onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ 17_THỰC TẾ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC CẨN NHỚ
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳngvà cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với(Hình 1), kí hiệu hoặc .
Nhận xét
* Góc giữa hai đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí điểm . Thông thường, khi tìm góc giữa hai đường thẳng, ta chọn thuộchoặc thuộc .
* Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai đường thẳng , tức là .
* Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá .
* Nếu thì với mọi đường thẳng trong không gian.
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .
Khi hai đường thẳng và vuông góc với nhau, ta kí hiệu .
Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại.
3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Hình 6), kí hiệu hoặc .
4. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
5. Tính chất
* Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
* Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
6. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
* Tính chất 3:
Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
* Tính chất 4:
Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
7. Phép chiếu vuông góc
Cho mặt phẳng và một điểm tuỳ ý trong không gian. Lấy đường thẳng đi qua và vuông góc với , gọi giao điểm của và là . Điểm gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm trên .
Cho mặt phẳng . Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm trong không gian với hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .
Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
8. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Khi đó, vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với hình chiếu của trên .
9. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
* Cho đường thẳng và mặt phẳng , ta có định nghĩa sau:
* Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và bằng .
* Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa và hình chiếu của đường thẳng trên .
Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ đến (Hình 14).
10. Góc nhị diện
a) Nửa mặt phẳng
Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần được gọi là một nửa mặt phẳng và đường thẳng đó được gọi là bờ của mỗi nửa mặt phẳng này.
b) Góc nhị diện
Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.
Ví dụ: Xét góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng và có chung bờ là đường thả̉ng (Hình 15, kí hiệu là . Đường thẳng gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng và gọi là một mặt của góc nhị diện.
Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là với , lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng nhưng không thuộc đường thẳng .
c) Góc phẳng nhị diện
Trong không gian, cho góc nhị diện. Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.
Ví dụ: Cho góc nhị diện . Lấy thuộc , hai tia lần lượt nằm trên hai nửa mặt phẳng và cùng vuông góc với . Khi đó góc là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện .
Nhận xét: Cạnh của góc nhị diện luôn vuông góc với mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đó.
d) Số đo của góc nhị diện
* Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.
* Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện
* vuông.
Nhận xét: Số đo của góc nhị diện từ đến .
11. Hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau.
Ví dụ: Hai mặt phẳng và cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì ta nói vuông góc với (Hình 21), kí hiệu là hoặc .
12. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thi hai một phẳng đó vuông góc với nhau.
13. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc
* Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
* Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc vơi mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Nhận xét:
* Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Nếu qua một điểm trong mặt phẳng ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng .
* Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hình chiếu của mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này trên mặt phẳng kia đều trùng hoặc nằm trên giao tuyến.
* Ta có thể chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng cách sử dụng Tính chất 1
14. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng và điểm không thuộc . Gọi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng . Độ dài đoạn thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (Hình 27), kí hiệu .
Chú ý : Khi điểm thuộc đường thẳng thì
15. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng và điểm không thuộc mặt phẳng . Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng . Độ dài đoạn thẳng gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( Hình 28), kí hiệu .
Chú ý : Khi điểm thuộc mặt phẳng thì
16. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu .
Ví dụ: Trong Hình 29, ta có: với ,
17. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng , kí hiệu .
Ví dụ: Trong Hình 30, ta có: , trong đó và .
18. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Hình 6 gợi nên hình ảnh 5 cặp đường thẳng vuông góc. Hãy chỉ ra 5 cặp đường thẳng đó.
Lời giải
Trong hình 6 có các cặp đường thẳng vuông góc lần lượt là: .
Câu 2: Trong hình 7 cho , , là các hình chữ nhật.
Chứng minh rằng , .
Lời giải
Ta có , mặt khác .
Ta có: mà .
Câu 3: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều song song với mặt bàn và có cạnh song song với cạnh bàn (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng lần lượt với các đường thẳng , và .
Lời giải
Vì nên góc giữa là góc giữa và bằng .
Vì nên góc giữa là góc giữa và bằng .
Vì nên góc giữa là góc giữa và bằng .
Câu 4: Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?
Lời giải
Trong nhà gỗ truyền thống, các cấu kiện thường được lắp ráp với nhau bằng các mối ghép chéo, do đó các cặp cấu kiện vuông góc với nhau là:
 Hoành (1) và quá giang (2).
 Xà cái (3) và cột (5).
 Quá giang (2) và rui (4).
Câu 5: Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau. Hãy chì ra ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau.
Lời giải
Ba cặp đường thẳng vuông góc có thể là và và và .
Câu 6: Tháp Phước Duyên ở Chùa Thiên Mụ (Huế) cao bảy tầng, sàn của mỗi tầng đều là hình bát giác đều. Hãy tính góc giữa hai cạnh và được thể hiện trên hình sau:
Lời giải
Ta có: nên , với , là hai cạnh của một hình bát giác đều. Góc ngoài của một bát giác đều bằng nên , suy ra .
Câu 7: Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao , hai chân thang cách nhau , hai ngọn thang cách nhau . Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Gọi là hai điểm tại hai vị trí chân thang và là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường. Ta có nên .
Kẻ vuông góc với tại , khi đó
Tam giác vuông tại nên , suy ra .
Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang bằng khoảng .
Câu 8: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Lời giải
• Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Câu 9: Một cái lều có dạng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng và và .
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác trên mặt phẳng .
Lời giải
a) Ta có:
Xét tam giác có:
Vậy .
b) Gọi là trung điểm của
Tam giác cân tại
là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
Có
Vậy là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
Ta có:
Câu 10: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?
Lời giải
Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.
Câu 11: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột đến một điểm trên cột, cách chân cột được kết quả là . Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?
Lời giải
Nếu phép đo của Hùng là chính xác ta có:
Do đó theo định lý Pytago thì cột có không vuông góc với sân.
Do đó cột không có phương thẳng đứng.
Câu 12: Một chiếc cột được dựng trên nền sân phẳng. Gọi là điểm đặt chân cột trên mặt sân và là điểm trên cột cách chân cột . Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm và đều cách là không thẳng hàng). Người ta đo độ dài và đều bằng . Hỏi theo các số liệu trên, chiếc cột có vuông góc với mặt sân hay không?
Lời giải
Ta có: nên và . Do đó, tam giác và tam giác vuông tại , hay , . Suy ra . Vậy chiếc cột vuông góc với mặt sân.
Câu 13: Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là . Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.
Lời giải
Áp dụng công thức tính độ cao của máy bay so với mặt đất, ta tính được độ cao của hai máy bay 1và 2 như sau:
Độ cao của máy bay
Độ cao của máy bay:
Do đó, ta thấy rằng độ cao của máy bay 2 lớn hơn độ cao của máy bay 1. Vì vậy, máy bay 2 ở độ cao so với mặt đất lớn hơn sau 1 phút kể từ khi cất cánh.
Câu 14: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.
Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất.
Lời giải
Để đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm cụ thể, ta cần sử dụng một thiết bị đo góc, thường được gọi là gnomon.
Cách thực hiện đo góc Mặt Trời như sau:
Chọn một vị trí cố định trên mặt đất và đặt gnomon vào vị trí đó sao cho nó đứng thẳng đứng và vuông góc với mặt đất.
Đợi cho đến khi đến thời điểm giữa trưa, khi tia sáng Mặt Trời đứng thẳng trên vị trí của bạn. Bạn có thể biết được thời điểm này thông qua các trang web hoặc ứng dụng dựa trên vị trí của bạn.
Xác định bóng của gnomon trên mặt phẳng ngang và vẽ một đường thẳng từ đỉnh của gnomon đến đỉnh của bóng.
Sử dụng thiết bị đo góc để đo góc giữa đường thẳng này và mặt phẳng ngang. Đó chính là góc Mặt Trời tại vị trí và thời điểm đó.
Câu 15: Một chiếc cột cao được dựng vuông góc với mặt đất phẳng. Dưới ánh nắng mặt trời, bóng của cột trên mặt đất dài . Tính góc giữa đường thẳng chứa tia nắng mặt trời và mặt đất (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Góc giữa tia nắng mặt trời và mặt đất là góc . Ta có: , suy ra
Câu 16: Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc . Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài . Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?
Lời giải
Gọi là vị trí con diều, là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, là hình chiếu vuông góc của trên mặt đất.
Tam giác vuông tại , góc bằng và .
Ta có:
Câu 17: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là , tương ứng với góc (độ dốc tương ứng với góc ). Giả sử có hai điểm , nằm ở độ cao lần lượt là và so với mực nước biển và đoạn dốc dài . Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Mô hình hoá như hình vẽ, với là chiều dài con dốc, là độ cao của điểm so với mặt nước biển, là độ cao của điểm so với mặt nước biển, là chiều cao của con dốc, độ lớn của góc chỉ độ dốc.
Ta có: .
là hình chữ nhật
Vì tam giác vuông tại nên ta có:
tương ứng với
Vậy độ dốc của con dốc đó là 10,66%.
Câu 18: Trong hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính theo đơn vị độ, biết tam giác có độ dài các cạnh là và .
Lời giải
Gọi là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.
Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.
Xét có:
Vậy độ mở của màn hình máy tính bằng .
Câu 19: Trong hình 43, xét các góc nihj diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là , , , trong cùng mặt phẳng. Lục giác nằm trong mặt phẳng đó có , , , , . Biết rằng khoảng cách từ và đến là , ,. Tìm , (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Lời giải
Kẻ
Gọi .
là hình chữ nhật
là hình chữ nhật
là hình chữ nhật
vuông tại
Câu 20: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều cới chiều cao là 21,6 và cạnh đáy dài 34. Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp.
Lời giải
Ta có:
Câu 21: Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử .
a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng vuông góc với mặt đất phẳng.
Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.
c) Điểm ở độ cao (so với mặt đất) hơn điềm là . Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa ) so với mặt đất.
Lời giải
a) Vì hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là góc giữa hai đường thẳng và .
Xét tam giác có
b) vuông góc với đường nóc nhà, đường nóc nhà song song với mặt phẳng đất nên vuông góc với mặt đất phẳng đất.
c) Đường thẳng qua B song song với mặt đất cắt đường thẳng qua A vuông góc với mặt đất tại
Ta có
Do đó .
Vậy góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất khoảng
Câu 22: Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tan của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá . Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Giả sử góc tạo bởi đường thẳng dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang là
Vì độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá nên ta có
Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá
Câu 23: Một ngôi nhà có hai mái trước, sau có dạng là các hình chữ nhật , . Tính góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mái nhà đó (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Xét tam giác có: nên tam giác vuông tại . Mặt khác, góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc . Vậy góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mái nhà bằng .
Câu 24: Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang). Coi viên bi chịu tác dụng của hai lực chính là lực hút của Trái Đất (theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới) và phản lực, vuông góc với mặt phẳng nằm nghiêng, hướng lên trên. Giải thích vì sao viên bi di chuyển trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng nằm nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.
Lời giải
Gọi a là giao tuyến của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng nằm nghiêng. Phương của lực hút trái đất vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, phương của phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên phương của hai lực nói trên đều vuông góc với đường thẳng , do đó đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa hai phương của hai lực đó. Vì tổng hợp lực của trọng lực và phản lực là một lực có phương nằm trên mặt phẳng nên phương đó vuông góc với . Do đó, viên bi lăn dọc theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 25: Hình 19 minh họa một cánh cửa và khung của. Cánh cửa có dạng hình chữ nhật và khung cửa có dạng hình chữ nhật , ở đó. Góc mở cửa là góc nhị diện . Biết chiều rộng của cửa là . Khi góc mở cửa có số đo bằng thì khoảng cách giữa và bằng bao nhiêu?
Lời giải
Vì và nên góc là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện .
Vì góc mở cửa bằng nên số đo góc nhị diện bằng , suy ra .
Xét tam giác cân tại có và . Khi đó tam giác đều, suy ra , hay khoảng cách giữa và bằng .
Câu 26: Một máy nước nóng sử dụng năng lượng mặt trời như ở Hình 20 có các ống hấp nhiệt chân không dài 1,8 m được đặt trên sân thượng của một toà nhà. Khi tia nắng mặt trời chiếu vuông góc với sân thượng, bóng nắng của các ống hấp nhiệt chân không trên mặt sân dài 1,2 m. Các ống hấp nhiệt chân không đó tạo với mọặt sân thượng một góc bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Vẽ biểu diễn cho ống hấp nhiệt chân không, biểu diễn bóng nắng (hình chiếu vuông góc do tia nắng chiếu vuông góc với mặt sân) của ống đó trên mặt sân. Như vậy góc giữa ống hấp nhiệt chân không với mặt sân bằng . Ta có:
Vậy góc giữa ống hấp nhiệt chân không với mặt sân thượng bằng khoảng
Câu 27: Hình 26 gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau
Lời giải
Hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau có thể là và và .
Câu 28: Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng , đáy nhỏ có cạnh bằng và cạnh bên bằng (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.
Lời giải
Câu 29: Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15 ), cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.
Lời giải
Câu 30: Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng và song song vôi nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa và là bao nhiêu mét?
Lời giải
Vì hai mặt phẳng và song song với nhau nên khoảng cách giữa và bằng khoảng cách cột gỗ. Vậy khoảng cách giữa và bằng 4,2 m.
Câu 31: Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường , khoảng cách từ đường thẳng nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là . Gọi là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Vì tay vịn cầu song song với mặt đường nên khoảng cách giữa hai đường thẳng và chính bằng khoảng cách từ đường thẳng xuống mặt đường.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng: .
Câu 32: Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129cm.
Lời giải
Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng nên hình chiếu của đỉnh là tâm của đáy mà đáy là tam giác đều do đó tâm là trọng tâm.
Vì đáy là tam giác đều cạnh nên chiều cao của đáy bằng 110.
Khoảng cách từ gốc chân đến tâm là
Chiều cao giá đỡ là
Câu 33: Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.
Lời giải
Khi bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang, thì mặt nước cũng sẽ có cùng độ cao trên toàn bể nước. Vì vậy, để đo độ sâu của bể, ta có thể đo khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể.
Khi thả quả dọi vào bể nước, nó sẽ chìm dưới mặt nước và chạm đến đáy bể. Khi kéo quả dọi lên, ta sẽ thấy một đoạn dây dọi nằm trong bề nước và một đoạn dây dọi ở ngoài bề nước. Đoạn dây dọi nằm trong bề nước có độ dài bằng khoảng cách từ mặt nước đến chỗ quả dọi chạm đáy bể. Do đó, để đo độ sâu của bể, ta chỉ cần đo độ dài của đoạn dây dọi nằm trong bề nước.
Công thức để tính độ sâu của bể nước sẽ là: Độ sâu bể = chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước
Câu 34: Một chiếc máy bay cất cánh từ một điểm thuộc mặt đất phẳng nằm ngang. Trong 3 phút đầu máy bay bay với vận tốc và theo đường thẳng tạo với mặt đất một góc . Hỏi sau 2 phút, máy bay ở độ cao bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?
Lời giải
Sau 2 phút, máy bay đi được quãng đường là
Sau 2 phút, máy bay ở độ cao là
Câu 35: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột có chiều dài bằng và tạo với mặt đất góc . Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên mặt đất dài vào tạo với cây cột một góc bằng (tức là ). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.
Lời giải
Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên là Xét tam giác có
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt đất
Xét tam giác ABH vuông tại H có
Xét tam giác ACH vuông tại H có
Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên khoảng .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com CHUYEN DE 17 THUC TE QUAN HE VUONG GOC