BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
CỦA MỘT GÓC
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung 
T
Cho (OA,OM) . Giả sử M(x; y) .
B S cotang
cos  x OH
K
M
sin  y OK
sin   
tan   AT    k 
  cosin
cos  2 
O H A
cos
 
cot   BS   k
sin
Nhận xét:
 ,1 cos  1; 1 sin  1

 tan xác định khi    k ,k Z  cot xác định khi   k ,k Z
2
 sin( k2 ) sin  tan( k ) tan
cos( k2 ) cos cot( k ) cot
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
I II III IV
Giá trị lượng giác
+ – – +
cos
+ + – –
sin
+ – + –
tan
+ – + –
cot
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
   
 0
4 3 2
6
0 0 0 0 0
0 30 45 60 90
1
2 3
sin 0 1
2
2 2
1
3 2
cos 1 0
2
2 2
3
tan 0 1 Không xác định
3
3
3
cot Không xác đinh 1 0
3
3
4. Công thức lượng giác cơ bản:
sin cos
2 2
sin  cos   1 ; tan  ; cot 
cos sin
1
sin
tang
1 1
2 2
1 tan   ; 1 cot   ; tan.cot  1
2 2
cos  sin 
5. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
 

cos() cos sin( ) sin sin   cos
 
2
 
 
sin()  sin cos( )  cos cos   sin
 
2
 
 
tan()   tan tan( )  tan
tan   cot
 
2
 
 

cot()  cot cot( )  cot cot   tan
 
2
 

Góc hơn kém  Góc hơn kém
2
 

sin( )  sin sin   cos
 
2
 
 

cos( )  cos cos    sin
 
2
 
 

tan(  ) tan tan    cot
 
2
 
 

cot( ) cot cot    tan
 
2
 
6. Các dạng toán thường gặp
DẠNG 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Phương pháp: Để xác định dấu của một giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác
định như sau:
- Bước 1: Biểu diễn ngọn cung  lên đường tròn lượng giác.
- Bước 2: Xác định xem ngọn cung thuộc phần tư nào của mặt phẳng toạ độ
- Bước 3: Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị lượng giác cần xét
dấu.
Ví dụ:
0 0
a) Xét dấu của sin 50 .cos(300 )
0 0 0
b) Cho 0   90 . Xét dấu của sin( 90 )
Hướng dẫn:
a) Ta có:
0 0 0
 nên điểm ngọn của cung thuộc phần tư (I). Do đó
0   50 50
0
sin 50  0
0 0 0 0
 300  60  360 nên điểm ngọn của cung 300 thuộc phần tư (I). Do đó
2
0
cos(300 ) 0
0 0
Vậy: sin 50 .cos(300 ) 0
0 0 0 0 0 0 0
b) Ta có: 0   90  0  90  90  90  90
0 0 0
 90  90  180
0 0
Suy ra điểm ngọn của cung  90 thuộc phần tư (II). Do đó sin( 90 ) 0
Bài tâp:
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
21
0 0 0
a) A = sin 50 .cos(300 ) b) B = sin 215 .tan
7
3  2  4  4 9
c) C = cot .sin  d) D = cos .sin .tan .cot
 
5  3  5 3 3 5
0 0
Bài 2. Cho 0   90 . Xét dấu của các biểu thức sau:
0 0
a) A = sin( 90 ) b) B = cos( 45 )
0 0
c) C = cos(270 ) d) D = cos(2 90 )

Bài 3. Cho 0  . Xét dấu của các biểu thức sau:
2
a) A = cos( ) b) B = tan( )
   
