CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Cho đường thẳng . Vectơ gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với .
Chú ý:
* Nếu là VTCP của thì cũng là VTCP của .
* Nếu đường thẳng đi qua hai điểm thì là một VTCP.
* Ta chứng minh được nếu hai véc tơ không cùng phương có giá cùng vuông góc với đường thẳng thì là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng .
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua và có VTCP . Khi đó phương trình đường thẳng có dạng:
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , được gọi là tham số.
Chú ý: Cho đường thẳng có phương trình
● là một VTCP của .
● Điểm , suy ra .
3. Phương trình chính tắc
Cho đường thẳng đi qua và có VTCP với . Khi đó phương trình đường thẳng có dạng:
được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .
4. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng
Định nghĩa 1: Trong không gian, cho điểm và đường thẳng .
- Nếu thì hình chiếu của trên đường thẳng là chính nó.
- Nếu thì hình chiếu của trên đường thẳng là điểm sao cho
Định nghĩa 2: Trong không gian, cho điểm và mặt phẳng .
- Nếu thì hình chiếu của trên mặt phẳng là chính nó.
- Nếu thì hình chiếu của trên mặt phẳng là điểm sao cho .
-
5. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng .
b) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng qua điểm có véctơ chỉ phương được xác định bởi công thức
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: đi qua điểm và có véctơ chỉ phương và đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là
6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.
a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Trong không gian , cho hai đường thẳng đi qua có VTCP và đi qua có VTCP .
Để xét vị trị tương đối của và , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
• hoặc .
• hoặc .
• cắt .
• chéo .
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
b) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
a
a
a
Trong không gian , cho
Mặt phẳng có VTPT và đường thẳng
đi qua , có VTCP .
Để xét vị trị tương đối của và , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
•Nếu thì .
•Nếu thì .
•Nếu không cùng phương với thì cắt .
• và cùng phương với .
Phương pháp đại số:
Xét hệ phương trình .
Thay vào , ta được

.
Phương trình là phương trình bậc nhất, ẩn . Ta có
•Nếu phương trình vô nghiệm thì .
•Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì cắt .
•Nếu phương trình có vô số nghiệm thì .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo , sau đó thay giá trị của vào phương trình tham số của để tìm .
c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Trong không gian , cho đường thẳng và mặt cầu
và .
Để xét vị trị tương đối của và , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
•Bước 1. Tính khoảng cách từ tâm của đến .
•Bước 2. + Nếu thì không cắt .
+ Nếu thì tiếp xúc .
+ Nếu thì cắt .
Phương pháp đại số:
• Bước 1. Thay từ phương trình tham số của vào phương trình , khi đó ta được phương trình bậc hai theo .
• Bước 2. + Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm thì không cắt .
+ Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm thì tiếp xúc .
+ Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì cắt .
Chú ý : Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo , sau đó thay giá trị của vào phương trình tham số của để tìm .
7. Góc
a) Góc giữa hai véctơ
Cho hai véctơ và Khi đó góc giữa hai véctơ và là góc nhọn hoặc tù.
với
b) Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian , cho hai đường thẳng lần lượt có các VTPT là .
Góc giữa và bằng hoặc bù với góc giữa và .
Tức là: .
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian , cho đường thẳng có VTCP và mặt phẳng có VTPT .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên .
Tức là: .
II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vấn đề 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng trong trường hợp véctơ chỉ phương của đường thẳng được tìm dựa vào định nghĩa.
1. Phương pháp. Để tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng dựa vào định nghĩa, ta tìm một véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, véc tơ đó chính là véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Chú ý:
+ Đường thẳng đi qua và thì là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
+ Đường thẳng song song với đường thẳng thì là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
2. Ví dụ minh họa
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Viết phương trình đường thẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Đường thẳng đi qua điểm và nhận là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là .
Câu 2: Trong không gian tọa độ phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Do đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là
Câu 3: Trong không gian , đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
+ Kiến thức cần nhớ: Đường thẳng qua điểm và nhận vectơ với làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là .
+ Do đó đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là .
Câu 4: Trong không gian , phương trình của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là
A. . B. .C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có VTPT của mặt phẳng là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận một vectơ hay làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm nên có phương trình .
Câu 5: Trong không gian , phương trình của trục là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Trục đi qua điểm và có một VTCP là .
Suy ra phương trình của trục là
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng ?
A. . B. .C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng đi qua và song song nhận làm vecto chỉ phương
Phương trình đường thẳng cần tìm: .
Chú ý:Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ không phải phương trình chính tắc.
Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng trong trường hợp véctơ chỉ phương của đường thẳng được tìm dựa vào tích có hướng.
1.Phương pháp. Để tìm vec tơ chỉ phươngcủa đường thẳng dựa vào tích có hướng, ta tìm hai vec tơ không cùng phương, có giá vuông góc với đường thẳng. Khi đó, tích có hướng của hai véc tơ trên là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
Chú ý:
+ Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng cho trước, suy ra
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng và cho trước, suy ra.
+ Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng và cho trước, suy ra.
+ Đường thẳng d vuông góc đường và song song mặt cho trước, suy ra.
+ Đường thẳng d nằm trong mặt , song song với mặt phẳng (Q) cho trước, suy ra .
2. Ví dụ minh họa
Câu 1.Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm và hai mặt phẳng , . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua , song song với và ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có và .
Vì đường thẳng song song với hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương. Ma d đi qua nên ta chọn đáp án D.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng qua và vuông góc với cả
A. B.
C. D.
Lời giải.
Đường có VTCP ; có VTCP .
Vì vuông góc với nên có véc-tơ chỉ phương . Chọn B.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua , song song với và vuông góc với có phương trình:
A. B.
C. D.
Lời giải
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng song song với và vuông góc với nên có VTCP
.
Vậy phương trình đường thẳng . Chọn D.
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai mặt phẳng , . Phương trình nào dưới đây là phương trình giao tuyến của và ?
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi d làgiao tuyến của và
Ta có và .
Cho thuộc đường thẳng d . Chọn đáp án D.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng , . Đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình:
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có và . Suy ra đáp án A
Vấn đề 2: Điểm và đường thẳng
Dạng 1: Điểm thuộc đường thẳng
1. Phương pháp giải: Để kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng hay không, ta làm như sau:
 Phương trình tham số của .
Điểm thuộc đường thẳng
 Phương trình chính tắc của
Điểm
2. Ví dụ minh họa
Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần1) Trong không gian , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?
A.. B.. C.. D..
Lờigiải
ChọnA
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm thỏa mãn. Vậy điểm thuộc đường thẳng .
Câu 2. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng có phương trình . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng ?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có nên điểm .
Câu 3. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng : ?
A. B. C. D.
Lờigiải
ChọnA
Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu qua , có véc tơ chỉ phương thì phương trình đường thẳng là: , ta chọn đáp án A.
Cách 2. Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng , ta có:
. Chọn đáp án A.
Câu 4. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ . Đường thẳng đi qua điểm nào sau sau đây?
A.. B.. C.. D..
Lờigiải
Chọn D
Cách1. Dựa vào lý thuyết: Nếu qua , có véc tơ chỉ phương thì phương trình đường thẳng là: , ta chọn đáp án D.
Cách 2:
Thay tọa độ của vào PTTS của ta được không tồn tại t. Do đó,
Thay tọa độ của vào PTTS của ta được không tồn tại t.
Do đó,
Thay tọa độ của vào PTTS của ta được không tồn tại t.
Do đó,
Thay tọa độ của vào PTTS của ta được Do đó,
Câu 5. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian , cho điểm . Đường thẳng nào sau đây đi qua ?
A.. B..
C.. D..
Lờigiải
Xét đáp án A. Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta được
đúng. Suy ra đường thẳng đi qua điểm .
Dạng 2: Hình chiếu của điểm
1. Phương pháp giải:
a) Để tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng, ta làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1:
- Bước 1: Do điểm thuộc đường thẳng nên tham số tọa độ điểm theo tham số .
- Bước 2: Do nên , từ đó giải tìm .
- Bước 3: Thay vào tọa độ điểm đã tham số ở bước 1.
Cách 2:
-
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc
với
- Bước 2: Do điểm thuộc đường thẳng nên tham số tọa độ
điểm theo tham số .
- Bước 3: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng rồi giải tìm .
- Bước 4: Thay vào tọa độ điểm đã tham số ở bước 1.
 Đặc biệt: Điểm có
- Hình chiếu trên trục là .
- Hình chiếu trên trục là .
- Hình chiếu trên trục là .
b) Để tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng , ta làm như sau:
- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng .
- Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
 Đặc biệt: Điểm có
- Hình chiếu trên mặt phẳng là .
- Hình chiếu trên trục là .
- Hình chiếu trên trục là .
2. Ví dụ minh họa
Câu 1. (Mã 102-2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là .
Câu 2. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng có tọa độ là
A.. B.. C.. D..
