Tailieumontoan.com

CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS
Thanh Hóa, tháng 8 năm 2019
1
Website:tailieumontoan.com
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH
BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI THCS
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề hệ phương trình.
Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài
liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về hệ phương trình thường được ra trong các kì thi
gần đây. Chuyên đề gồm 4 phần:
 Các hệ phương trình cơ bản
 Một số kĩ thuật giải hệ phương trình
 Hệ phương trình 3 ẩn
 Hệ phương trình chứa tham số
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình
học tập. Hy vọng chuyên đề về hệ phương trình này có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội
lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
Mục Lục
Trang
Lời nói đầu 1
Chủ đề 1. Các hệ phƣơng trình cơ bản 3
1. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 3
2. Hệ phƣơng trình đối xứng loại II 5
3. Hệ phƣơng trình quy về đẳng cấp 8
Chủ đề 2. Một số kĩ thuật giải hệ phƣơng trình 12
1. Kĩ thuật thế 12
Dạng 1: Rút một ẩn theo ẩn kia từ phƣơng trình n|y thế v|o phƣơng trình kia 12
Dạng 2: Thế một biểu thức v|o phƣơng trình còn lại 13
Dạng 3:Thế hằng số từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình kia 15
2. Kĩ thuật phân tích thành nhân tử 17
3. Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế của hệ phƣơng trình 22
Dạng 1: Cộng, trừ đại số để tạo ra các tổng bình phƣơng 22
Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đƣa về phƣơng trình một ẩn 23
Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình tích 24
Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực giải bằng cộng, trừ, nhân hai vế của hệ 26
4. Kĩ thuật đặt ẩn phụ 28
Dạng 1: Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình bậc nhất hai ẩn 28
Dạng 2: Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại I 30
Dạng 3: Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại II 32
Dạng 4: Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình một ẩn 33
Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu 34
5. Kĩ thuật nhân liên hợp đối với phƣơng trình chứa căn thức 36
6. Kĩ thuật đánh giá trong giải hệ phƣơng trình 39
Dạng 1: Dựa vào sự đồng biến nghịch biến các vế của hệ phƣơng trình 39
Dạng 2: Sử dụng bất c{c đẳng thức cổ điển để đ{nh gi{ 40
Dạng 3: Sử dụng điều kiện của nghiệm của hệ phƣơng trình 44
6. Kĩ hệ số bất định để giải hệ phƣơng trình 45
Chủ đề 3. Hệ phƣơng trình bậc ba ẩn 52
Dạng 1: Hệ hai phƣơng trình ba ẩn 52
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
Dạng 2: Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 53
Chủ đề 4. Hệ phƣơng trình có chứa tham số 57
Dạng 1: Biện luận về nghiệm của phƣơng trình 57
Dạng 2: Tim điều kiện của tham số để thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc 60
Bài tập rèn luyện tổng hợp 64
Hƣớng dẫn giải 76
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I
LÝ THUYẾT CHUNG:

f x,y  0
 

Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng:

g x,y  0
 


Trong đó f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức đối xứng.
Nghĩa l|: f(x, y) = f(y, x) v| g(x, y) = g(y,x)
Hay hệ phƣơng trình đối xứng loại I là hệ phƣơng trình có vai trò x, y ho|n to|n
nhƣ nhau trong mỗi phƣơng trình, nếu ta ho{n đổi vị trí x và y trong hệ thì hệ
x y 2xy 21

phƣơng trình không thay đổi. Ví dụ:

22
2x  2y  xy 7


(x ; y )
Tính chất: Nếu hệ có nghiệm là thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là
00
(y ; x )
.
00
PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi c{c phƣơng trình của hệ đƣa về ẩn S và P mà: S = x + y, P = x.y. Giải đƣợc S
2
và P . Khi đó x, y là nghiệm của phƣơng trình: X – S.X + P = 0
Một số hằng đẳng thức hay đƣợc đƣợc sử dụng:
2
2 2 2
x  y  x y  2xy S  2P
 
2
2 2 2
x  xy y  x y  3xy S  3P
 
2
2 2 2
x  xy y  x y  xy S  P
 
3
3 3 3
x  y  x y  3xy x y  S  3PS
   
2
22
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

x  y  x  y  2x y  x y  2xy  2x y  S  2P  2P
 
   


2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
x  x y  y  x  y  xy x  y  xy  S  2P  P
    
1 1 xy S
   ;
x y xy P
22 2
1 1 xy S  2P
   ;
2 2 2 2 2
x y x y P
22 2
y x  y
x S  2P
  
y x xy P
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
THÍ DỤ MINH HỌA
x y xy1

Thí dụ 1. Giải hệ phƣơng trình

22
x  y  xy 7


Lời giải
(x y) xy1

Hệ 

2
(x y)  3xy 7


S P1 S 1, P2
xy S

2
x, y S  4P
Đặt ta đƣợc 
 
 

2
xy P S4, P 3
S3P 7

 

S 1 x y 1 x1, y 2
TH 1.

 
P2 xy2 x 2, y1
  
  
S4 x y4 x1, y3
TH 2.  .