2 3
c) C = sin  d) D = cos 
   
 5   8 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin A sin B sinC b) B = sin A.sin B.sinC
A B C A B C
c) C = cos .cos .cos d) D = tan  tan  tan
2 2 2 2 2 2
DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Phương pháp: Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để
từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot
2 2 2
 Từ sin  cos   1  cos  1 sin  .
2
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì .
cos  1 sin 
2
– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos  1 sin  .
sin 1
 Tính tan  ; cot  .
cos tan
2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot
2 2 2
 Từ sin  cos   1  sin  1 cos  .
2
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  1 cos  .
2
– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin  1 cos  .
sin 1
 Tính tan  ; cot  .
cos tan
3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot
3
1
 Tính cot  .
tan
1 1
2
 Từ  1 tan   cos  .
2
2
cos 
1 tan 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos  .
2
1 tan 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos  .
2
1 tan 
 Tính sin  tan.cos .
4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan
1
 Tính tan  .
cot
1
1
2
 Từ  1 cot   sin  .
2
2
sin 
1 cot 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  .
2
1 cot 
1
– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin  .
2
1 cot 
3
0 0
Ví dụ 1: Cho cos  và 180   270 . Tính sin,tan,cot
5
4 3
Ví dụ 2: Cho tan  và   2 . Tính sin,cos
5 2
Hướng dẫn
16
2 2
Ví dụ 1: sin   1 cos  
25
4
0 0
Vì 180   270 nên sin  0 sin 
5
sin 4
 tan  
cos 3
cos 3
 cot  
sin 4
1 1 25
2 2
Ví dụ 2: 1 tan    cos   
2 2
41
cos  1 tan 
5
3
Vì   2 nên cos  0 cos 
2
41
sin 4
tan   sin  tan.cos 
cos
41
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
4
2
sin  2sin.cos
Ví dụ: Cho . Tính
tan  2 A
2 2
cos  3sin 
Hướng dẫn:
2
tan  2 tan
2
Cách 1: Chia tử và mẫu cho cos  : A
2
1 3tan 
Thay tan  2 vào ta được A 0
Cách 2: Vì tan  2  sin  tan.cos  2 cos . Thay vào A ta được:
2
4 cos  2.2 cos.cos
A  0
2 2
cos  3.4 cos 
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
2 2 2 4 4 2 2 2 2 2
A  B  (A B)  2AB A  B  (A  B )  2A B
3 3 2 2 3 3 2 2
A  B  (A B)(A  AB B ) A  B  (A B)(A  AB B )
Ví dụ: Cho sin cos  m . Tính theo m giá trị của
4 4
a) A sin.cos b) B sin  cos 
Hướng dẫn:
2 2 2
a) (sin cos)  m  1 2sin cos  m
2
m 1
 A sin cos 
2
2
4 4 2 2 2 2
b) B sin  cos   sin  cos   2sin  cos 
 
2
2 4 2
 
m 1 1 m  2m
 1 2. 
 
 
2 2
 
Bài tập
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
4 2 
0 0
a) cosa , 270  a 360 b)
cos  ,   0
5 2
5
5  1
0 0
c) sin a ,  a d) sin  , 180   270
13 2 3
3 
e) tan a 3,  a f) tan 2,  
2 2
3
0
g) cot15  2 3 h) cot  3,  
2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
cot a tan a 3  25
a) A khi sin a , 0 a ĐS:
cot a tan a 5 2 7
2
8tan a 3cot a1 1 8
0 0
b) B khi sin a , 90  a 180 ĐS:
tan a cot a 3 3
5
2 2
sin a 2sin a.cos a 2 cos a 23
c) C khi cot a3 ĐS: 
2 2
47
2sin a 3sin a.cos a 4 cos a
sin a 5cosa 55
d) D khi tan a 2 ĐS:
3 3
6
sin a 2cos a
3 3
8cos a 2sin a cosa 3
e) E khi tan a 2 ĐS: 
3
2
2 cosa sin a
cot a 3tan a 2 19
g) G khi cosa ĐS:
2 cot a tan a 3 13
sin a cosa 3
h) H  khi tan a 5 ĐS: 
cos a sin a 2
5
Bài 3. Cho sin a cosa . Tính giá trị các biểu thức sau:
4
3 3
a) A sin a.cosa b) B sin a cos a c) C sin a cos a
9 7 41 7
ĐS: a) b)  c) 
32 4 128
Bài 4. Cho tan a cot a 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
2 2 4 4
a) A tan a cot a b) B tan a cot a c) C tan a cot a
ĐS: a) 11 b)  13 c) 33 13
Bài 5.
3 7
4 4 4 4
a) Cho 3sin x cos x . Tính A sin x 3cos x . ĐS: A
4 4
1
4 4 4 4
b) Cho 3sin x cos x . Tính B sin x 3cos x . ĐS: B = 1
2
7 7 57
4 4 4 4
c) Cho 4sin x 3cos x . Tính C 3sin x 4 cos x . ĐS: C  C
4 4 28
Bài 6.
1
a) Cho sin x cos x . Tính sin x, cos x, tan x, cot x .
5
b) Cho tan x cot x 4 . Tính sin x, cos x, tan x, cot x .
1 2 3
4 3 4 3
ĐS: a) ;  ; ; b) ; ; 2 3; 2 3
5 5 3 4 2
2 2 3
2 3 1
hoặc 2 3; 2 3; ;
2
2 2 3
DẠNG 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Phương pháp:
- Đưa góc về dạng  k2 trong đó   
- Nếu  thuộc góc phần tư thứ (II) thì ta dùng cung bù
- Nếu  thuộc góc phần tư thứ (III) thì ta dùng cung khác 
- Nếu  thuộc góc phần tư thứ (IV) thì ta dùng cung đối
Ví dụ: Tính các giá trị sau
0 0
a) M  tan 240  cot150
0 0 0
b) N  cos120  tan300 .sin(780 )
Hướng dẫn:
6
0 0 0 0
a) Ta có: tan240  tan(180  60 ) tan 60  3
0 0 0 0
cot150  cot(180  30 ) cot 30  3
Vậy:
M 3 3 0
1
0 0 0 0
b) Ta có: cos120  cos(180  60 ) cos60 
2
0 0 0 0
tan300  tan(360  60 ) tan(60 ) 3
3
0 0 0 0
sin(780 )sin(2.360  60 )sin 60 
2
 
1 3 1 3
Vậy: N   ( 3).    1
 
2 2 2 2
 
Bài tập
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
b) 9; 11; ; ;  ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
 
a) A cos  x  cos(2 x) cos(3  x)
 
 2 
 7   3 
b) B 2 cos x 3cos( x) 5sin  x  cot  x
   
 2   2 
   3   
c) C 2sin  x  sin(5  x) sin  x  cos  x
     
 2   2   2 
 3   3 
d) D cos(5  x) sin  x  tan  x  cot(3  x)
   
 2   2 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
0 0 0 0
sin(328 ).sin 958 cos(508 ).cos(1022 )
a) A  ĐS: A = –1
0 0
cot 572 tan(212 )
0 0
sin(234 ) cos216
0
b) B .tan36 ĐS: B1
0 0
sin144  cos126
0 0 0 0 0
c) C cos20  cos 40  cos60  ... cos160  cos180 ĐS: C1
2 0 2 0 2 0 2 0
d) D cos 10  cos 20  cos 30  ... cos 180 ĐS: D 9
0 0 0 0 0
e) E sin 20  sin 40  sin 60  ... sin340  sin360 ĐS: E 0
0 0 0 0
f) 2sin(790  x) cos(1260  x) tan(630  x).tan(1260  x) ĐS: F 1 cos x
DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
PHƯƠNG PHÁP:
- Thông thường ta biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến
đổi đại số và các công thức lượng giác.
- Ta có thể dùng biến đổi tương đương.
- Cần chú ý các hằng đẳng thức :
2 2 2 3 3 3
a  b  (a b)  2ab ; a  b  (a b)  3ab a b
 
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C 
A B C và   
2 2 2 2
7
sin cos  1 2
Ví dụ1 : a) Chứng minh rằng :  
cos  1 sin sin
sin x 1
b) Chứng minh rằng: cot x 
1 cosx sin x
Hướng dẫn
2 2
sin   (cos  1)
a) VT 
sin(cos  1)
2 2
sin  cos   2cos 1

sin(cos  1)
2(cos  1)

sin(cos  1)
2
  VP
sin
2 2
cosx sin x cosx cos xsin x
b) VT  
sin x 1 cosx
sin x 1 cosx
 
cosx1 1
   VP
sin x
sin x 1 cosx
 
2 2 2
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức: A (1 sin ) cot   1 cot 
Hướng dẫn
2 2 2
A = (1 sin ) cot  1 cot 
2 2 2 2
= cot  cot .sin 1 cot 
2
 cos 
2
=  sin   1
2
sin 
2
 cos  1
2
 sin 
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng biểu thức sau độc lập với biến
x
3 3
cos x sin x 3
 
B  sin   x .sin  x .
 
 
cos x sin x 2
 
Hướng dẫn
2 2
3 3
cos x sin x . cos x cos x.sin x sin x
   
cos x sin x
 1 cos x.sin x
cos x sin x cos x sin x
sin   x  sin x
 
3  
     
sin  x  sin    x sin  x cos x
     
2 2 2
     
B1 cos x.sin x sin x. cos x 1
 
Vậy biểu thức B độc lập với biến x
Ví dụ 4 : Cho A,B,C là ba góc của tam giác. Chứng minh rằng:
a) sin B sin(A C)
8
A B C
b) sin  cos
2 2
c) cosC cos(A B 2C)
Hướng dẫn
a) Ta có : A B C  sin B sin(A C) (vì A + C và B bù nhau)
A B C  A B C A B C
b) Ta có :    sin  cos (vì và là hai góc phụ nhau)
2 2 2 2 2 2 2
c) Ta có : A B C  A B 2C  C
 cos(A B 2C) cosC (cung hơn kém  )
BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
4 4 2
a) sin x cos x  1 2cos x
4 4 2 2
b) sin x cos x  1 2 cos x.sin x
6 6 2 2
c) sin x cos x  1 3sin x.cos x
8 8 2 2 4 4
sin x cos x  1 4sin x.cos x 2sin x.cos x
d)
2 2 2 2
e) cot x cos x  cos x.cot x
2 2 2 2
f) tan x sin x  tan x.sin x
g) 1 sin x cos x tan x  (1 cos x)(1 tan x)
2 2
h) sin x.tan x cos x.cot x 2sin x.cos x  tan x cot x
sin x cos x1 2 cos x
i) 
1 cos x sin x cos x1
2
1 sin x
2
k)  1 tan x
2
1 sin x
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
2
tan a tan b sin a cos a 1 cot a
a) tan a.tan b  b)  
2
cot a cot b sin a cosa cos a sin a
1 cot a
2 2 2
sin a cos a sin a sin a cosa
c) 1   sin a.cosa d)   sin a cosa
2
1 cot a 1 tan a sin a cosa
tan a1
2 2 2 4
 
1 cosa (1 cosa)
tan a 1 cot a 1 tan a
e) f)
1   2 cot a . 
2 2 2 2 2
sin a
 sin a  1 tan a cot a tan a cot a
2
2 2 2 2
 
1 sin a 1 sin a tan a tan b sin a sin b
2
g)     4 tan a h) 
2 2 2 2
1 sin a 1 sin a
 
tan a.tan b sin a.sin b
2 2 3 3
sin a tan a tan a 1 cot a
6 3 3
i)  tan a k)    tan a cot a
2 2 2 2
sin a.cosa
cos a cot a sin a cos a
4 4 8 8
sin x cos a 1 sin x cos x 1
Bài 3. Cho   , vôùi a,b  0. Chứng minh:   .
3 3 3
a b a b
a b (a b)
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
2 2 2 2 2
a) (1 sin x)cot x1 cot x b) (tan x cot x)  (tan x cot x)
2 2 2
cos x cos x.cot x
2 2
c) d) (x.sin a y.cosa)  (x.cos a y.sin a)
2 2 2
sin x sin x.tan x
9

onthicaptoc.com Chuyên đề Giá trị lượng giác của một góc Hình học lớp 10 chi tiết