GV: NGUYỄN QUỐC BẢO
Zalo: 039.373.2038
Gmail:[email protected]
Website: Tailieumontoan.com
Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs
CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC VÀ
TÍNH GIÁ TRỊ
BIỂU THỨC
Chuyên đê
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
LƯU HÀNH NỘI BỘ
NGUYỄN QUỐC BẢO
CÁC DẠNG TOÁN
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
& TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8,9
● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán
LƯU HÀNH NỘI BỘ
3
Website:tailieumontoan.com
Lêi giíi thiÖu
Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến !
Cuốn sách Các dạng toán và phương pháp giải bài toán chứng minh đẳng thức & tính giá
trị biểu thức được tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở
THCS hiện nay và THPT sau này.
Tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành
một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ
đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán
THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu
trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện và hướng dẫn giải
giúp các em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học.
Mỗi chủ đề có ba phần:
A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung
cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề.
B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ
năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi.
Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp
giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải
toán, học toán.
C. Bài tập vận dụng: Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại
theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ
các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải.
Nếu gặp khó khăn có thể xem hướng dẫn hoặc lời giải ở cuối sách.
Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng
cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi
những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.
MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ
NGUYỄN QUỐC BẢO
Zalo: 039.373.2038
[email protected]
Facebook: www.facebook.com/baotoanthcs
Xin chân thành cảm ơn!
4
Website:tailieumontoan.com
c¸c chuyªn ®Ò båi d­ìng
Ch­¬ng I
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
 Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Thí dụ 1. Cho x, y, z là số thực thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
1 11
P1= + +=
1+ x+ xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx
Lời giải
1 xx
Ta có: ;
1+ y+ yz x+ xy+ xyz 1++x xy
1 xy xy
Mặt khác:
2
1++z zx xy+ xyz+ x .yz 1+ x+ xy
1 11
Do đó:
P= ++
1+ x+ xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx
1x xy 1++x xy
= + + = = 1(đpcm)
1++x xy 1++x xy 1++x xy 1++x xy
Thí dụ 2. Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x+ y+=z xyz .
xyz 5x++4y 3z
2y ( )
x 3z
Chứng minh rằng: + +=
2 22
1x++1 y 1z+ x+ y y++zz x
( )( )( )
Lời giải
x xyz xyz xyz xyz
Ta có:
22
1+ x yz+ x.xyz yzx+ . x+ y+ z x + xy+ yz+ zx x+ y zx+
( ) ( )( )
2y 2xyz 3xyz
3z
Tương tự ta có: ;
22
1+ y x+ y yz+ 1z+ yz++z x
( )( ) ( )( )
x 2y 3z xyz 2xyz 3xyz
Do đó: ++= + +
2 22
1x++1 y 1z+ x+ y zx+ x+ y y+ z y++z zx
( )( ) ( )( ) ( )( )
xyz y+ z2+ x2+ z3+ x3+ y xyz 5x4+ y+ 3z
( ) ( )
x+ y y++zz x x+ y y++zz x
( )( )( ) ( )( )( )
xyz 5x++4y 3z
2y ( )
x 3z
Vậy: + +=
2 22
1x++1 y 1z+ x+ y y++zz x
( )( )( )
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
==
==
= = ==
==
==
5
Website:tailieumontoan.com
a bc a b c
Thí dụ 3. Cho ++ =0.Chứng minh: P0= ++ =
22 2
bc−−c a a− b
bc−−c a a− b
( ) ( ) ( )
Lời giải
22
a b c a b c b − ab+−ac c
Ta có: + + =0⇒ =+ =
bc−−c a a− b bc− a− c b− a a−−b c a
( )( )
22
a b − ab+−ac c
⇔ = (1)
2
a−−b c a bc−
( )( )( )
bc−
( )
22 22
b c −+bc ba− a c b − acc+ bb−
Tương tự ta có: = (2); = (3)
2 2
a− b bc−−c a a− b bc−−c a
( )( )( ) ( )( )( )
c− a ab−
( ) ( )
Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta được điều phải chứng minh.
Thí dụ 4. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãi điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0.
2
22
xzy
Tính giá trị biểu thức: P= ++
222 2 2 2 2 2 2
y +−z x zxy+ − x + y − z
Lời giải
2 2
Ta có: x + y + z = 0⇒ y + z =−x⇔ y + z = −x
( ) ( )
22
xx
22 2
Suy ra: y+ z – x =−2yz. Do đó: =
222
y +−z x −2yz
22 22
yy zz
Tương tự ta có:
;
2 2 2 2 22
zxy+− −−2xz x + y − z 2xy
2 2 3 33
2 2 2 2
x y zx y z x ++yz
Do đó: P= + + = ++ =
222 2 2 2 2 2 2
y +−z x zxy+ − x + y − z −2yz −−2xz 2xy −2xyz
3
x+ y+ z − 3 x+ y y+ z z+ x 0− 3.−z.−x.−y
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3xyz 3
= = = =−
−2xyz −−2xyz 2xyz 2
3
Vậy P=−
2
 Dạng 2: Sử dụng các hằng đẳng thức quen biết
1 1 1
Thí dụ 5. Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn
++ 2; a+ b+=c abc.
a bc
1 11
Chứng minh rằng: + + =2
2 22
a b c
Lời giải
2
1 1 1  1 1 1 1 1 1
Ta có: + + = ++ − 2 + +
  
2 22
a b c a b c ab bc ca
  
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
=
==
6
Website:tailieumontoan.com
a++bc
=4−=2. 2.
abc
2
1
4 44 2 2 2
Thí dụ 6. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a++bc a++bc
( )
2
Lời giải
2
2 2 22
Từ: a + b + c = 0
⇒ bc+ =−⇒a bc+ =a ⇒ b+ 2bc+ c =a
( )
2
2 2 2 2 2 2 22 4 4 4 2 2 22 2 2
⇒−a b− c 2bc⇒ a− b− c 4b c⇒+a b+ c 2a b+ 2b c+ 2c a
( )
2
4 44 2 22
⇒ 2 a++bc= a++bc
( ) ( )
2
1
4 44 2 2 2
Vậy: a++bc a++bc
( )
2
3 3 3
Thí dụ 7. Cho các số thực a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn: a + b +=c 3abc và
2 22
ab bc ca
abc≠ 0 . Tính: P= + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + bc− b +−c a c + a − b
Lời giải
3 3 3 2 22
a + b +=c 3abc
Do ⇒ a+ bc+ a + b + c −−−ab bcca =0
( )
( )
2 22
Do a + b + c −−−>ab bc ca 0 với a, b, đôi một khác nhau nên: a + b + c = 0
Suy ra: a + b + c = 0
2 2 2 22
ab ab ab b b b
Khi đó:
2 2 2 2 2
a + b − c a +−bc b+ c a + bc− −a a+ c−−b bb−−2
( )( ) ( )( )
2 2
bc c ca a
Tương tự: = ; =
22 2 22 2
b +−c a −2 ca+ − b −2
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
2 22
ab bc ca b c a 1
P= + + = + + =− a++bc =0
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + bc− b +−c a c + a − b −222− − 2
Vậy P = 0.
2
22
Thí dụ 7. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: bc≠ ; a+≠bc và a+ b= a+−bc
( )
2
2
a + ac−
( ) ac−
Chứng minh rằng: =
2
2
bc−
b +−bc
( )
Lời giải
Ta có:
2
22
a= a+−bc− b= a+−bc+ b a+−bc− b
( ) ( )( )
= a+−2b c a− c
( )( )
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
=== = =
=
= = =
=
7
Website:tailieumontoan.com
2
2
Tương tự: b +−bc = 2a+−bc bc−
( ) ( )( )
22
2
a + ac− a+ 2b− c ac− + ac− 2a+ 2b− 2c ac−
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
ac−
Do đó: (đpcm)
22
2
2a+−2b 2c b− c bc−
( )( )
b +−bc 2a+ bc− bc− +−bc
( ) ( )( ) ( )
 Dạng 3: Phương pháp đổi biến
Thí dụ 8. Với a,b,c là các số thực thỏa mãn:
3 3 3 3
(3a+ 3b+ 3c) 24+ (3a+ b− c)+ (3b+−c a)+ (3c+ a− b)
Chứng minh rằng: a+ 2b b+ 2c c+=2a 1
( )( )( )
Lời giải
3a+ b−=c x

Đặt 3b+−c a=y


3c+−a b=z

Ta có:
3 3 3 3
(3a+ 3b+ 3c) 24+ (3a+ b− c)+ (3b+−c a)+ (3c+ a− b)
3 3 33
⇔ (x+ y+ z)= 24+ x+ y+ z
33
⇔ (x+ y+ z)= 24+ (x+ y+ z)− 3(x+ y)(y+ z)(z+ x)
⇔ 24− 3(x+ y)(y+ z)(z+ x)=0
⇔−24 3(2a+ 4b)(2b+ 4c)(2c+ 4a)=0
⇔−24 24(a+ 2b)(b+ 2c)(c+ 2a)=0
⇔+(a 2b)(b+ 2c)(c+ 2a)=1 (đpcm)
Thí dụ 9. Cho a, b,c≥ 0 thỏa mãna+ b+=c a+ b+ c 2. Chứng minh rằng
a b c 2
+ + =
1++a 1 b 1+ c
1++a 1 b 1+ c
( )( )( )
Lời giải
Đặt x a; y b; z c⇒ xy+ yz+ zx 1⇒ a+ 1 x+ y x+ z .
( )( )
Tương tự:
b+ 1= yx+ yz+ ; c+ 1= z+ x z+ y
( )( ) ( )( )
Khi đó ta có:
2 xy+ yz+ zx
( )
a b c 2
++ .
1++a 1 b 1+ c
x+ y y++zz x
( )( )( )
1++a 1 b 1+ c
( )( )( )
Thí dụ 10. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn ab++=bc ca 0 . Chứng minh rằng:
bc ca ab
++ =3.
2 22
a b c
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
==
= = = = =
=
=
=
===
8
Website:tailieumontoan.com
=x ab

Đặt y= bc thìa+ bc+=0 và abc= 0 . Ta có:


z= ca

33 3 3 3 3 3 33
x ++yz
bc ca ab bc ++c a a b
++
2 2 2 2 22
a b c a bc xyz
2 22
x+ y+ z x + y + z −−−xy yz zx + 3xyz
( )
( )
=
xyz
3xyz
3
xyz
 Dạng 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
2 22 222
x ++yz xzy
Thí dụ 11. Cho a, b, c, z, y, z thỏa mãn
= + + .
2 22 2 2 2
a ++bc y b c
2019 2019 2019
Chứng minh rằng
x + y +=z 0.
Lời giải
Ta có:
2 22 222
x ++yz xzy
= + + .
2 22 2 2 2
a ++bc a b c
22
2 2 22
xx yy z z
⇔ − + − + − =0
2 2 22 2 2 22 2 2 2 2
a a ++bc b a ++bc c a ++bc
 1 1   1 1   11 
222
⇔ xy−+ −+ z − =0
     
2 2 22 2 2 22 2 2 22
a a ++bc b a ++bc c a ++bc
     
⇔=x y= z0= (do mỗi số hạng của tổng đều không âm)
2019 2019 2019
Vì vậy: x + y +=z 0.
3
2 22
Thí dụ 12. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a 1− b + b1−+c c 1− a =.
2
3
2 22
Chứng minh rằng: a + bc+=.
2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
2 2 2 22 2
a +−1 b b +−1 c c +−1a 3
2 22
.
a 1− b + b1−+c c 1− a ≤ + + =
2 2 2 2
2
 22
a 1b−

a 1b−


3

2 2 2 2 22
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b= 1− c⇔ b=1−⇒c a+ b+=c (đpcm).

2
 22
2
c 1a−
c 1a−



TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
=
=
=
=
==
==
9
Website:tailieumontoan.com
 Dạng 5: Phương pháp sử dụng lượng liên hợp
Thí dụ 13. Cho x, y thỏa mãn:
x+ 2014+−2015 x−−2014 x=y+ 2014+−2015 y−−2014 y
Chứng minh: xy=
Lời giải
x+ 2014+−2015 x−−2014 x=y+ 2014+−2015 y−−2014 y (1)
ĐKXĐ: −2014≤≤x; y 2014
(1)⇔ x+ 2014− y+ 2014+ 2015− x− 2015−+y 2014−−y 2014−=x 0
Nếu x khác y và −2014≤≤x; y 2014 thì x+ 2014+ y+ 2014 >0;
> 0; > 0 , do đó (1)
2015− x+ 2015− y 2014− x+ 2014− y

1 11
(2) 
⇔−xy − + =0
( )

x+ 2014+ y+ 2014 2015− x+ 2015− y 2014− x+ 2014− y

11
Khi đó dễ chứng tỏ −> 0
2014− x+ 2014− y 2015− x+ 2015− y
xy−≠ 0
Nếu nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0
Nếu x = y dễ thấy (1) đúng. Vậy x = y.
ac+
Thí dụ 14. Nếu a , b , c là các số không âm thoả mãn điều kiện: b= thì ta có:
2
11 2
+=
a+ b bc+ c+ a
Lời giải
1 1 b−−c bc
Ta có −= 1
( )
c+ a a+ b ( c++a)( a b) ( c++a)( a b)( bc+ )
1 1 ab−
Tương tự −= 2
( )
bc+ c+ a ( c++a)( a b)( bc+ )
ac+
Mà b= ⇒−a b= b− c (3)
2
1 1 1 1
Từ (1) (2) (3) ⇒ −=−
bc++c a c+ a a+ b
11 2
hay +=
a+ b bc+ c+ a
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
=

onthicaptoc.com Chuyên đề chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức – Nguyễn Quốc Bảo