3
Chương

CHUYÊN ĐỀ 5
ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định với và hằng số . Elip(E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn .
Hình 3.3
Các điểm là tiêu điểm của (E). Khoảng cách là tiêu cự của (E). được gọi là bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elip:
Với :
trong đó
(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)
3) Hình dạng và tính chất của elip:
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải
+ Các đỉnh :
+ Trục lớn : , nằm trên trục Ox; trục nhỏ :, nằm trên trục Oy
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng gọi là hình chữ nhật cơ sở.
+ Tâm sai :
+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm thuộc (E) là:

Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?
A. Cho điểm cố định và một đường thẳng cố định không đi qua . Elip là tập hợp các điểm sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến .
B. Cho cố định với . Elip là tập hợp điểm sao cho với là một số không đổi và .
C.Cho cố định với và một độ dài không đổi . Elip là tập hợp các điểm sao cho .
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.
Lời giải
Chọn C
Định nghĩa về Elip là: Cho cố định với và một độ dài không đổi . Elip là tập hợp các điểm sao cho .
Câu 2. Dạng chính tắc của Elip là
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Dạng chính tắc của Elip là . (Các bạn xem lại trong SGK).
Câu 3. Cho Elip có phương trình chính tắc là , với . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu thì có các tiêu điểm là , .
B. Nếu thì có các tiêu điểm là , .
C. Nếu thì có các tiêu điểm là , .
D. Nếu thì có các tiêu điểm là , .
Lời giải
Chọn C.
Xem lại sách giáo khoA.
Câu 4. Cho Elip có phương trình chính tắc là , với . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Với , tâm sai của elip là .
B. Với , tâm sai của elip là .
C. Với , tâm sai của elip là .
D. Với , tâm sai của elip là .
Lời giải
Chọn A
Xem kiến thức sách giáo khoA.
Câu 5. Cho Elip có phương trình chính tắc là , với . Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là , .
B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là , .
C. Với , độ dài tiêu cự là .
D. Với , tâm sai của elip là .
Lời giải
Chọn D.
Với , tâm sai của elip là .
Câu 6. Cho Elip có phương trình chính tắc là , với và . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Với và các tiêu điểm là thì , .
B. Với và các tiêu điểm là thì , .
C. Với và các tiêu điểm là thì , .
D. Với và các tiêu điểm là thì , .
Lời giải
Chọn B
Xem lại kiến thức sách giáo khoA.
Câu 7. Cho Elip có phương trình chính tắc là , với và . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Các đường chuẩn của là và , với ( là tâm sai của ).
B. Elip có các đường chuẩn là , và có các tiêu điểm là thì .
C. Elip có các đường chuẩn là , và có các tiêu điểm là thì .
D. Elip có các đường chuẩn là , , các tiêu điểm là và .
Lời giải
Chọn A.
Xem lại sách giáo khoA.
Câu 8. Cho elíp và đường thẳng .Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với elíp là
A.. B..
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Lý thuyết.
Câu 9. Elip (E): có tâm sai bằng bao nhiêu?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Vậy tâm sai của Elip
Câu 10. Đường Elip có tiêu cự bằng :
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
.
Vậy: Tiêu cự của Elip .
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho elip có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Ta có , , vậy phương trình của Elip là: .
Câu 12. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng và trục lớn bằng .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của Elip có dạng .
Theo giả thiết: và
Khi đó:
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: .
Câu 13. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là và một tiêu điểm là .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của Elip có dạng .
Theo giả thiết: Elip có một đường chuẩn là nên và một tiêu điểm là điểm nên . Do đó: .
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: .
Câu 14. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng và đi qua điểm .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Theo giả thiết:. Vì nên ta có phương trình: .
Khi đó: .
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: .
Câu 15. Cho Elip có phương trình : . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
.
Từ đây, ta được . Diện tích hình chữ nhật cơ sở là
Câu 16. Cho Elip . Với là điểm bất kì nằm trên , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Từ, suy ra .
Với một điểm bất kì trên , ta luôn có
Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D.
Phương trình chính tắc của Elip có dạng .
Theo giả thiết: và
Khi đó: .
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: .
