Hình học không gian, lớp 11
PHẦN 1: QUAN HỆ SONG SONG
A. LÝ THUYẾT
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian:
Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
 Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
2. Điều kiện xác định mặt phẳng:
 Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC))
 Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng (mp(A,d))
 Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (mp(a, b))
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Hai đường thẳng song song
a. Định nghĩa
a
a,b(P)
b
a//b

P
ab

b. Tính chất
 Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
2. Định nghĩa: d // (P)  d  (P) = 
3. Tính chất
 Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d nằm
trong (P) thì d song song với (P).
 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P)
thì cắt theo giao tuyến song song với d.
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
cũng song song với đường thẳng đó.
 Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song
với b.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
(P) // (Q)  (P)  (Q) = 
2. Tính chất
 Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) song song với (Q).
Trang 1
Hình học không gian, lớp 11
 Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song
với (P).
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
 Cho một điểm A  (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm
trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
 Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và
các giao tuyến của chúng song song với nhau.
 Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
 Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
 Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d lần lượt lấy các điểm A, B, C và A,
AB BC CA
B, C sao cho   .
AB BC CA
A. Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là
chúng cùng song với một mặt phẳng.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu1: Trong hình học không gian,
A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.
B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.
C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Câu 2: Trong không gian, hai đường thẳng không đồng phẳng chỉ có thể:
A. Song song với nhau. B. Cắt nhau. C. Trùng nhau. D. Chéo nhau.
Câu 3: Trong không gian, hai đường thẳng không chéo nhau thì chỉ có thể:
A. Song song với nhau. B. Cắt nhau. C. Trùng nhau. D. Đồng phẳng.
Câu 4: Trong không gian, nếu ba mặt phẳng phân biệt cùng đi qua một điểm thì ba giao tuyến
của các mặt phẳng ấy:
A. Hoặc song song hoặc đồng quy. B. Phải song song với nhau.
C. Đồng quy. D. Đồng phẳng.
Câu 5: Đường thẳng a sẽ song song với mặt phẳng (P) nếu:
A. không cắt mặt phẳng .
a (P)
B. a không nằm trong mặt phẳng (P) .
C. a không có điểm chung với mặt phẳng (P) .
D. a chéo nhau với mọi đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) .
Câu 6: Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d bất kì trong mặt phẳng (P) thì
đường thẳng d phải:
A. Song song với mặt phẳng (P) . B. Nằm trong mặt phẳng (P) .
C. Có một điểm chung duy nhất với mặt phẳng (P) . D. Không cắt mặt phẳng
(P) .
Câu 7: Nếu đường thẳng song song với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng và
d d (P)
mặt phẳng (Q) chứa d đồng thời cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a thì:
A. Đường thẳng a phải song song với đường thẳng d .
B. Đường thẳng a phải trùng với đường thẳng d .
C. Đường thẳng a phải đồng phẳng và không cắt đường thẳng d .
Trang 2
Hình học không gian, lớp 11
D. Đường thẳng a hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng d .
Câu 8: Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Các mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng
đi qua d và d đồng thời cắt nhau theo giao tuyến a thì:
A. Đường thẳng a song song với đường thẳng d .
B. Đường thẳng a song song với cả hai đường thẳng d và d .
C. Đường thẳng a trùng với đường thẳng d .
D. Đường thẳng a hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng d .
Câu 9: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(P) . Khi đó đường thẳng d có đặc điểm gì?
A. d song song với (Q) . B. d cắt (Q) .
C. d nằm trong (Q) . D. d có thể cắt (Q) hoắc nằm trong (Q) .
Câu 10: Ta chỉ xét phép chiếu song song mà các đoạn thẳng hay đường thẳng không song song
hoặc trùng với phương chiếu. Khi đó hình chiếu của một đoạn thẳng sẽ là:
A. Một điểm. B. Một đoạn thẳng.
C. Một đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đã cho. D. Một đường thẳng.
Câu 11: Mệnh đề nào sau đây là sai?Qua một phép chiếu song song, hình chiếu của hai đường
thẳng cắt nhau có thể là:
A. Hai đường thẳng cắt nhau. B. Hai đường thẳng song song với nhau.
C. Hai đường thẳng trùng nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt.
Câu 12: Trong không gian,
A. Cho hai đường thẳng và song song với nhau. Nếu mặt phẳng và đường thẳng có
a b (P) a
giao khác rỗng thì (P) và đường thẳng b cũng có giao khác rỗng.
B. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu mặt phẳng (P) cắt đường thẳng a thì
(P) phải cắt đường thẳng b .
C. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu đường thẳng a song song với mặt
phẳng (P) thì a phải song song với mặt phẳng (Q) .
D. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P)
có giao khác rỗng thì a và mặt phẳng (Q) cũng có giao khác rỗng.
Câu 13: Cho tứ diện ABCD có M , N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB . Khi đó ta có thể kết
luận được gì về hai đường thẳng CM và DN ?
A. Song song. B. Cắt nhau. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, AD và SC . Khi đó mặt phẳng (MNP) không có điểm chung với cạnh nào sau
đây?
A. SB . B. SC . C. SD . D.SA .
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD , các điểm M , N tương ứng thuộc các cạnh SC và AB . Khi đó,
giao điểm T của MN với mặt phẳng (ABD) được xác định như thế nào?
A. T NM  SB . B. T NM BD .
C. T NM  SI trong đó I NCBD . D. T là một điểm tùy ý trong mặt phẳng (SBD)
.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD , gọi G và G tương ứng là trọng tâm các tam giác BCD và BCA . Khi
đó ta có thể kết luận được gì về hai đường thẳng AG và DG ?
A. Cắt nhau tại một điểm. B. Cùng thuộc một mặt phẳng.
C. Cùng thuộc một mặt phẳng và không cắt nhau. D. Không cùng thuộc
một mặt phẳng.
Trang 3
Hình học không gian, lớp 11
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , E
là trung điểm CB , I là giao điểm của AE và BD . Khi đó IG sẽ song song với đường thẳng nào
dưới đây?
A. SA . B. SB . C. SC . D. SD.
Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.AB C D (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) ), AC cắt BD tại O
còn A C cắt B D tại O . Khi đó ta có thể kết luận được gì về hai đường thẳng AC và A C ?
A. Cắt nhau. B. Song song. C. Trùng nhau. D. Chéo nhau.
Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.AB C D (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) ), AC cắt BD tại O
còn A C cắt B D tại O . Khi đó ta có thể kết luận được gì về hai đường thẳng AO và A O ?
A. Cắt nhau. B. Song song. C. Trùng nhau. D. Chéo nhau.
Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành . Khi đó giao tuyến của hai
S.ABCD (AB//CD)
mặt phẳng (SBC) và (SAD) có đặc điểm gì?
A. Đi qua điểm S . B. Đi qua điểm S và song song với AB .
C. Đi qua điểm S và song song với AD . D. Đi qua điểm S và song song với AC .
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành AB//CD . Điểm M bất kì trên cạnh
SC (không trùng với C hay S ), mặt phẳng (ABM ) cắt cạnh SD tại N . Khi đó ta có thể kết luận
được gì về tứ giác ABMN ?
A. ABMN là hình thang. B. ABMN là hình bình hành.
C. là tứ giác lồi và các cặp cạnh đối đều cắt nhau. D. là hình thoi.
ABMN ABMN
Câu 22: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) và không đồng
phẳng. Gọi I và J tương ứng là trọng tâm các tam giác ABF và ABD . Khi đó, IJ không song
song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. EBC . B. (BDF) . C. (DCEF) . D. (EAD) .
Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.AB C D (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD tại O
còn cắt tại . Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường
A C B D O (ACC A) (AB D )
thẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
A C B D AO A O
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, AD và SC . Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình tứ giác. C. Hình ngũ giác. D. Hình lục giác.
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD.AB C D (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) ), AC cắt BD tại O
còn A C cắt B D tại O . Khi đó AB D sẽ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
 
