3
Chương
PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§ 5. heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån
¶¶¶
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
 Định nghĩa:
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn và là hệ có dạng với
Cặp số đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ.
‚ Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
Ký hiệu:
Xét D
Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất
hoặc
Hệ vô nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm.
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
ƒ Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm của hệ là tọa độ điểm thuộc cả 2 đường thẳng:
và
Hệ có nghiệm duy nhất và cắt nhau.
Hệ vô nghiệm và song song với nhau.
Hệ có vô số nghiệm và trùng nhau.
M
Nghiệm duy nhất
Vô nghiệm
Vô số nghiệm
HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN
Hệ có dạng: Một nghiệm của hệ là bộ 3 số thỏa cả 3 phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
§ 6. heä phöông trình baäc hai hai aån soá
¶¶¶
HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng tổng quát:
Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút theo (hoặc theo và thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí và cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.
Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.
Đặt
Giải hệ với ẩn với điều kiện có nghiệm là
Tìm nghiệm bằng cách thế vào phương trình
¬ Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:



HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí và cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về dạng tức luôn có
¬ Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
Dạng tổng quát:
Phương pháp giải:
Lấy Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ
¬ Lưu ý: Dạng với là các biểu thức đẳng cấp bậc thỏa mãn Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải. Tức biến đổi hệ và đây là phương trình đẳng cấp bậc k.
Câu 1. Nghiệm của hệ: là:
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có : .
Câu 2. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm
A. B. C. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : . Vậy phương trình có vô số nghiệm.
Câu 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : .
Câu 4. Tìm nghiệm của hệ :
A. B. C. D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
Ta có : .
Câu 5. Hệ phương trình: có bao nhiêu nghiệm ?
A. B. C. D. Vô số nghiệm.
Lời giải
Chọn D.
Ta có :
Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Câu 6. Hệ phương trình : có nghiệm là?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : Thế vào phương trình ta được
Giải hệ ta được .
Câu 7. Cho hệ phương trình . Để giải hệ phương trình này ta dùng cách nào sau đây ?
A. Thay vào phương trình thứ nhất. B. Đặt .
C. Trừ vế theo vế. D. Một phương pháp khác.
Lời giải
Chọn A.
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai.
Câu 8. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có :

.
Câu 9. Nghiệm của hệ phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có :
.
Câu 10. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:
A. hay B. và
C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có :
Phương trình có đúng một nghiệm khi .
Câu 11. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau và
A. B. C. hay D. Không có giá trị .
Lời giải
Chọn A.
Ta có : Hai đường thẳng và trùng nhau khi
.
Câu 12. Để hệ phương trình : có nghiệm , điều kiện cần và đủ là :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : là nghiệm phương trình
Hệ phương trình có nghiệm khi .
Câu 13. Hệ phương trình
A. có 2 nghiệm và . B. có 2 nghiệm và .
C. có 1 nghiệm là D. có 4 nghiệm
Lời giải
Chọn D.
Đặt
Hệ phương trình tương đương
Khi thì suy ra hệ có nghiệm
Khi thì suy ra hệ có nghiệm
Câu 14. Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :
A. B. C. hoặc D. m tùy ý.
Lời giải
Chọn C.
Ta có :
Hệ phương trình có đúng nghiệm khi phương trình có đúng nghiệm

Câu 15. Hệ phương trình : . Có nghiệm là
A. B. . C. D.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
Ta có hệ
.
Câu 16. Hệ phương trình: có nghiệm là ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có : .
Câu 17. Phương trình sau có nghiệm duy nhất với giá trị của m là :
A. B.
C. hoặc D. và
Lời giải
Chọn D.
Ta có :
Phương trình có nghiệm duy nhất khi và
Câu 18. Cho hệ phương trình :. Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là :
A. B. hay
C. hay D. hay
Lời giải
Chọn A.
Ta có : Hệ trở thành
Hệ vô nghiệm
Thử lại thấy thoả điều kiện.
Câu 19. Cho hệ phương trình . Từ hệ phương trình này ta thu được phương trình sau đây ?
A. B. C. D. Một kết quá khác.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : .
Câu 20. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. B. C. D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
Ta có :


