CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
1.1. Dạng 1: Nhận biết được phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: với , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét:
· Nếu mặt phẳng có phương trình (với ) thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Bài tập:
Câu 1. Trong không gian , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .
Câu 2. Trong không gian , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .
Câu 3. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của ?
A. . B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Véc tơ pháp tuyến của là: .
là một vec tơ pháp tuyến của
là một vec tơ pháp tuyến của
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Do mặt phẳng vuông góc với trục nên nhận véctơ làm một véc tơ pháp tuyến
Câu 5. Trong không gian , vectơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng có một VTPT là .
1.2. Dạng 2: Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến trong hệ trục toạ độ Oxyz (mức độ: Thông hiểu).
Phương pháp:
Trong không gian , phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:
hay với
Chú ý: Phải nắm vững khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Bài tập minh họa:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến là .
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ phương trình mặt phẳng đi qua điểm có véc tơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm có véc tơ pháp tuyến là
Câu 3. Trong không gian , phương trình của mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến có phương trình:
.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt phẳng qua và có vectơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: .
Câu 5. Trong không gian , phương trình mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua gốc tọa độ có phương trình là .
Câu 6. Trong không gian , phương trình của mặt phẳng là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
phương trình của mặt phẳng là:
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là nên ta có phương trình mặt phẳng là : .
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục nên có VTPT .
Do đó phương trình của mặt phẳng là
Câu 9. Trong không gian , cho điểm và hai vectơ , . Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?
A. .
B. .
C. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với giá của véctơ là:
D. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với giá của véctơ là: .
Lời giải
A. ĐÚNG
B. SAI
C. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với giá của véctơ là:
C ĐÚNG
D. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với giá của véctơ là: . Do đó D SAI
1.3. Dạng 3: Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương (suy ra vectơ pháp tuyến nhờ vào việc tìm vectơ vuông góc với cặp vectơ chỉ phương) trong hệ trục toạ độ Oxyz (mức độ: Thông hiểu).
Phương pháp:
Khi bài toán cho biết mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương :
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
+ Mặt phẳng viết dưới dạng sau:
:
Chú ý: Phải nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
Vectơ vectơ chỉ phương của mặt phẳng là vectơ có giá song song với mặt phẳng đó. Nếu là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng thì cũng là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.
Bài tập:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt phẳng qua và có cặp vectơ chỉ phương là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cặp vectơ có giá song song với mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng qua là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: .
1.4. Dạng 4: Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng trong hệ trục toạ độ Oxyz (mức độ: Thông hiểu).
Phương pháp:
Khi bài toán cho biết mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng thì có cặp vectơ chỉ phương .
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
+ Mặt phẳng viết dưới dạng sau:
:
Bài tập:
Câu 1. Trong không gian , cho ba điểm,,. Viết phương trình mặt phẳng .
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
, , .
Ta có cùng phương
Mặt phẳng đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Khi đó, phương trình mặt phẳng là . Hãy xác định và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: ; .
.
Chọn là một VTPT của . Ta có pt là:
. Vậy .
Câu 3: Trong không gian , gọi , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng .
Lời giải
Đáp án:
Không mất tính tổng quát, ta giả sử , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các mặt phẳng tọa độ , , .
Khi đó, , và
và .
Ta có, và là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong
Do đó, có một vectơ pháp tuyến là .
Mặt khác, đi qua nên có phương trình là:
.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , . Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?
A. .
B. .
C. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm là.
D. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm là.
Lời giải
A. . ĐÚNG
B. . SAI
C. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm là. ĐÚNG
D. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm là. SAI
Ta có , ,
vô lí
đi qua có vtpt có dạng .
1.5. Dạng 5: Thiết lập được điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc với nhau. (mức độ: Thông hiểu).
Phương pháp:
a. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Trong không gian , cho 2 mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Khi đó:
Chú ý:
·
· cắt và không cùng phương.
b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian , cho 2 mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Khi đó:
Bài tập:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và, với . Xác định để song song với .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến
Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến
Mặt phẳng
Câu 2. Trong không gian cho hai mặt phẳng và . Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Câu 3. Trong không gian , cho mặt phẳng ba mặt phẳng , và . Tính tổng , biết rằng và
A. . B.1. C. 0. D. 6.
Lời giải
Chọn C
có VTPT
có VTPT
có VTPT
Vậy
Câu 4. Trong không gian , cho và , là tham số thực. Tìm tham số sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến là .
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến là .
Ta có: .
Nên .
Câu 5. Trong không gian cho hai mặt phẳng và Tìm để hai mặt phẳng và song song với nhau.
A. . B. Không tồn tại . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có vec tơ pháp tuyến của là , vec tơ pháp tuyến của là .
Hai mặt phẳng và song song khi
Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn điều kiện trên.
Câu 6. Trong không gian , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến .
Mà .
Vậy mặt phẳng là mặt phẳng cần tìm.
Câu 7. Trong không gian , Cho ba mặt phẳng ; ; . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
A. . SAI
B. . ĐÚNG
C. . ĐÚNG
D. . ĐÚNG
có VTPT
có VTPT
có VTPT
Ta có và không song song nhau
Ta có
Ta có
Ta có
1.6. Dạng 6: Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ. (mức độ: vận dụng):
Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính:
Bài tập:
Câu 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P): , . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A
Áp dung công thức
Ta được:
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình: và điểm . Tính khoảng cách từ đến .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Khoảng cách từ đến là
Câu 3. Trong không gian , cho mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 4. Trong không gian , tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Câu 5. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P): y + 1 = 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Câu 6. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxy) bằng:
A. 0. B. 2. C. 1. D.
Lời giải
Chọn A
Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên
Câu 7. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : và : lần lượt là , . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
A. .
B.