Lời giải
ChọnB
Ta có hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là điểm .
Do đó hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là điểm .
Câu 3. (Mã 101-2019) Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là: .
Câu 4. (THCS-THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian , tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng là:
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng . Khi đó: nhận là vectơ chỉ phương suy ra phương trình .
Do .
Do .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng. Gọi là hình chiếu của lên . Tính a+b+c.
A.. B.. C.. D..
Lời giải
ChọnB
Gọi là hình chiếu của lên nên tọa độ của H có dạng và
Dạng 3: Khoảng cách
1. Phương pháp giải
 Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng .
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng qua điểm có véctơ chỉ phương được xác định bởi công thức
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: đi qua điểm và có véctơ chỉ phương và đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là
2. Ví dụ minh họa
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường thẳng . Tính khoảng cách giữa và .
A. B. C. D.
Lời giải
ChọnA
có vecto pháp tuyến và đường thẳng có vecto chỉ phương thỏa mãn nên hoặc .
Do đó: lấy ta có: .
Câu 2. (Bình Phước-2019) Trong không gian , khoảng cách từ điểm tới đường thẳng bằng
A.. B.. C.. D.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng đi qua , có véc tơ chỉ phương
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng
A.. B.. C.. D..
Lời giải
ChọnC
Gọi .
.
Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng
Câu 4. (Chuyên Trần Đại Nghĩa- TPHCM -2018) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng : và :
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
qua có vtcp , qua có vtcp .
, .
.
Câu 5. (Chuyên Bắc Giang-2019)Cho . Khi đó khoảng cách giữa và là
A.. B.. C.. D..
Lời giải
ChọnC
Ta có và lần lượt là vectơ chỉ phương của
Ta có:
Vấn đề 3: Bài tập về vị trí tương đối
Dạng 1. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Để xét vị trị tương đối của và , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
• hoặc .
• hoặc .
• cắt .
• chéo .
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Vị trí tương đối của và là:
A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Chéo nhau.
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Ta có nên .
nên .
Từ và , suy ra và song song.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Vị trí tương đối của và là:
A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Chéo nhau.
Lời giải
Chọn D.
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Ta có , .
Suy ra . Do đó và chéo nhau.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. song song . B. và chéo nhau.
C. cắt và vuông góc với nhau. D. vuông góc và không cắt nhau.
Lời giải
Chọn D.
Đường thẳng qua và có VTCP ,
qua và có VTCP .
●
● .
Vậy vuông góc và không cắt nhau.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. song song . B. và chéo nhau.
C. cắt và vuông góc với nhau. D. vuông góc và không cắt nhau.
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng qua và có VTCP ,
qua và có VTCP .
●
● .
Vậy cắt và vuông góc với nhau.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Với giá trị nào sau đây của thì và song song với nhau?
A. B. C. D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng qua và có VTCP .
Đường thẳng qua và có VTCP .
Thay điểm vào phương trình không thỏa mãn.
Do đó để song song , ta cần có .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và .
Với giá trị nào của thì hai đường thẳng đó trùng nhau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng qua và có VTCP .
Đường thẳng qua và có VTCP .
Để .
Dạng 2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét vị trị tương đối của và , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
•Nếu thì .
•Nếu thì .
•Nếu không cùng phương với thì cắt .
• và cùng phương với .
Phương pháp đại số:
Xét hệ phương trình .
Thay vào , ta được

.
Phương trình là phương trình bậc nhất, ẩn . Ta có
•Nếu phương trình vô nghiệm thì .
•Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì cắt .
•Nếu phương trình có vô số nghiệm thì .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo , sau đó thay giá trị của vào phương trình tham số của để tìm .
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho cho mặt phẳng và đường thẳng .
Khẳng định nào sau đây đúng:
A. Đường thẳng cắt mặt phẳng .
B. Đường thẳng song song với mặt phẳng .
C. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
D. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Mặt phẳng có VTPT .
● .
● hay .
Từ và , suy ra song song với .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và đường thẳng . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. .D. chỉ cắt nhưng không vuông góc.
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Mặt phẳng có VTPT .
● .
● chứng tỏ .
Từ và , suy ra .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng . Xét mặt phẳng với là tham số thực.
Tìm tất cả các giá trị của để mặt phẳng vuông góc với đường thẳng .
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng có VTCP .
Mặt phẳng có VTPT .
Để
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường thẳng . Với giá trị nào của thì nằm trong ?
A. . B. . C. . D. .

onthicaptoc.com Chuyen de PTDT trong khong gian