onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ 14. CÁC DẠNG TOÁN THỰC LŨY THỪA-LOGARIT. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Phép tính luỹ thừa với số mũ nguyên
Cho số thực khác 0 và số nguyên dương . Ta đặt .
Chú ý
* và ( nguyên dương) không có nghĩa.
* Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
2. Căn bậc
a) Định nghĩa
Cho số thực và số nguyên dương . Số được gọi là căn bậc của số nếu .
Nhận xét
* Với lẻ và : Có duy nhất một căn bậc của , kí hiệu là .
* Với chẵn, ta xét ba trường hợp sau:
+) : Không tồn tại căn bậc của ;
+) : Có một căn bậc của là số 0 ;
+) : Có hai căn bậc của là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là , còn giá trị âm kí hiệu là .
b) Tính chất
;
.
(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa).
3. Phép tính luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực dương và số hữu tỉ , trong đó . Luỹ thừa của với số mũ xác định bởi: .
Nhận xét
* .
* Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên.
4. Phép tính luỹ thừa vói số mũ thực
a) Định nghĩa
Cho là số thực dương, là số vô tỉ, là dãy số hữu tỉ và . Giới hạn của dãy số gọi là luỹ thừa của với số mũ , kí hiệu .
b) Tính chất
Cho là những số thực dương; là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có:


* Nếu thì .
Nếu thì .
* Cho là một số thực. Ta có:

5. Khái niệm lôgarit
a) Định nghĩa
Với và , ta có: . Ngoài ra:
* Lôgarit thập phân của là lôgarit cơ số 10 của số thực dương :
* Lôgarit tự nhiên của là lôgarit cơ số của số thực dương :
b) Tính chất
Với và , ta có:
.
6. Một số tính chất của phép tính lôgarit
Trong mục này, ta xét và .
a) Lôgarit của một tích, một thương
Với , ta có:
;
Nhận xét: .
b) Lôgarit của một luỹ thừa
Với mọi số thực , ta có: .
Nhận xét: Với mọi số nguyên dương , ta có: .
c) Đổi cơ số của lôgarit
Với là hai số thực dương khác 1 và là số thực dương, ta có: .
Nhận xét: Với là hai số thực dương khác và , ta có những công thức sau:
.
7. Hàm số mũ
Cho số thực . Hàm số được gọi là hàm số mũ cơ số .
Xét hai trường hợp:


* Tập xác định: ; tập giá trị: .
* Tính liên tục
Hàm số là hàm số liên tục trên .
* Giới hạn đặc biệt

* Sự biến thiên
Hàm số đồng biến trên .
* Bảng biến thiên
* Đồ thị
* Tập xác định: ; tập giá trị: .
* Tính liên tục
Hàm số là hàm số liên tục trên .
* Giới hạn đặc biệt

* Sự biến thiên
Hàm số nghịch biến trên .
* Bảng biến thiên
* Đồ thị
8. Hàm số lôgarit
Cho số thực . Hàm số được gọi là hàm số lôgarit cơ số . Xét hai trường hợp:

1. Tập xác định:
2. Sự biến thiên.

hàm số luôn đồng biến trên
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng
3. Bảng biến thiên.
4. Đồ thị

1. Tập xác định:
2. Sự biến thiên.

hàm số luôn nghịch biến
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng.
3. Bảng biến thiên.
4. Đồ thị
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian ( tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số , trong đó là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU ( 1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Challes et al., Algebra 2, Pearson )
Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.
Lời giải
Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất số năm Trái Đất là:
(năm)
Câu 2: Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng và dày khoảng . Đồng xu đồng dày . Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm.
Lời giải
Để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng ta cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên là:
Câu 3: Tại một xí nghiệp, công thức được dùng để tính giá trị còn lại ( tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian ( tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
a) Tính giá trị còn lại của máy sau 2 năm; sau 2 năm 3 tháng.
b) Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
Lời giải
a) Với (triệu đồng)
2 năm 3 tháng năm.
Với (triệu đồng)
b) Với (triệu đồng)
Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng: so với ban đầu.
Câu 4: Nếu một khoản tiền gốc được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi lần trong một năm, thì tổng số tiền nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau kì gửi cho bởi công thức sau:
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
Lời giải
Với số tiền gốc triệu đồng, lãi suất (vì lãi suất được biểu thị dưới dạng số thập phân), và số kỳ gửi trong một năm (vì một năm có 2 kỳ gửi 6 tháng), số kỳ gửi trong 2 năm là .
Áp dụng công thức tính lãi suất kép: triệu đồng.
Vậy sau 2 năm, bác An sẽ nhận được khoản tiền là khoảng 136.047 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
Câu 5: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số (triệu người) của quốc gia đó sau năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Lời giải
Sau 30 năm, dân số của quốc gia sẽ tăng gấp đôi, tức là sẽ đạt mức 38 triệu người. Ta có công thức tính tỉ số tăng trưởng dân số là:
Từ đó, ta có thể tìm được số năm tương ứng với tốc độ tăng dân số như vậy là:.
Vậy sau 30 năm kễ từ năm 2021, tức là năm 2051, dân số của quốc gia này sẽ đạt mức 38 triệu người.
Để tính dân số sau 20 năm kể từ năm 2021, ta có thể tính tỉ số tăng trưởng dân số trong 20 năm nhur sau:
Vậy dân số của quốc gia này sau 20 năm, tức là năm 2041, sẽ đạt mức: triệu người
Câu 6: Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được (Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?
Lời giải
=> Độ pH của đầm đó không thích hợp để tôm sú phát triển.
Câu 7: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và Câu tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Số lượng tế bào đạt tới khối lượng của Trái Đất là:
Số lần phân chia:
Thời gian cần thiết là:
(giờ)
Câu 8: a) Nước cất có nồng độ là . Tính độ của nước cất.
b) Một dung dịch có nồng độ gấp 20 lần nồng độ của nước cất. Tính độ của dung dịch đó.
Lời giải
a) Độ pH của nước cất là: .
b) Nồng độ của dung dịch đó là:
Độ của dung dịch đó là: .
Câu 9: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là
trong đó là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và là áp suất không khí (tính bằng pascal).
Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao so với mực nước biển.
Lời giải
Để tính áp suất không khí ở độ cao , ta thay a vào công thức và giải phương trình để tìm giá trị của .
Ta có:
Vậy áp suất không khí ở độ cao so với mực nước biển là khoảng 245,37 Pa.
Câu 10: Mức cường độ âm đo bằng decibel ( của âm thanh có cường độ (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là ) được định nghĩa như sau:
trong đó là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).
Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ .
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ .
Lời giải
a) Áp dụng công thức:
b) Thay các giá trị ta có:
Câu 11: (Vận dụng thực tiễn) Giả sử cường độ ánh sáng dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức , trong đó: là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, là một hằng số dương, là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét).
a) Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu bằng 95% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tính giá trị của hằng số .
b) Tại độ sâu ở vùng biển đó, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt nước biển? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta có và . Thay vào biểu thức , ta được: .
Mà nên . Vậy .
b) Từ giả thiết, ta có . Thay và vào công thức , ta được:.
Như vậy, tại độ sâu ở vùng biển đó, cường độ ánh sáng bằng 45% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển.
Câu 12: Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn sau ( giờ) sẽ là (con). Hỏi sau giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?
Lời giải
Thay (giờ) vào công thức ta được số vi khuẩn sau giờ là: (con).
Câu 13: Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài là (tính bằng mét) được cho bởi . Nếu một con lắc có chiều dài , hãy tính chu kì của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
Thay vào công thức ta được chu kì dao động của con lắc là: (giây)
Câu 14: Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương chu kì quỹ đạo (tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đao của bán trục lớn (tính bằng đơn vị thiên văn AU).
a) Tính theo .
b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất, hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
a) Theo định luật thứ ba của Kepler, ta có:
b) Thay vào công thức , ta được:
Câu 15: Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là trong đó là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất)
(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)
a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là 687 ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?
b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).
(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
a) Thay vào công thức ta được khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là: (triệu dặm)
b) Thay vào công thức ta được khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là: (triệu dặm)
Câu 16: (Vận dụng thực tiễn) Trong Hoá học, độ của một dung dịch được tính theo công thức , trong đó là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Nếu thì dung dịch có tính acid, nếu thì dung dịch có tính base và nếu thì dung dịch là trung tính.
a) Tính độ Ph của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,001 mol/l.
b) Xác định nồng độ ion hydrogen của một dung dịch có độ .
c) Khi tăng 1 đơn vị thì nồng độ ion hydrogen của dung dịch thay đổi thế nào?
Lời giải