C. =
D. 2. =
Lời giải
A. . SAI
B. SAI
C. = SAI
D. 2. = ĐÚNG
;
Kết luận: .
1.7. Dạng 7: Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn. (mức độ: vận dụng)
Câu 1. Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian , một tấm pin nằm trên mặt phẳng ; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng đi qua điểm và song song với . Phương trình mặt phẳng có dạng . Tính
Lời giải
Trả lời: 12
Vì nên có vectơ pháp tuyến là .
Phương trình mặt phẳng là
Vậy
Câu 2. Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam , cách bạn nữ (Hình). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Phương trình của trong không gian được mô tả như trong hình vẽ có dạng . Tìm
Lời giải
Trả lời:
Gọi là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất.
Khi đó . Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là và nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Phương trình mặt phẳng là .
Câu 3. Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ . Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt sàn (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Lời giải
Trả lời: 20
và có vectơ pháp tuyến lần lượt là , .
Ta có . Suy ra .
Bài tập tự luyện phương trình mặt phẳng:
Phần 1: Câu hỏi trắc nghiệm.
Câu 1. Trong không gian , mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Trong không gian , cho mặt phẳng . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
A. B. C. D.
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ phương trình mặt phẳng đi qua điểm có véc tơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5.Trong không gian phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với giá của véctơ là
A. B. C. D.
Câu 6.Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Mặt phẳng đi qua và song song với có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm ) và . Viết phương trình của mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng .
A. B. C. D.
Câu 8. Trong không gian cho điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các trục . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm và là
A. B. C. D.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng đi qua ba điểm , và có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Trong không gian , tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Trong không gian , cho mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Trong không gian khoảng cách giữa hai mặt phẳng và là
A. B. C. D.
Câu 14. Trong không gian , cho mặt phẳng qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Trong không gian , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. Trong không gian mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Trong không gian , cho mặt phẳng . Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng . Điểm nào dưới đây không thuộc ?
A. B. C. D.
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng Điểm nào dưới đây thuộc ?
A. B. C. D.
Câu 20. Trong không gian , mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây?
A. B. C. D.
Phần 2: Câu hỏi đúng sai
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm .Gọi là mặt phẳng đi qua ba điểm . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Toạ độ trọng tâm tam giác là .
b) Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với là .
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
d) Mặt phẳng đi qua điểm .
Câu 2. Trong không gian , cho hai điểm .
a)
b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với có phương trình là .
c) Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì .
d)Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng có phương trình là .
Câu 3. Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
b) Trung điểm của đoạn thẳng là .
c) Mặt phẳng qua và song song với có phương trình là .
d) Phương trình mặt phẳng là .
Phần 3: Câu trả lời ngắn
Câu 1. Khi gắn hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí sẽ hạ cánh tới vị trí . Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 2. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục . Biết rằng các vị trí lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?
Câu 3. Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọ̣ độ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình . Giá trị của là bao nhiêu?
Câu 4. Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian như Hình nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính.
Khoảng cách từ điểm đến mái nhà bằng . Tìm
Câu 4. Hình vẽ minh hoạ mái hiên song song với mái nhà trong không gian với hệ toạ độ (mái hiên và mái nhà đều phẳng) có ,. Mặt phẳng có phương trình . Tìm giá trị của .
Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm . Độ cao của máy bay khi xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km?
Đáp án phần bài tập tự luyện.
Phần 1: Trắc nghiệm
Câu 1: C
Câu 2: C
Câu 3: D
Câu 4:A
Câu 5: C
Câu 6:D
Câu 7:A
Câu 8:A
Câu 9:B
Câu 10:B
Câu 11:A
Câu 12:C
Câu 13:A
Câu 14:C
Câu 15: B
Câu 16:A
Câu 17:A
Câu 18:D
Câu 19:B
Câu 20:B
Phần 2: Câu hỏi đúng sai.
Câu 1: Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
a) Toạ độ trọng tâm tam giác là .
b) Mặt phẳng qua và vuông góc với có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm có phương trình là
c) Mặt phẳng có hai vectơ chỉ phương là và suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ıà .
d) Mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT có phương trình là .
Vậy mặt phẳng đi qua điểm .
Câu 2: Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
a) Đúng. Ta có
b) Đúng. Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với
Suy ra mặt phẳng nhận vectơ làm véc tơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm:
c) Đúng. là trung điểm đoạn thẳng nên .
d) Sai. Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua I và vuông góc nên có phương trình là .
Câu 3. Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
b) Trung điểm của đoạn thẳng là .
c) Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với .
Suy ra có dạng
Thay toạ độ điểm ta được .
Vậy phương trình mặt phẳng .
d) Mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng nên ta có hai vectơ chỉ phương của là và VTPT của là
Suy ra VTPT của là
Mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT
Phần 3: Câu trả lời ngắn.
Câu 1. Khi gắn hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí sẽ hạ cánh tới vị trí . Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 15
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . Từ đó, góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng có . Suy ra .
Câu 2. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục . Biết rằng các vị trí lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?
Lời giải
Trả lời: 2
Phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà là: . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà bằng: .
Vậy độ dày của mái nhà đó là 2 dm .
Câu 3. Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọ̣ độ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình . Giá trị của là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời:
Xét ba điềm . Khi đó và .
Suy ra .
Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nên phương trình mặt phẳng là:
.
Suy ra . Vậy .
Câu 4. Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian như Hình nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính.

onthicaptoc.com 6. Chuyen de Phuong phap toa do trong khong gian