onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
onthicaptoc.com
A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được
- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
ax  by  c
và cách giải
onthicaptoc.com
a
 / x  b/ y  c /
- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
B. NỘI DUNG:
I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
3x  2 y  4  3x  2(5  2x)  4
 
2x  y  5  y  5  2x
 3x 10  4x  4  7x  14
 y  5  2x  y  5  2x
 
 x  2  x  2
 y  5  2.2  y  1
 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
3x  2 y  4  3x  2 y  4  7x  14
  
2x  y  5 4x  2 y  10 2x  y  5
 x  2  x  2
 .2  y  5  y  1
2 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
2.- Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
onthicaptoc.com

1) 4x  2 y  3
6x  3y  5
2) 2x  3y  5

4x  6 y  10
3) 3x  4 y  2  0


5x  2 y  14
4) 2x  5 y  3

y
3x  2 y  14
onthicaptoc.com
onthicaptoc.com
5
x
 (1 
3) y  1
0,2x  0,1y  0,3
 x  2

onthicaptoc.com
5
5) 
6) 
7)  3
onthicaptoc.com
(1 
3)x  y  1
3x  y  5
x  y  10  0
onthicaptoc.com
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
onthicaptoc.com

1) (3x  2)(2 y  3)  6xy
(4x  5)( y  5)  4xy
2) 2(x  y)  3(x  y)  4

(x  y)  2(x  y)  5
onthicaptoc.com

2 y  5x  5  y  27  2x
onthicaptoc.com
3) (2x  3)(2 y  4)  4x( y  3)  54
4)  3 4
onthicaptoc.com

(x
 1)(3y  3)  3y(x  1) 12
 x  1
* y 
6 y  5x
onthicaptoc.com
1 (x  2)( y  3)  1 xy  50

 3 7
onthicaptoc.com
2

1
5) 

2
xy 
2
1 (x  2)( y  2)  32
2
6) (x  20)( y 1)  xy

(x 10)( y  1)  xy
onthicaptoc.com
Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ Bài tập:
onthicaptoc.com
1  1  1

 2  1  3

 3x  2  4

onthicaptoc.com
1)  x y 12
2)  x  2 y y  2x
3)  x  1 y  4
onthicaptoc.com
8 15
 4 3
 2x 5
onthicaptoc.com
   1
 x y

 x  2 y
y  2x  1

x
y
 x  1
y  4  9
onthicaptoc.com
x 2  y 2  13
3  2
 16
 x  4 y
 18
onthicaptoc.com
4) 
3x 2
 2 y 2
 6
5) 
x
y
2  3
 11
6) 
3 x 
y  10
onthicaptoc.com
2(x2  2x) 
7) 
y  1  0

5 x 1  3 y  2  7
4x2  8x  4
y 2  4 y  4
8) 
onthicaptoc.com
3(x2  2x)  2
y  1  7
2
 5  13
onthicaptoc.com
Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải:
* Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x
* Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax =  b (1)
* Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b
* Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
* Nếu b  0 thì hệ vô nghiệm
onthicaptoc.com
ii) Nếu a  0 thì (1)  x =
b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ
a
onthicaptoc.com
phương trình có nghiệm duy nhất.
onthicaptoc.com
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
mx  y  2m(1)

4x  my  m  6(2)
onthicaptoc.com
Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
onthicaptoc.com
i) Nếu m2 – 4  0 hay m   2 thì x =
(2m  3)(m  2)  2m  3

onthicaptoc.com
Khi đó y = -
m2  4
m . Hệ có nghiệm duy nhất: ( 2m  3 ;-

m  2
m )
onthicaptoc.com
m  2
m  2
m  2
onthicaptoc.com
ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x  R
iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
onthicaptoc.com
Vậy: - Nếu m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( 2m  3 ;-
m  2
m )
m  2
onthicaptoc.com
* Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x  R
* Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
onthicaptoc.com
mx  y  3m 1

1) x  my  m  1
x  my  3m
mx  4 y  10  m

2) x  my  4

x  my  1  m2
(m 1)x  my  3m 1

3) 2x  y  m  5
2x  y  3  2m
onthicaptoc.com
4) 
mx  y  m2  2
5) mx  y  1  m2
6) 
mx  y  (m  1)2
onthicaptoc.com
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
* Giải hệ phương trình theo tham số
onthicaptoc.com
* Viết x, y của hệ về dạng: n +
k với n, k nguyên
f (m)
onthicaptoc.com
* Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
onthicaptoc.com

mx  2 y  m  1
2x  my  2m 1
HD Giải:
onthicaptoc.com

mx  2 y  m  1
 2mx  4 y  2m  2
onthicaptoc.com
2x  my  2m 1

2mx  m2
y  2m2  m
onthicaptoc.com

(m2  4) y  2m2  3m  2  (m  2)(2m  1)

2x  my  2m 1
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4  0 hay m   2
Vậy với m   2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
 y  (m  2)(2m  1)  2m  1  2  3
onthicaptoc.com



x 

m2  4
m 1  1 
m  2
3
m  2
m  2
m  2
onthicaptoc.com
Để x, y là những số nguyên thì m + 2  Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + 2 =  1,  3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
m
(m  1)x  2 y  m 1
onthicaptoc.com
Bài 2:
 2 x  y  m2
* 2m
onthicaptoc.com
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)

2mx  (m  1) y  m  n
(m  2)x  3ny  2m  3
HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
onthicaptoc.com
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết
cho ax + b thì f(- b ) = 0
a


4

 1  a b
f ( ) 0   3  0
onthicaptoc.com
   8 4
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
onthicaptoc.com
 f (3)  0 18a  3b  3  0
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
onthicaptoc.com
 f (2)  6
 4a  2b  2  a  1
onthicaptoc.com

a
 3
b
 f (1)  0
Bài 3:
  b  4 
onthicaptoc.com
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
2a  b  1  a  1

 3
b
a  b  2 
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là
onthicaptoc.com
nghiệm của hệ phương trình:
3x  2 y  4  x  0,5
. Vậy M(0,2 ; 1,25)
onthicaptoc.com


x  2 y  3  y  1,25
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m  m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
onthicaptoc.com
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước
onthicaptoc.com
Cho hệ phương trình:
mx  4 y  9

x  my  8
onthicaptoc.com
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
onthicaptoc.com
2x + y +
38
m 2  4
= 3
HD Giải:
onthicaptoc.com
* Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m
* Giải hệ phương trình theo m
  2
onthicaptoc.com
 y  8m  9
onthicaptoc.com
mx  4 y  9  mx  4 y  9
 (m2  4) y  8m  9  
m 2  4
onthicaptoc.com

2
x  my  8


mx  m y  8m
x  my  8

x 

9m  32
m 2  4
onthicaptoc.com
* Thay x =
9m  32
m2  4
; y =
8m  9
m 2  4
vào hệ thức đã cho ta được:
onthicaptoc.com
2. 9m  32
m2  4
+ 8m  9 +
m 2  4
38 = 3
m 2  4
onthicaptoc.com
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
 3m2 – 26m + 23 = 0
 m1 = 1 ; m2 = 23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
3
Vậy m = 1 ; m = 23
3
onthicaptoc.com
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
onthicaptoc.com
Cho hệ phương trình
mx  4 y  10  m

x  my  4
(m là tham số)
onthicaptoc.com
a) 2
Giải hệ phương trình khi m =
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
onthicaptoc.com
Cho hệ phương trình :
(m 1)x  my  3m 1

2x  y  m  5
onthicaptoc.com
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com chuyen de he phuong trinh on thi lop 10