a) Thay vào công thức, ta được . Vậy độ của dung dịch bằng 3.
b) Thay vào công thức, ta được , do đó . Vậy nồng độ ion hydrogen trong dung dịch là .
c) Thay vào công thức ta thấy khi tăng 1 đơn vị thì nồng độ ion hydrogen của dung dịch giảm đi 10 lần.
Câu 17: Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức, ở đó là phần nguyên của số thực dương . Tìm số các chữ số của khi viết trong hệ thập phân.
Lời giải
Số các chữ số của là:
Câu 18: Khi gửi tiết kiệm (đồng) theo thể thức trả lại kép định kí với lãi suất mỗi kì là (cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau kì gửi là (đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.
Lời giải
Để số tiền ban đầu tăng gấp đôi thì . Thay vào công thức lãi kép ta có: (năm)
Câu 19: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?
Lời giải
Lãi suất năm là 8% nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là . Thay vào công thức , ta được: .
Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.
Câu 20: Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ sử dụng để đo lượng cần trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg/ml, nghĩa là có 0.02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 14 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02%. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoa bằng một phương trình có dạng , trong đó là nồng độ cồn trong máu và là một hằng số,
a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng 0,02% là 1,4. Tìm hằng số trong phương trình.
b) Nguy cơ tương đối là bao nheieu nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17%?
c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100.
d) Giả sử nếu một người lái xe có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?
Lời giải
a) Thay vào công thức ta được
b)
c) Thay vào công thức, ta được
d) Với thì , tức là một người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng 0,096% trở lên thì không được lái xe.
Câu 21: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bời hàm số , trong đó là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn (1 là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là khoảng 93000000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hoả quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)? Biết khoảng cách từ Sao Hoà đến Mặt Trời là 1,52 .
Lời giải
Thời gian để Sao Hoả quay quanh Mặt Trời là:
( năm Trái Đất)
Câu 22: Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 25 năm, tức là cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có chất phóng xạ đó. Viết công thức tính khối lượng của chất đó còn lại sau năm và tính khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn theo đơn vị gam).
Lời giải
Công thức tính khối lượng của chất phóng xạ đó còn lại sau năm là:
Khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm là:
Câu 23: Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khỏe và sự phát triển của thuỷ sản. Độ thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được (Nguồn: https:// nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không? Biết .
Lời giải
Độ của đầm đó là: .
Do 7,097<7,2 nên đầm đó không thích hợp cho tôm sú phát triển.
Câu 24: Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của có trong mẫu vật tại thời điểm (năm) (so với thời điểm ban đầu ), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ (đơn vị là Becquerel, kí hiệu ) với là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm ); là hằng số phóng xạ, (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là . Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Gọi là độ tuổi của mẫu gỗ cổ.
Ta có: với .
Từ đó, . Vậy .
Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cồ đó xấp xỉ 1247 năm.
Câu 25: Cường độ ánh sáng tại độ sâu (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức , trong đó là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.
a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?
b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu ?
Lời giải
a) .
b) (lần).
Câu 26: Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ là hàm số theo biến được cho bởi công thức: . Trong đó là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98564407 người và tỉ lẹ̣ tăng dân số 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet-nam). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Ta có: , trong đó:
S là dân số của Việt Nam năm 2030 (cần dự đoán).
A là dân số của Việt Nam năm 2021, đã biết là 98,564,407 người.
r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, đã biết là 0,93%
t là số năm từ năm 2021 đến năm 2030, tức là năm.
Thay các giá trị vào công thức, ta có:
Sau khi tính toán, ta có kết quả: người.
Vậy dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 là khoảng 107 triệu người.
Câu 27: Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: , trong đó là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, (ngày) là thời gian học và là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là . Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày?
Lời giải
Để tính số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau một số ngày nhất định, ta chỉ cần thay giá trị của t vào công thức , trong đó:
Số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau 2 ngày: Thay vào công thức , và biết rằng (số đơn vị kiến thức đã học được), (tốc độ tiếp thu), ta có:
(đơn vị)
Trong 8 ngày, em học sinh nhớ được:
(đơn vị)
Câu 28: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: . Phân tích nồng độ ion hydrogen trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau:
Mẫu Mẫu .
Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên.
Lời giải
Độ pH của mẫu 1 là:
Độ pH của mẫu 2 là:
Nhận thấy .
Câu 29: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và người đó không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là (đồng), người đó sử dụng công thức . Hỏi sau bao nhiêu năm thì người đó có được tổng số tiền cả vốn và lãi là 15 triệu đồng? 20 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Vậy sau ít nhất 7 năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó.
Câu 30: Cường độ ánh sáng dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức , trong đó là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, là hằng số và là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.
(Nguồn: https://www.britannica.com/science/seawer/Optical-properties)
a) Có thể khẳng định rằng không? Giải thích.
b) Biết rẳng cường độ ánh sáng tại độ sâu bẳng . Tìm giá trị của .
c) Tại độ sâu , cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với ? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vì.)
Lời giải
a) Vì cường độ ánh sáng giảm dần theo độ sâu nên hàm số nghịch biến.
Vậy .
b) Ta có: .
c) Ta có: .
Vậy tại độ sâu , cường độ ánh sáng bằng phần trăm so với
Câu 31: Công thức là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí tại điểm đó và áp suất của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng đơn vị áp suất, đọc là ).