Câu 18. Cho elip và cho các mệnh đề:
  có trục lớn bằng có trục nhỏ bằng
có tiêu điểm có tiêu cự bằng
Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng?
A.. B. và . C. và . D..
Lời giải
Chọn B.
.
Vậy, có trục lớn bằng , có trục nhỏ bằng , có tiêu điểm , có tiêu cự bằng .
Câu 19. Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình chính tắc của elip có dạng.
Theo đề bài, ta được hệ
. Suy ra:
Câu 20. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Elip
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Vậy đường chuẩn của Elip là
Câu 21. Cho Elip và điểm nằm trên Nếu điểm có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ tới 2 tiêu điểm của bằng :
A.. B. và . C. và . D..
Lời giải
Chọn C.
Ta có:.
Sử dụng công thức bán kính qua tiêu ,
Câu 22. Cho elip :  và cho các mệnh đề : 
(I) có tiêu điểm và .
(II) có tỉ số .
(III) có đỉnh .
(IV) có độ dài trục nhỏ bằng .
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai ? 
A. I và II . B. II và III . C. I và III. D. IV và I.
Lời giải
Chọn C.
Từ phương trình của elip, ta có , , suy ra các mệnh đề sai là (I) và (IV).
Câu 23. Đường thẳng qua và cắt elíp tại hai điểm sao cho có phương trình là:
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Gọi . Ta có là trung điểm của .
Ta có
Vậy là vectơ pháp tuyên của .
Vậy phương trình là : .
Câu 24. Một elip có trục lớn bằng , tâm sai . Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Độ dài trục lớn , tâm sai . Trục nhỏ .
Câu 25. Đường Elip có tiêu cự bằng :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Câu 26. Cho Elip và điểm nằm trên. Nếu điểm có hoành độ bằng thì các khoảng cách từ tới tiêu điểm của bằng :
A.. B.. C. D..
Lời giải
Chọn A.
Ta có ,
Vậy ; .
Câu 27. Cho elíp có phương trình . Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ đến hai tiêu điểm.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Ta có :, , .
sử dụng công thức bán kính qua tiêu ,
.
Câu 28. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là , suy ra .
Phương trình .
Câu 29. Đường thẳng cắt Elip tại hai điểm
A.Đối xứng nhau qua trục . B.Đối xứng nhau qua trục .
C.Đối xứng nhau qua gốc toạ độ . D.Đối xứng nhau qua đường thẳng .
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng là đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên giao điểm của đường với Elip đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
Câu 30. Cho Elip . Đường thẳng cắt tại hai điểm. Khi đó:
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Theo giả thiết: nên ta có phương trình:
Khi đó: .
Câu 31. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một Elip có khoảng cách giữa các đường chuẩn là và tiêu cự bằng 6 ?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Tiêu cự bằng 6 Loại A và B.
Đường chuẩn của Elip có dạng , mà
nên đường chuẩn của Elip còn được viết dưới dạng
Từ đáp án C suy ra: các đường chuẩn là: . Dễ thấy khoảng cách giữa 2 đường chuẩn này là .
Câu 32. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là và đi qua điểm
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Elip có một đường chuẩn là nên
Mặt khác Elip đi qua điểm nên
Ta có: .
Phương trình chính tắc của Elip .
Câu 33. Đường tròn và elip có phương trình sau đây có bao nhiêu giao điểm:, : .
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn D.
Xét hệ .
Câu 34. Viết phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm là và một đường chuẩn ?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Do đi qua điểm là và có một đường chuẩn nên ta có
.
Câu 35. Cho elip có phương trình: . là điểm thuộc sao cho . Khi đó tọa độ điểm là:
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Nên
Vì nên thuộc đường trung trực của chính là trục
là điểm thuộc nên là giao điểm của elip và trục
Vậy .
Câu 36. Dây cung của elip . vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Gọi dây cung đó là như hình vẽ.
Giả sử ,
Khi đó, , .
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ cho và hai điểm . Điểm bất kì thuộc , diện tích lớn nhất của tam giác là:
A.12. B.9. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Ta có: , .
Phương trình đường thẳng đi qua , :.
.
. Diện tích lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Ta có:
. Vậy .