P 3 xy 3 x3, y1
  
Vậy tập nghiệm của hệ là: S = (1;2); (2;1); (1;3); (3;1)
 
3 3 3 3

x  x y  y  17

Thí dụ 2. Giải hệ phƣơng trình

x xy y 5


Lời giải
3
3 3 3 3 33


x  x y  y  17 x y  x y  3xy x y  17
   


x xy y 5
 x y  xy 5
 
 

Đặt x y a; xy b . Hệ đã cho trở th|nh:
33
 a5 b a5 b
a  b  3ab 17
 
 
  
2
(b 2)(b 3) 0
ab 5 b  5b 6 0
 

 
a3 a2
 hoặc
 
b2 b3
 
a3 x y 3 x3 y x 3 y

Với ta có hệ phƣơng trình 
   
2
b2 xy 2 (y1)(y 2) 0
y  3y 2 0

 

x2 x1
 hoặc
 
y1 y2
 
a2 xy 2 x2 y

Với ta có hệ phƣơng trình  (vô nghiệm)
  
2
b3 xy 3
y  2y 3 0

  
Vậy nghiệm của hệ đã cho l|: x; y  1; 2 ; 2;1
     
xy(xy) 2

Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình

3 3 3 3
x  y  x y  7 x1 y1  31
  


(Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019)
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
Lời giải
Ta có hệ phƣơng trình:

xy xy 2
 



3
22
(x y)(x  xy y ) xy  7(x y xy 1) 31
  

xy(xy) 2

 23



(x y) x y  3xy  xy  7 x y  xy 1  31
     





ab 2

Đặt a x y; b xy thì hệ trên trở thành:

23
a a  3b  b  7 a b 1  31
 
 



ab 2



33
a  3ab b  7 a b 1  31
 


2

 a b a b  3ab  3ab 7 a b 1  31
     


3
 a b  3ab(a b) 3ab 7(a b) 24 0
 
3
 a b  6(a b) 3.2 7 a b  24 0
   
3
 a b  a b  30 0
   
3
 a b  27 (a b) 3
 
2

 (a b 3) a b  3(a b) 10  0
 


2
 a b 3 do a b  3(a b) 10 0
 
 
a b 3 a 2 2
2
a  x y  4xy 4b)
 (do
 
 
ab2 b 1


xy 2
  x y 1

xy 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y  1;1
   
II- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II
KHÁI NIỆM

f x,y  0
 

Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng:

f y,x  0
 


Trong đó: f(x, y) l| đa thức không đối xứng.
Hay hệ đối xứng kiểu hai là hệ đối xứng giữa hai phƣơng trình của hệ, nếu ta hoán
đổi vị trí của x v| y trong phƣơng trình thứ nhất sẽ đƣợc phƣơng trình thứ hai của
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
2

x2y 1 1
 

hệ. Ví dụ: khi thay ho{n đổi vị trí của x và y ở phƣơng trình (1) ta

2
y2x 1 2
 


2
đƣợc y2x 1 đ}y chính l| phƣơng trình (2)
PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Trừ từng vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc nhân tử chung (x – y) nhóm lại v| đƣa
về phƣơng tích v| sau đó xét hai trƣờng hợp:
 xy
(x y).A(x,y) 0

A(x,y) 0

Việc trừ theo vế thƣờng phải sử dùng hằng đẳng thức hoặc liên hợp nếu chứa căn:
22
a  b  a b a b
  
3 3 2 2
a  b  a b a ab b
  
ab
ab
ab
ab
33
ab
3322
3
a ab b
THÍ DỤ MINH HỌA
2

xx 2y

Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình

2
yy 2x


Lời giải
Điều kiện: x,y 0 .
Trừ hai phƣơng trình của hệ cho nhau ta thu đƣợc:
22
x  x y  y  2 y x
 
 

 x y x y x y 1 2 x y  0
 
     


Vì x y x y 1 2 x y  0
 
   
nên phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: xy .


x0

22
Hay x  2x x  0 x  x  2x x x1 x x1  0 x 1

  

35

x

 2
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com

35 3 5
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: x; y  0;0 , 1;1 , ;

     

22

3

x  3x1 2x1 y

Thí dụ 4. Giải hệ phƣơng trình

3
y  3y1 2y 1 x


Lời giải
11
Điều kiện: x ; y
22
1
Để ý rằng xy  không phải là nghiệm.
2
Ta xét trƣờng hợp x y1
Trừ hai phƣơng trình của hệ cho nhau ta thu đƣợc:
33
x  3x1 2x1 y  3y1 2y1  y x
 
2 x y
 
22

 (x y) x  xy y  4(x y)  0

2x1 2y1

2
22
 (x y)x  xy y  4  0 x y
2x1 2y1

33
Khi xy xét phƣơng trình: x  2x1 2x1 0 x  2x 2x11 0
2x 2
22
x(x 1)  0 x x 1  0 x 0

2x11 2x11

Tóm lại hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: xy 0
22

x1 y  6  y x  1
 
   

Thí dụ 4. Giải hệ phƣơng trình

22
y1 x  6  x y  1
 
    

Lời giải
2 2 2

xy  6x y  6 yx  y

Hệ đã cho 

2 2 2
yx  6y x  6 xy  x


Trừ vế theo vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc:
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

onthicaptoc.com Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS