 ch÷ sè, cã ®Æc ®iÓm nh­ sau:
Sè ®ã lµ sè chÝnh ph­¬ng, nÕu lÊy sè ®Çu trõ ®i 3 vµ sè cuèi céng thªm 3 th× ®­îc mét sè còng lµ sè chÝnh ph­¬ng. T×m sè xe cña b¹n Hïng.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Chuyen de so chinh phuong