(Nguồn: https://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6)
a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng thì máy bay đang ở độ cao nào?
b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi bằng lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi . Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Lời giải
a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng là:
b) Độ cao của ngọn núi A là:
Độ cao của ngọn núi là:
Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi bằng lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi nên ta có:
Ta có:
Vậy ngọn núi A cao hơn ngọn núi B 1,88km.
Câu 32: Cường độ ánh sáng dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức , trong đó là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, là hằng số và là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.
(Nguồn: https://www.britannica.com/science/seawer/Optical-properties)
a) Có thể khẳng định rằng không? Giải thích.
b) Biết rẳng cường độ ánh sáng tại độ sâu bẳng . Tìm giá trị của .
c) Tại độ sâu , cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với ? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vì.)
Lời giải
a) Vì cường độ ánh sáng giảm dần theo độ sâu nên hàm số nghịch biến.
Vậy .
b) Ta có: .
c) Ta có: .
Vậy tại độ sâu , cường độ ánh sáng bằng phần trăm so với
Câu 33: Công thức là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí tại điểm đó và áp suất của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng đơn vị áp suất, đọc là ).
(Nguồn: https://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6)
a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng thì máy bay đang ở độ cao nào?
b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi bằng lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi . Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Lời giải
a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng là:
b) Độ cao của ngọn núi A là:
Độ cao của ngọn núi là:
Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi bằng lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi nên ta có:
Ta có:
Vậy ngọn núi A cao hơn ngọn núi B 1,88km.
Câu 34: (Vận dụng thực tiễn) Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức: , trong đó là khối lượng của chất phóng xạ tại thời điểm ban đầu là khối lượng của chất phóng xạ tại thời điểm là chu kì bán rã (là thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Biết rằng đồng vị plutonium-234 có chu kì bán rã khoảng 9 giờ. Từ khối lượng plutonium-234 ban đầu là , hãy tính khối lượng plutonium-234 còn lại sau:
a) 9 giờ; b) 1 ngày.
(Kết quả tính theo gam và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
a) Thay vào công thức, ta được:
b) Do 1 ngày giờ nên thay vào công thức, ta được:
Câu 35: Nếu một ô kính ngăn khoảng ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng truyền qua ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau:
a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?
b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính? (Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
. b)
Câu 36: Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là . Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:
a) hằng quý; b) hằng tháng; c) liên tục.
(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Lời giải
Để giải câu a và câu , ta sử dụng công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được , trong đó là số tiền vốn ban đầu, là lãi suất năm ( cho dưới dạng số thập phân), là số kì tính lãi trong một năm và là số kì gửi.
a) Ta có: . Thay vào công thức trên, ta được:
( triệu đồng)
b) Ta có: . Thay vào công thức trên, ta được:
(triệu đồng)
c) Ta sử dụng công thức lãi kép liên tục , ở đây là lãi suất năm ( cho dưới dạng số thập phân) và là số năm gửi tiết kiệm.
Ta có: nên (triệu đồng).
Câu 37: Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1600 năm. Giả sử khối lượng (tính bằng gam) còn lại sau năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức:
a) Khối lượng ban đầu (khi ) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
b) Sau 2500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
Lời giải
a) Khối lượng ban đầu (khi ) của lượng Radi 226 đó là .
b) Sau 2500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là .
Câu 38: Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, ki hiệu là ) được tính bởi công thức , trong đó là cường độ âm tính theo và là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.
a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là .
b) Khi cường độ âm tăng lên 1000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?
Lời giải
a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là .
b) Ta có: . Vậy mức cường độ âm tăng lên 30 dB.
Câu 39: Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: , trong đó là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học , (ngày) là thời gian học và là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được.
(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson).
Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là . Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Sau 2 ngày, em học sinh đó học được số đơn vị kiến thức mới là:
đơn vị kiến thức
Sau 8 ngày, em học sinh đó học được số đơn vị kiến thức mới là:
đơn vị kiến thức
Câu 40: Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là (đồng), cô Yên sử dụng công thức . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng sau ít nhất số năm là:
Câu 41: Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử giảm đi một nửa.
a) Gọi là khối lượng của tại thời điểm . Viết công thức tính khối lượng của tại thời điểm (năm).
b) Một cây còn sống có lượng trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ được xác định chết cách đây 2000 năm. Tính tỉ lệ phần trăm lượng còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
a) .
b) Tỉ lệ phần trăm lượng còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trường là:
Câu 42: Mức cường độ âm được tính bởi công thức , trong đó là cường độ âm. Tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ đến . Tính mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được.
Lời giải
Mức cường độ âm tai người có thể nghe được từ đến .
Câu 43: Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức , trong đó và là các hằng số dương, là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.
a) Tại sao có thể khẳng định rằng ?
b) Biết rằng bệnh nhân đã uống thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn . Hãy xác định giá trị của và .
c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?
Lời giải
a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số nghịch biến, do đó .
b) .
c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn . Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com CHUYEN DE 14 THUC TE LUY THUA MU VA LOGA