Tailieumontoan.com

Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp
CHUYÊN ĐỀ
CÁC BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Thanh Hóa, ngày 9 tháng 3 năm 2020
1
Website:tailieumontoan.com
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHINH PHƢƠNG
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Định nghĩa số chính phƣơng.
Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.
2
(tức là nếu n là số chính phương thì: nk k Z )
 
2. Một số tính chất cần nhớ
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận
cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số
mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính

phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính

phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4.
8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.
10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì
số đó là số chính phương.
2 2
11. Nếu n < k < (n + 1) ( n  Z) thì k không là số chính phương.
12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi
số a, b cũng là các số chính phương.
2
13. Nếu a là một số chính phương, a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p .
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng
22
a mp ;b mq
B. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phƣơng, hoặc là tổng nhiều số chính
phƣơng.
* Cơ sở phƣơng pháp:
Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa,
2
tức là chứng minh : nk k Z
 
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: A n n 1 n 2 n 3 1 là số
chính phương.
Hướng dẫn giải
Ta có:
22
2 2 2 2 2
A n 3n n 3n 2 1 n 3n 2 n 3n 1 n 3n 1
2
Vì n nên nn31 . Vậy A là số chính phương.
Bài toán 2. Cho: B 1.2.3 2.3.4 ... k k 1 k 2 với k là số tự nhiên. Chứng minh
rằng 4B + 1 là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn
biểu thức B trước.
Ta có:
11
n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 n 1 n n 1 n 2 n 3 n 1 n n 1 n 2
44
Áp dụng:
1
1.2.3 1.2.3.4 0.1.2.3
4
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
1
2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4
4
1
3.4.5 3.4.5.6 2.3.4.5
4
............................................
1
k k 1 k 2 k k 1 k 2 k 3 k 1 k k 1 k 2
4
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
1
B 1.2.3 2.3.4 ... k k 1 k 2 k k 1 k 2 k 3
4
4B 1 k k 1 k 2 k 3 1
2
2
Theo ví dụ 1 ta có: 4B 1 k 3k 1
2
Vì k nên kk31 . Vậy 41B là số chính phương.
Bài toán 3. Chứng minh rằng: C 11...1 44...4 1với n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
2n n
C là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Ta có: C 11...100...0 11...1 44...4 1
nnnn
n
Đặt thì . Do đó 99...9110  9a1
a11...1 9a 99...9
n n n
n
C a.10 a 4a 1 a 9a 1 5a 1
2
2
C 9a 6a 1 3a 1
2
C 33...34 .
n 1
Vậy C là một số chính phương.
Nhận xét:
Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phương ta nên
n
đặt 11...1 a và như vậy 99...9110  9a1.
n n
ab1
Bài toán 4. Cho a11...1, b10...05 . Chứng minh là số tự nhiên.
2016 2015
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
Ta có: ba10...0510...01 6 9...9 6 9  6.
2015 2016 2016
2 2
 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1)
2
 ab1 (3a1)  3a1 N .
Vậy ab1 là số tự nhiên.
Cách 2:
2016
10 1
2016
Ta có: ab11...1 , 10  5.
9
2016
2
2
2016 2016
2016
2016
10  4.10 5 9
  
10 1 10  2
2016
 ab1 . 10  5 1  .
 

99 3

2016
10  2
 
 ab1 .
3
2016
Mà 10  2 3. Do đó, ab1 là số tự nhiên.
 
Vậy ab1 là số tự nhiên.
Bài toán 5. Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2. Chứng minh
a - b là một số chính phương.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
60 30
10 1 10 1
Ta có: a11...1 , b22...2 2. .
9 9
60 30
2 2
60 30 60 30 30
10 1 2(10 1) 10  2.10 110 1

ab     33...3 .


9 9 9 3
30

Cách 2:
30
b22...2 2.11...1 , a11...111...1.00...011...111...1.10 11...1.
30 30 60 30 30 30 30 30
30
Đặt c11...1.  9c1 99...9110 .
30 30
2
Khi đó: a c. 9c1  c 9c  2c . bc 2 .
 
2
2
2
 a b 9c  2c 2c 3c  33...3 .
 

30

Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên
b gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng ab là một số chính phương.
2
n 1
Bài toán 6. Cho n sao cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng
3
n là tổng của hai số chính phương liên tiếp.
Hướng dẫn giải
2
n 1
Giả sử ta có: =aa1 .
 
3
22 22
Từ đó có n  3a 3a1  4n 112a 12a3
2
 2n1 2n1  3 2a1 .
    
Vì 2nn1;2 1 là hai số lẻ liên tiếp nên ta có các trường hợp:
2
2np1 3

Trường hợp 1: .

2
21nq


22
Khi đó qp32 ( Vô lí ). Vậy trường hợp này không xảy ra.
2

21np

Trường hợp 2: .

2
2nq1 3


Từ đó là số lẻ nên .
p pk21
2 2
2
Từ đó 2nk 2 1 1  n k  k1 (đpcm).
   
2
Bài toán 7. Cho k là một số nguyên dương và a 3k 3k 1
2
a) Chứng minh rằng 2a và a là tổng của ba số chính phương.
b) Chứng minh rằng nếu a là một ước của một số nguyên duong b và b là một tổng gồm
n
ba số chính phương thì b là một tổng của bà số chính phương.
Hướng dẫn giải
22
22
a) Ta có 2a 6k 6k 2 2k 1 k 1 k
2 2 2
2 4 3 2 2 2 2 2 2 2
và a 9k 18k 15k 6k 1 k k 2k 3k 1 2k k a a a .
1 2 3
b) Vì ba nên đặt .
b ca
222
Vì b là tổng của ba số chính phương nên đặt b b b b .
1 2 3
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
2 2 2 2 2 2 2
Khi đó b c .a c a a a
1 2 3
Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành như sau: cho np21 ta được:
2 2
2pp1 2 2 2 np 2 2 2 2
b b b b b và cho np22 ta được b b b a a a
1 2 3 1 2 3
 Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phƣơng.
* Cơ sở phƣơng pháp:
Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài toán ta có thể sử
dụng các cách sau:
1) Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên.
2 2
2) Chứng minh k < n < (k + 1) với k là số nguyên.
3) Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8
4) Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3
5) Chứng minh n có dạng 3k + 2
2
6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p .
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương
được không ? tại sao?
Hướng dẫn giải
Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n
Ta có : 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó số n có dạng 3k + 2 với k là số tự
nhiên. Mặt khác một số chính phương trình không có dạng 3k + 2 suy ra số tự nhiên n
không là số chính phương.
432
Bài toán 2. Chứng minh rằng số A n 2n 2n 2n 1 trong đó n  N và n > 1
không phải là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Ta có:
4 3 2 4 3 2 2
A n 2n 2n 2n 1 n 2n n n 2n 1
22
2
22
n n n11n n n
2
2
A n n n 1
Mặt khác:
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
2
2 4 3 2 2
n n 1 n 2n 2n n 2n 1
4 3 2 2 2
n 2n 2n 2n 1 n A n A n 1
2
2
A n n 1
22
22
Do đó
n n A n n 1
2 2
Ta có (n + n) và (n + n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không thể là số chính
phương.
2 3 33
Bài toán 3. Cho A1 2 2  2 ... 2 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
2 3 4 5 30 31 32 33
Ta có A1 2 2  2  2  2 ... 2  2  2  2
   
2 2 3 30 2 3
 3 2 . 1 2 2  2 ... 2 . 1 2 2  2
   
29 29
 3 2.30... 2 .30 3 2... 2 .3.10 .
 
Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3.
Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
4n 4n 4n 4n
Bài toán 4. Chứng minh rằng A 2012  2013  2014  2015 không phải là số chính
phương với mọi số nguyên dương n.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải
Ta có:
44nn *
2012 4; 2014 4 , nN .
4n 4n 4n
chia cho 4 dư 1.
2013  2013 11 2013 1 1
 
4n
44nn
2015  2015  1 1 chia cho 4 dư 1.
 
4n 4n 4n 4n
Do đó, A 2012  2013  2014  2015 chia cho 4 dư 2.
2
Ta có: A 2 , nhưng A không chia hết cho 2 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra A không
là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com
6 4 3 2
Bài toán 5. Cho 2 n , Chứng minh rằng A n n 22n n không thể là số chính
phương
Hướng dẫn giải
6 4 3 2 2 4 2
Ta có A n n 2n 2n n n n 2n 2
2 2 2
n n n 1 2 n 1
22
n n n 1 n 1 2 n 1
2
22
n n 1 n 2n 2
2
22
Với 2 n , ta có n 2n 2 n 2n 1 n 1
2
2 2 2 22
Và n 2n 2 n 2 n 1 n . Do đó n 1 n 2n 2 n
2
Như vậy nn22 không phải là số chính phương nên A không phải là số chính
phương.
Bài toán 6. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số
chính phương.
Hướng dẫn giải
Giả sử: am21, bn21, với mn,
22
2 2 2 2
Ta có: a b 2m 1 2n 1 4 m m n n 2 4k 2 với k .
22
ab
Không có số chính phương nào có dạng 42k vì vậy không phải số chính
phương.
 Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phƣơng.
* Cơ sở phƣơng pháp: Chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.
- Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ.
- Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.
- Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất.
Liên hệ file word zalo số: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

onthicaptoc.com Chuyên đề số chính phương