.
Câu 21. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có :
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
Câu 22. Hệ phương trình có nghiệm là:
A. B. C. D. Hệ vô nghiệm.
Lời giải
Chọn B.
Ta có : .
Câu 23. Hệ phương trình có nghiệm là:
A. B. C. , . D. Một đáp số khác.
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Ta có : (nhận).
Khi đó : là nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm của hệ là .
Câu 24. Tìm để hệ phương trình vô nghiệm:
A. B. hoặc . C. D. Không có .
Lời giải
Chọn C.
Ta có : , ,
Hệ phương trình vô nghiệm
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có :
là nghiệm của phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Câu 26. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. B. C. D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Ta có :
(loại)
(nhận)
Khi đó : là nghiệm của phương trình
Vậy hệ có nghiệm
Câu 27. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
Ta có : là nghiệm của phương trình
Khi (loại)
Khi thì là nghiệm của phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Câu 28. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
Lời giải
Chọn B.
Đặt
Ta có :
Khi  thì là nghiệm của phương trình
Khi (loại)
Vậy hệ có nghiệm là hoặc
Câu 29. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
Ta có :
Khi thì là nghiệm của phương trình
Khi thì là nghiệm của phương trình
Vậy hệ có nghiệm
Câu 30. Hệ phương trình có nghiệm là với và là :
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có :
Khi thì
Khi (phương trình vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm
Câu 31. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có :
Khi thì
Khi thì (phương trình vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Câu 32. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có :
Khi thì
Khi thì (phương trình vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm và
Câu 33. Hệ phương trình có bao nhiêu cặp nghiệm ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có :
Khi thì
Khi thì
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm .
Câu 34. Cho hệ phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi .
B. Hệ phương trình có nghiệm.
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
D. Hệ phương trình luôn vô nghiệm.
Lời giải
Chọn B.
Ta có :
.
Câu 35. Cho hệ phương trình : . Hệ thức biểu diễn theo rút ra từ hệ phương trình là ?
A. hay . B. hay .
C. hay . D. hay
Lời giải
Chọn .
Ta có : hay .
Câu 36. Cho hệ phương trình : .Các giá trị thích hợp của tham số để hệ phương trình có nghiệm nguyên là :
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : , ,
Hệ phương trình có nghiệm
Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi .
Câu 37. Các cặp nghiệm của hệ phương trình : là :
A. hay B. hay
C. hay D. hay
Lời giải
Chọn C.
Khi thì hệ trở thành (loại)
Khi thì hệ trở thành (loại)
Khi thì hệ trở thành (nhận)
Khi thì hệ trở thành (nhận)
Câu 38. Nghiệm của hệ phương trình : là:
A. B. C. . D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Ta có :
là nghiệm của phương trình
Khi (loại)
Khi thì là nghiệm phương trình
Vậy nghiệm của hệ là .
Câu 39. Cho hệ phương trình : . Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có :

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là
Câu 40. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn .
Ta có :

Khi thì hệ có nghiệm .
Khi , ta có (vô lí).
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 41. Hệ phương trình có bao nhiêu cặp nghiệm ?
A. B. Vô nghiệm. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện :
Ta có :

Khi thì
Khi thì (vô nghiệm vì )
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Câu 42. Cho hệ phương trình và các mệnh đề :
(I) Hệ có vô số nghiệm khi .
(II) Hệ có nghiệm khi .
(III) Hệ có nghiệm với mọi .
Các mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) . D. Chỉ (I) và (III).
Lời giải
Chọn D.
Khi thì hệ trở thành hệ có vô số nghiệm đúng.
Ta có:
đúng.
Câu 43. Hệ phương trình có nghiệm là :
A. bất kỳ,;,
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có :
Khi thì .
Khi thì x tuỳ ý.
Câu 44. Cho hệ phương trình . Giá trị thích hợp của tham số sao cho hệ có nghiệm và tích nhỏ nhất là :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
Ta có :
Hệ phương trình có nghiệm khi


Đẳng thức xảy ra khi (nhận).
Câu 45. Cho hệ phương trình :
Với , , hệ có nghiệm duy nhất bằng :
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có :


Hệ có nghiệm .
Câu 46. Cho hệ phương trình : . Các giá trị thích hợp của tham số để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có :

Đẳng thức xảy ra khi .
Câu 47. Cho hệ phương trình : . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp của tham số là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có : , ,
Hệ phương trình có nghiệm khi
Nghiệm của hệ là
Thế vào phương trình ta được .
Câu 48. Cho hệ phương trình : . Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số là :
A. hay B.
C. hay D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : , ,
Hệ phương trình có nghiệm khi
Hệ có nghiệm
Hệ phương trình có nghiệm âm khi .
Câu 49. Cho hệ phương trình : . Các cặp nghiệm sao cho đều là các số nguyên là :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Phương trình .
Trường hợp 1: thay vào ta được . Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là , .
Trường hợp 2: thay vào ta được phương trình nay không có nghiệm nguyên.
Vậy các cặp nghiệm sao cho đều là các số nguyên là và .
Câu 50. Nếu là nghiệm của hệ phương trình: . Thì bằng bao nhiêu ?
A. B.
C. D. Không tồn tại giá trị của .
Lời giải
Chọn D.
Ta có : .
không có giá trị của , thỏa nên không tồn tại .

onthicaptoc.com Chương 3 phương trình hệ phương trình bài 5 hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn