onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ 18: THỰC TẾ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH CHÓP ĐỀU. THỂ TÍCH MỘT SỐ HÌNH KHỐI.
A. KIẾN THỨC CẨN NHỚ
1. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều
 Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy được gọi là hình lăng trụ đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
Ví dụ: Hình 41 biểu diễn hình lăng trụ đứng tứ giác .
Nhận xét
 Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là một hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.
 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.
Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.
Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.
 Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.
Hình lập phương là hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
2. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý
Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.
Đoạn thẳng nối đỉnh với hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy là đường cao
Ví dụ: Hình 42 biểu diễn hình chóp tứ giác đều SABCD
b) Hình chóp cụt đều
Cho hình chóp đều Mặt phẳng song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh lần lượt tại .
Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng và được gọi là hình chóp cụt đều .
Trong hình chóp cụt đều , ta gọi:
- Các đa giác lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;
- Các tứ giác là các mặt bên;
- Các đoạn thẳng là các cạnh bên;
- Các cạnh của hai đa giác là các cạnh đáy;
Ví dụ: Hình 43 biểu diễn hình chóp cụt tứ giác đều
Nhận xét:
- Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song: đồng thời hai đáy đó là các đa giác đểu có cùng số cąnh;
- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;
- Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;
- Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó
3. Thể tích của một số hình khối
Phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ( kể cả hình lăng trụ ấy) được gọi là khối lăng trụ. Các khối khác được định nghĩa tương tự.
a) Thể tích của khối lăng trụ
- Chiều cao của khối lăng trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy.
- Thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức: trong đó là chiều cao, là diện tích đáy của khối lăng trụ.
b) Thể tích của khối chóp
- Chiều cao của khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.
- Thể tích của khối chóp được tính theo công thức: trong đó là chiều cao, là diện tích đáy của khối chóp.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình có dạng hình gì.
Lời giải
Hình 96a có dạng hình khối lăng trụ
Hình 96b có dạng hình khối chóp cụt đều
Câu 2: Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật vởi kích thước ba cạnh là , và . Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.
Lời giải
Thể tích của chiếc bánh chưng đó là: .
Câu 3: Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng . Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là .
Lời giải
Diện tích đáy của miếng phomat là:
Thể tích của miếng phomat là:
Vậy khối lượng của miếng phomat là: (g)
Câu 4: Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình 97). Tính theo thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng .
Lời giải
Mô hình hoá đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều .
Gọi là tâm của đáy.
cân tại S
cân tại S
là hình vuông
vuông tại
Câu 5: Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưởi dài , cạnh đáy trên dài , cạnh bên dài . Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi vởi giá tiền là 1470000 đồng . Tính số tiển để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
Lời giải
Theo đề Câu, ta có
Có là hình vuông
Có là hình vuông
Kẻ
OHCO là hình chữ nhật
Có tam giác CCH vuông tại
Diện tích đáy lớn là
Diện tích đáy bé là
Thể tích hình chóp cụt là
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: (đồng )
Câu 6: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.
a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
b) Tính cạnh bên của thùng.
c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?
Lời giải
a)
Do đó .
Chiếc thùng có dạng hình chóp cụt vì khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân.
Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
b) Cạnh bên của hình chóp cụt bằng
c) Xét mặt chứa đường chéo của hình vuông, nó là hình thang cân có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và được
Thể tích cần tìm là lít.
Câu 7: Một thùng nước có dạng hình hộp chữ nhật . Đáy bể là hình chữ nhật được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang.
a) Giải tích vì sao khi nước trong bể phẳng lặng, thì phần nước đó ứng với một khối hộp chữ nhật.
b) Tính mức nước trong bể (khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể) khi thể tích phần nước trong bể là .
Lời giải
a) Vì mặt phẳng chứa bề mặt nước song song với mặt đáy nên phần nước trong bể là khối hình lăng trụ đứng, có đáy là hình chữ nhật nên phần nước trong bể là khối hộp chữ nhật.
b) Mực nước trong bể là .
Câu 8: Người ta cắt bỏ bốn hình vuông cùng kích thước ở bốn góc của một tấm tôn hình vuông có cạnh để gò lại thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp. Hỏi cạnh của các hình vuông cần bỏ đi có độ dài bằng bao nhiêu để thùng hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất?
Lời giải
Gọi là chiều dài cạnh hình vuông nhỏ tại mỗi góc của tấm tôn được cắt bỏ đi (với ). Thể tích hình hộp chữ nhật nhận được là
Dấu = xảy ra khi . Vậy để thể tích chiếc thùng là lớn nhất thì các cạnh của hình vuông
được cắt bỏ đi là .
Câu 9: Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là đồng/. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng ( làm tròn kết quả hàng nghìn)
Lời giải
Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều với là hình vuông cạnh là hình vuông cạnh .
Vì cắt nhau nên đồng phẳng. Mà nên .
Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và . Khi đó .
Xét hình thang , gọi là hình chiếu của trên là hình chiếu của trên . Vì , trong ( ) nên .
Suy ra nên bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.
Ngoài ra, ta có và . Suy ra nên ta có .
Bên cạnh đó, là hình chữ nhật nên . Từ đó ta có:
Xét tam giác vuông tại có:
Diện tích của hai đáy là: ,
Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:
( đồng)
Câu 10: Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều (Hình 48 ) với chiều cao là và cạnh lục giác dài . Tính thể tích bê tông theo đơn vị centimét khối để làm một viên gạch như thế (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Chia hình lục giác đều trên hai mặt đáy thành 6 hình tam giác đều cạnh .
Khi đó diện tích đáy của viên gạch bằng: . Thể tích bê tông cần dùng bằng thể tích viên gạch, tức là: .
Câu 11: Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là và , cạnh bên của thùng dài . Tính thể tích của thùng.
Lời giải
Kẻ .
Có ,
Áp dụng công thức ,
với,
Ta có:
Câu 12: Hình 101 là hình chụp đền Kukulcan, là một kim tự tháp Trung Mỹ nằm ở khu di tích Chichen Itza, Mexico, được người Maya xây vào khoảng từ thế kỉ đến thế kỉ . Phần thân của đền, không bao gồm ngôi đền nằm phía trên, có dạng một khối chóp cụt tứ giác đều (không tính cầu thang và coi các mặt bên là phẳng) với độ dài đáy dưới là , chiều cao là , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là khoảng .
Tính thể tích phần thân ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Mô hình hoá phần thân của đền bằng cưt chóp tứ giác đều với là tâm của hai đáy. Vậy .
là hình vuông
Kẻ
là hình chữ nhật
vuông tại
là hình vuông
Diện tích đáy lớn là:
Diện tích đáy bé là:
Thể tích hình chóp cụt là:
Vậy thể tích phần thân ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó là
Câu 13: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng , cạnh đáy nhỏ bằng , chiều cao và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng .
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo .
Lời giải
Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều với là tâm của hai đáy. Vậy .
Gọi lần lượt là trung điểm của .
là hình vuông
là hình thang cân
Vậy là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.
Kẻ
là hình chữ nhật
b) Diện tích đáy lớn là:
Diện tích đáy bé là:
Thể tích hình chóp cụt là:
Thể tích hình trụ rỗng là:
Thể tích chân cột là: .
Câu 14: Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc , . Đáy bể là hình chữ nhật . Các điểm cùng ở độ cao (so với mặt đất), các điểm ở độ cao lớn hơn so với độ cao của các điểm . Khi nước trong bể phẳng lặng người ta đo được khoảng cách giữa đường mép nước ở mặt phẳng và mặt đáy của bể là . Tính thể tích của phần nước trong bể.
Lời giải
Gọi là đường mép nước ở trên mặt là đường mép nước trên mặt . Khi đó . DCEF là một hình chóp cụt. Kẻ vuông góc với tại thì .
Suy ra .
Ta có: .
Vậy thể tích phần nước trong bể là
Câu 15: Một chì neo câu cá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều được làm hoàn toàn bằng chì có khối lượng . Biết cạnh đáy nhỏ và cạnh đáy lớn của khối chóp cụt đều dài lần lượt và , khối lượng riêng của chì bằng . Tính chiều cao của chì neo câu cá đó theo đơn vị centimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ).
Lời giải
Thể tích của chì neo câu cá bằng .
Vậy chiều cao của chì neo câu cá bằng
Câu 16: Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài , chiều rộng , chiều cao (Hình ). Để san bớt nước cho đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo , miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài . Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng chiều cao của khay đó lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi so với ban đầu. Tính thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối.
Lời giải
Thể tích nước có trong khay thứ nhất trước khi đổ bằng
Sau khi đổ, thể tích nước có trong khay thứ hai bằng
Gọi chiều cao của khay thứ hai là .
Giả sử khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều .
Xét hình thang , lấy song song với lần lượt là hình chiếu của trên lần lượt là giao điểm của và và
Theo giả thiết, mực nước (ngang với ) trong khay thứ hai cao bằng chiều cao của khay đó, suy ra
Ta có: , nên . Thể tích của nước trong khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn nhận là đường chéo và đáy nhỏ nhận là đường chéo, chiều cao bằng . Vì thể tích nước trong khay thứ hai bằng nên ta có
Thể tích của chiếc khay thứ hai bằng
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com CHUYEN DE 18 THUC TE THE TICH VAT KHOI