Câu 38. Lập phương trình chính tắc của elip biếtđi qua điểm và vuông tại .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Do Elip đi qua nên . Lại có
Như vậy ta có hệ điều kiện . Giải hệ ta được .
Câu 39. Lập phương trình chính tắc của elip Hình chữ nhật cơ sở của có một cạnh nằm trên đường thẳng và có độ dài đường chéo bằng 6.
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng nên có . Mặt khác
Vậy phương trình Elip là .
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elíp và điểm .Tìm tọa độ các điểm trên , biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành vàlà tam giác đều và điểm có tung độ dương .
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn A.
Giả sử , Do đối xứng nhau qua nên .
Ta có: và
Vì nên .
Vì nên
Thay vào ta được .
Vì điểm khác và có tung độ dương nên và .
Câu 41. Cho elíp và đường thẳng . Biết rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt , . Tính độ dài đoạn .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Ta có, thay vào phương trình ta được
Vậy d luôn cắt tại hai điểm phân biệt ,và độ dài .
Câu 42. đối xứng với qua gốc toạ độ nên .Cho Elip có các tiêu điểm và một điểm nằm trên biết rằng chu vi của tam giác bằng . Lúc đó tâm sai của là:
A.. B. . C.. D..
Lời giải
Chọn D.
Phương trình chính tắc của elip có dạng .
Theo giải thiết ta có , chu vi của tam giác bằng nên .
Câu 43. Cho elíp và đường thẳng . Tìm trên điểm sao cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là lớn nhất, nhỏ nhất.
A.,. B., .
C., . D., .
Lời giải
Chọn A.
có độ dài nửa trục lớn và độ dài nửa trục bé
Gọi là tiếp tuyến của mà song song với .
Vì tiếp xúc với nên ta có: .
Nên ta có hai tiếp tuyến của song song với là: và .
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng là lớn nhất là: , khoảng cách từ đến đường thẳng là bé nhất là:
Câu 44. Cho hai elíp và . Gọi Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật .
A. B. C.D.
Lời giải
Chọn A.
Xét hệ .
Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có tâm và bán kính
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elip : .Tìm tất cả những điểm trên elip sao cho : (, là hai tiêu điểm của elip )
A. hoặc hoặc hoặc .
B. hoặc hoặc .
C. hoặc hoặc .
D. hoặc .
Lời giải
Chọn A.
- .
- Gọi ; . Xét tam giác theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
.
Vậy có tất cả 4 điểm thỏa
hoặc hoặc hoặc .
Câu 46. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của elíp : , biết tiếp tuyến đi qua điểm.
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn A
- Giả sử đường thẳng có véc tơ pháp tuyến qua thì có phương trình là:, hay: .
- Để là tiếp tuyến của thì điều kiện cần và đủ là :
.
Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho elíp và hai điểm , Tìm trên điểm sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
- , có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của , chúng nằm trên đường thẳng . có hoành độ và tung độ dương thì nằm trên cung phần tư thứ nhất
- Tam giác có cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ đến lớn nhất.
- Dễ nhận thấy trùng với đỉnh của bán trục lớn .
Câu 48. Trong mặt phẳng , cho hai điểm , và điểm . Điểm thuộc nào sau đây thỏa.
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
- Giả sử : . Theo giả thiết thì :
- qua suy ra : , thay vào ta có
- M thuộc . Theo tính chất của ta có bán kính qua tiêu
, . Thay vào ta có .
Câu 49. Trong mặt phẳng cho có phương trình : . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là một số không đổi với là hai tiêu điểm của và .
B. là các tiêu điểm của .
C. Độ dài trục lớn là .
D. Các đỉnh nằm trên trục lớn là và .
Lời giải
Chọn A
Dễ dàng thấy được B, C, D là các đáp án sai.
Phương án A: Gọi
- Theo công thức bán kính qua tiêu :
- Vậy : .
Câu 50. Trong mặt phẳng cho có phương trinh: .Có bao nhiêu điểm thuộc nhìn đoạn dưới một góc ? (Biết rằng là các tiêu điểm của elip).
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn D
Ta có :
- Theo hệ thức hàm số cos ta có :
.
- Như vậy có 4 điểm thỏa mãn.

onthicaptoc.com Chương 3 chuyên đề 5 đường elip