Giaovienvietnam.com
Vấn đề cần nắm:
1. Khái niệm phương trình
2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất
3. Phương trình bậc nhất và quy về bậc hai
4. Hệ phương trình
Chủ đề 3
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình và hệ phương trình bậc hai.
Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hoàn chỉnh những kiến thức ở THCS, do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm:
1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có tham số.
2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ đẳng cấp.
ççç
§1. Khái niệm phương trình
A. Lý thuyết
I. Phương trình một ẩn
1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đều là nghiệm của phương trình thì phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình . Ta viết: .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
II. Các phép biến đổi phương trình
1. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có nghĩa thì: .
2. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có nghĩa và thì: .
3. Đối với bất kỳ các hàm và và n là số tự nhiên ta có:
.
Đặc biệt:
+ Nếu n là số tự nhiên lẻ thì:
+ thì:
+
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
Tìm điều kiện của phương trình
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của phương trình sau: .
A. B. C. D.
Lời giải
STUDY TIP
+ Điều kiện để có nghĩa là
+ Điều kiện để có nghĩa là
Để phương trình có nghĩa ta phải có: .
Đáp án A.
Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình xác định khi: .
Đáp án C.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình: .
A. B. C. D.
Lời giải
Điều kiện: .
Đáp án B.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình xác định trên .
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình xác định khi: .
Khi đó để phương trình xác định trên thì:
Đáp án C.
Ví dụ 5: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình xác định trên .
A. B. C. D.
STUDY TIP
Điều kiện ở biểu thức thứ 2 chỉ là: vì căn thức nằm ở mẫu.
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là:

Hay phương trình xác định trên do đó điều kiện để phương trình xác định trên là:
hay .
Dạng 2
Đáp án B.
Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: ?
A. B.
C. D.
Lời giải
STUDY TIP
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ta có phương trình: do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: . Xét các đáp án:
- Đáp án A: Giải phương trình:
STUDY TIP


Do đó tập nghiệm của phương trình là:
- Đáp án B: Giải phương trình:
Do đó tập nghiệm của phương trình là: .
- Đáp án C: Giải phương trình:
Do đó tập nghiệm nên chọn đáp án C.
- Đáp án D: Có .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: ?
A. B.
C. D.
Lời giải
Giải phương trình đã cho: Tập nghiệm là .
Xét các đáp án:
- Đáp án A:
- Đáp án B:

- Đáp án C:
.
- Đáp án D:
.
Đáp án D.
Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án A.
Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn đáp án D vì
Còn các khẳng định khác đều đúng.
Đáp án D.
Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. và
B. và
C. và
D. và
Lời giải
Xét các đáp án:
- Đáp án A: + Phương trình
+ Phương trình
Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm.
- Đáp án B: + Phương trình
STUDY TIP

+ Phương trình
Vậy chọn đáp án B.
- Đáp án C: + Phương trình

+ Phương trình
Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương.
- Đáp án D: Tập nghiệm rỗng.
Do đó phương trình và không phải là hai phương trình tương đương.
Đáp án B.
Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương:
(1) và (2)
A. B. C. D.
STUDY TIP
Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương với nhau.
Lời giải
Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm.
Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức là: .
Đáp án A.
Ví dụ 7: Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau:
A. và
B. và
C. và
D. và
Lời giải
Ta xét các đáp án:
- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là
Khi đó nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho nên hai phương trình tương đương.
STUDY TIP
Điều kiện của phương trình là:

- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là nên tương đương.
- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất với ta được phương trình thứ hai.
Vậy hai phương trình tương đương.
- Đáp án D: Phương trình có 2 nghiệm và thỏa mãn điều kiện .
Còn phương trình chỉ có nghiệm vì không thỏa mãn điều kiện .
Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương.
Đáp án D.
Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
và (2)
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: Phương trình (2)
Do hai phương trình tương đương nên cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có . Khi hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương.
Đáp án B.
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương:
(1) và (2)
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình (1)
Do 2 phương trình tương đương nên cũng phải là nghiệm của (2) nên thay vào phương trình (2) ta có:

+ Với :
Phương trình (1) trở thành:
STUDY TIP
Với câu hỏi trắc nghiệm ta có thể thử từng đáp án.
Phương trình (2) trở thành
Vậy hai phương trình tương đương.
+ Với :
Phương trình (1) trở thành:
Phương trình (2) trở thành:
Vậy Hai phương trình không tương đương.
Vậy thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.
Ví dụ 10: Cho phương trình . Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho:
A. B.
C. D.
STUDY TIP
Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của phương trình (2) chứa tập nghiệm của phương trình (1).
Lời giải
Giải phương trình Tập nghiệm
Ta xét các đáp án:
- Đáp án A:
STUDY TIP
Phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là
Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án B:
Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án C: vô nghiệm

Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Đáp án D: Giải phương trình ta có:
Dạng 3
Đáp án C.
Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số
- Kiến thức cần nhớ
+ Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành.
+ Đồ thị của hàm số nằm phía dưới trục hoành.
+ Đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số: .
Ví dụ 1: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Phương trình có điều kiện xác định là:
A. B. C. D.
STUDY TIP
Đồ thị mà là những giá trị x làm cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Lời giải
Điều kiện: nhìn đồ thị ta thấy: thì đồ thị nằm phía trên trục hoành hay hàm cho .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình xác định trên khoảng .
B. Phương trình xác định trên đoạn .
C. Phương trình xác định trên khoảng .
D. Phương trình xác định trên khoảng .
Lời giải
Nhìn đồ thị ta thấy
Đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình xác định trên tập nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta thấy đường thẳng: đi qua các điểm và .
Từ điều kiện của phương trình là: ta thấy trên đoạn .
Đồ thị nằm phía trên đường thẳng nên với thì .
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Đồ thị như hình bên.
Khi đó điều kiện: .
Đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hàm có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình xác định trên .
A. 5 B. 1 C. 3 D. 4
Lời giải
Đồ thị như hình vẽ:
.
Đáp án C.
Giaovienvietnam.com
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 82
Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình:
là
A. B.
C. D.
Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình:
là:
A. B. và
C. D. và
Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình thuộc tập nào sau đây?
A. B.
C. D.
Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình:
là:
A. B.
C. D.
Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình
là:
A. B.
C. D.
Câu 9: Cho đường thẳng có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của phương trình là:
A. B.
C. D.
Câu 10: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ:
Phương trình có điều kiện là:
A. B.
C. D.
Câu 11: Cho parabol như hình vẽ câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương trình:
là:
A. B. C. D.
Câu 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Khi đó phương trình xác định trên tập nào sau đây?
A. B.
C. D.
Giaovienvietnam.com
§2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất
A. Lý thuyết
Giải biện luận phương trình :
+ Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất .
+ Nếu và thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu và thì phương trình có nghiệm .
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
STUDY TIP
Phương trình có nghiệm duy nhất khi
Giải biện luận phương trình
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: có nghiệm dyu nhất là nghiệm nguyên?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và
Khi đó nghiệm duy nhất là: là nghiệm nguyên
Có 4 giá trị của m.
STUDY TIP
Phương trình hay phương trình vô nghiệm
Đáp án D.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của p để phương trình sau đây vô nghiệm.
.
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình vô nghiệm
Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho phương trình . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. B. C. D.
Lời giải
Viết lại phương trình:
Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi .
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho hai hàm số: và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
A. B. và
C. D. và
Lời giải
Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình:
có nghiệm duy nhất
có nghiệm duy nhất
STUDY TIP
Phương trình có vô số nghiệm
Đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hai hàm số và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng trên trùng nhau.
A. B. và
C. D.
Lời giải
Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình:
có vô số nghiệm
vô số nghiệm .
Dạng 2
Đáp án C.
Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:
Dùng tính chất:
+
+
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. phương trình đã cho có nghiệm.
phương trình đã cho vô nghiệm.
B. Phương trình đã cho luôn có nghiệm .
C. Phương trình đã cho vô nghiệm .
D. phương trình đã cho vô nghiệm.
STUDY TIP

Lời giải
Phương trình đã cho
+)
+)
Vậy phương trình có 2 nghiệm .
phương trình vô nghiệm.
Đáp án A.
Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: . Khi đó kết luận nào sau đây là đúng?
A. phương trình có 2 nghiệm .
phương trình đều có nghiệm .
B. phương trình có 2 nghiệm .
phương trình vô nghiệm.
C. phương trình có nghiệm duy nhất .
phương trình vô nghiệm.
D. phương trình có 2 nghiệm .
phương trình có nghiệm .
phương trình có nghiệm .
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
- Giải (1):
+ Với phương trình có nghiệm duy nhất .
+ Với ta có phương trình , phương trình vô nghiệm.
- Giải (2):
+ Với phương trình có nghiệm duy nhất .
+ Với phương trình , phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ phương trình đã cho có 2 nghiệm .
+ phương trình (1) vô nghiệm nhưng phương trình (2) có nghiệm .
+ phương trình (2) vô nghiệm nhưng phương trình (1) có nghiệm .
Đáp án D.
Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: (1).
A. B.
C. D. không tồn tại m
Lời giải
Cách 1:
Ta thấy nếu là nghiệm thì cũng là nghiệm do đó điều kiện cần để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
Thay vào phương trình (1) ta được .
- Với phương trình (1) trở thành:
Ta thấy phương trình có ít nhất 3 nghiệm .
Vậy không tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất.
Cách 2:
Ta vẽ đồ thị ta có bảng xét dấu:
0
1

0



0

1

Vậy
Ta có đồ thị như hình bên ta thấy thì đường thẳng không thể cắt đồ thị tại một điểm duy nhất nên phương trình (1) không có nghiệm duy nhất.
Dạng 3
Đáp án D.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ: Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm.
A. B. và
C. D. hoặc
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình: .
Khi đó phương trình (1) (2)
- Với phương trình (2) có nghiệm duy nhất nó là nghiệm của (1).
Khi
- Với phương trình (2) vô nghiệm (1) vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi
Đáp án B.
Giaovienvietnam.com
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 129
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình: vô nghiệm.
A. B.
C. D.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình: vô nghiệm.
A. B.
C. D.
Câu 3: Tìm m để phương trình:
vô nghiệm.
A. B.
C. D.
Câu 4: Tìm a để phương trình:

onthicaptoc.com Chuyen de phuong trinh he phuong trinh