A. (AOC ) . B. BDC . C. (BDA) . D. (BCD).
 
Câu 26: Cho hình lập phương ABCD.AB C D (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD tại O
còn A C cắt B D tại O . Các điểm M , N,P theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,BC,OB .
Khi đó, thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương sẽ là đa giác có số cạnh là bao nhiêu?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.AB C D (AB,AD và AA có độ dài đôi một khác nhau),
giao điểm của với mặt phẳng AB D là:
A C  
A. Trọng tâm tam giác AB D .
B. Trực tâm tam giác AB D .
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB D .
D. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác AB D .
Trang 4
Hình học không gian, lớp 11
Câu 28: Cho lăng trụ ABC.AB C . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Mặt phẳng (P) đi qua M
đồng thời song song với BC và CA . Thiết diện do mặt phẳng (P) cắt lăng trụ là đa giác có số
cạnh bằng bao nhiêu?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 29:. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi và ADBC E . Các điểm M , N tương
ứng thuộc các cạnh SA và SB sao cho DM CN I . Khi M , N tương ứng di động trên các
đường thẳng SA và SB thì ta có thể kết luận được gì về điểm I ?
A. Cố định. B. Di động trên đoạn thẳng SE .
C. Di động trên đường thẳng SE . D. Di động tùy ý trong không gian.
Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.AB C D cạnh a (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD
tại O còn A C cắt B D tại O . Các điểm M , N,P theo thứ tự thuộc các cạnh BB ,C D ,DA
sao cho BM C N DP  b (0  b  a) . Khi đó mặt phẳng (MNP) sẽ song song với mặt phẳng
nào dưới đây?
A. B. C. D.
(AOC ) (BDC ) (BDA) (BCD)
PHẦN 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A. LÝ THUYẾT
CHỦ ĐIỂM 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Vectơ trong không gian có định nghĩa và các tính chất tương tự như vectơ trong mặt phẳng.
Nhắc lại các kiến thức:
1.1.1. Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Đó là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm
đầu và điểm cuối.
Ví dụ:

Vectơ có điểm đầu là A điểm cuối là B được kí hiệu là: AB
 
Ngoài ra vectơ còn được kí hiệu là a,x,u,...
1.1.2. Các quy tắc và công thức
a. Quy tắc ba điểm
     
Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: ABBCAC; ABACCB
b. Quy tắc hình bình hành
  
Cho hình bình hành ABCD ta có: ACABAD
c. Quy tắc hình hộp (bổ sung cho học sinh)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và đường chéo AC’,
   
ta có: ACABADAA .
d.Công thức trung điểm
  
I là trung điểm của đoạn AB IAIB 0
  
MAMB 2MI,M .
e. Công thức trọng tâm
   
* G là trọng tâm của ABCGAGBGC 0
   
MAMBMC 3MG,M .
   

*G là trọng tâm của tứ diện ABCDGAGBGCGD 0 (bổ sung cho học sinh)
    
MAMBMCMD 4MG,M
Bài mới:
Trang 5
Hình học không gian, lớp 11
1.1.3. Sự đồng phẳng của ba vectơ
a. Định nghĩa
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với
một mặt phẳng.
b. Tính chất

 
Cho ba vectơ a,bvà c trong không gian.
   
   
i. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OAa,OBb,OCc . Khi đó ba vectơ a,bvà c đồng phẳng khi
và chỉ khi bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng.
 
 
ii. Nếu một trong ba vectơ a,bvà c là vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.

 
iii. Nếu hai trong ba vectơ a,bvà c cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
c. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 1

 
Cho hai vectơ không cùng phương a,b và một vectơ c trong không gian.
 
   
Khi đó, ba vectơ a,b ,c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho c manb .
Định lí 2

  
Cho a,bvà c là vectơ không đồng phẳng. Với bất kì một vectơ x nào trong không gian ta đều

  
tìm được một bộ ba số m,n và p duy nhất sao cho xmanbpc .
1.2.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1.2.1. Chứng minh đẳng thức về vectơ
Sử dụng các quy tắc và công thức đã học về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho
1.2.2 Chứng minh ba vectơ a,b,c đồng phẳng
Chứng minh ba vectơ a,b,c có giá song song với một mặt phẳng nào đó.
Sử dung tính chất: ba vectơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số m,n sao
cho: cmanb
CHỦ ĐIỂM 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
2.1.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1.1. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Cho hai đường thẳng bất kì a và b trong không gian.Góc giữa hai đường thẳng a, b
là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a
và b. Kí hiệu: (a, b)
Chú ý:
a
0
 Nếu a // b hoặc a  b thì ta nói (a, b) = 0
0 0
 0  (a,b)90
b
2.1.2. Hai đường thẳng vuông góc
0
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 . Kí
’
a
hiệu: a b
’
Chú ý:
b
 Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với
đường thẳng còn lại.
 Hai đường thẳng trong không gian vuông góc nhau thì hoặc cắt hoặc chéo nhau
 Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chưa chắc song song nhau.
2.2.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Trang 6
Hình học không gian, lớp 11
2.2.1. Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
 Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình
học phẳng.
 Dùng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian
 Dùng công thức:


|u.v |
 
cos(a, b)= |cos (u,v) | ( với ⃗,⃗ lần lượt là vector chỉ phương của a và b)
|u | .|v |
2.2.2.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau
 Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình
học phẳng.
 Dùng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian và chứng minh góc giữa chúng
0
bằng 90
 Chứng minh: ⃗.⃗=0 với ⃗ à ⃗ lần lượt là vector chỉ phương của a và b
CHỦ ĐIỂM 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa: Một đường thẳng a gọi là vuông góc với một mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Kí hiệu: a (P) hoặc (P) a.
Định lý cơ bản: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm
trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
3.1.2. Các tính chất
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với
một đường thẳng a cho trước.
Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với

một mặt phẳng (P) cho trước.
ab

a / /b
 
Tính chất 3: b (P) a (P)a / /b
 
a (P)


b (P)

(P) (Q)

(P) / / (Q)


(P)a  (P) / /(Q)
Tính chất 4: a (Q)
 
a (P)


(Q)a

ab
a / /(P)


Tính chấtt 5: ab (P)ba / /(P)
 
b (P)


a (P)

3.1.3. Định lí ba đường vuông góc
Phép chiếu vuông góc: là phép chiếu song song trong đó phương chiếu vuông góc với mặt
phẳng chiếu.
Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Gọi
B
a’ là hình chiếu vuông góc của a trên (P).

Khi đó, ab a b A
Trang 7
A B
b
Hình học không gian, lớp 11
Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Tập hợp những điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng đi qua tâm của đường
tròn ngoại tiếp tam giác và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó. Đường thẳng này gọi
là trục của tam giác.
3.1.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa:
 Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
0
mặt phẳng (P) bằng 90 .
 Nếu đường thẳng a không vuông góc với mp(P) thì góc giữa đường thẳng a và mp(P) là góc
’
giữa đường thẳng a và đường thẳng a là hình chiếu của a lên mp(P).
Kí hiệu: (a, (P))
3.2.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
3.2.1.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp(P) ta có thể chứng minh:
 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P)
 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b vuông góc với mp(P)
 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp(Q) song song với mp(P)
 Chứng minh đường thẳng a là trục của tam giác ABC ( tức là chứng minh đt a chứa hai điểm
cách đều A, B, C)
3.2.2.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau
 Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia
 Chứng minh dựa vào định lí ba đường vuông góc
3.2.3.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
0
Nếu đt a vuông góc với mp(P) thì ta nói góc giữa đt a và mp(P) bằng 90
 Nếu đt a không vuông góc với mp(P) thì ta thực hiện như sau:
’
B1:Tìm hình chiếu vuông góc a của đường thẳng a trên mặt phẳng (P).
’
B2: Xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a
’
KL: Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a
3.2.4.Tìm thiết diện
 Dạng 1: Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P). Hãy xác định mp(Q) chứa đường
thẳng a và vuông góc với mp(P)
Lưu ý: Từ một điểm M trên đường thẳng a, dựng đường thẳng b vuông góc với mp(P). Khi đó,
(Q) =(a, b)
Dạng 2:Cho đường thẳng a và điểm M. Hãy xác định mp(P) đi qua M và vuông góc với a.
Lưu ý: Đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng a thì chứa trong mp(P).
Đường thẳng vuông góc với a hoặc song song hoặc nằm trong mp(P).
CHỦ ĐIỂM 4: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
4.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
4.1.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.
4.1.2. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
0
90 . Kí hiệu: (P)  (Q)
Định lý 1: (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)
Trang 8
Hình học không gian, lớp 11
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với nhau.
a (Q)

 (P) (Q)

a (P)

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thù bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong (P) , vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì đều vuông góc với mặt
phẳng (Q) .
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì
đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với sẽ nằm trong .
(Q) (P)
(P) (Q)


A(P)

a (P)

a (Q)


Aa

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
a
(P) (Q)a


(P) (R) a (R)

 Q
P
(Q) (R)

R
Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc
a
với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q)
O
vuông góc với mặt phẳng (P) .
b
4.2.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
4.2.1. Góc giữa hai mặt phẳng
()//()
0
 Nếu thì góc giữa (P) và (Q) là 0 .
()≡()
 Nếu (P) và (Q) cắt nhau:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa
Cách 2: Thực hiện các bước như sau:
P
- Xác định giao tuyến ∆ của (P) và (Q)
- Dựng mặt phẳng (R) ⊥ ∆. Nếu R)∩(P) = p, (R)∩(Q) =q thì góc giữa hai mp(P) và (Q) là góc
giữa hai đt p và q.
Hay: Trong mp(P) tìm p ⊥ ∆, trong mp(Q) tìm q ⊥ ∆. Góc giữa hai mp(P) và (Q) là góc giữa hai
đt p và q
4.2.2.Chứng minh hai mặt thẳng vuông góc với nhau
 Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
0
 Chứng minh góc giữa chúng bằng 90
4.2.3.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
 Sử dụng định lí: Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm
trong mp(P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mp(Q).
 Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau và cùng vuông góc với mp (R) thì giao
tuyến của hai mp (P) và (Q) vuông góc với mp (R).
CHỦ ĐIỂM 5: KHOẢNG CÁCH
5.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trang 9

onthicaptoc.com Chuyên đề Quan hệ song song Quan hệ vuông góc Hình học lớp 12 đầy đủ chi tiết