3
Chương

CHUYÊN ĐỀ 3
GÓC
§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
Cho đường thẳng và điểm . Khi đó khoảng cách từ M đến được tính bởi công thức: .
b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.
Cho đường thẳng và . Khi đó:
- M, N cùng phía với
- M, N khác phía với
Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :
và là:
.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng và , hay đơn giản là góc giữa và . Khi song song hoặc trùng với , ta quy ước góc giữa chúng bằng .
b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.
Góc xác định hai đường thẳng và có phương trình và được xác định bởi công thức .
Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng và được xác định theo công thức:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 2: Tìm côsin góc giữa đường thẳng : và :.
A. . B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là
.
Câu 3: Tìm côsin góc giữa đường thẳng : và : .
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn A.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là

Câu 4: Tìm côsin giữa đường thẳng : và : .
A. . B. . C. D.
Lời giải
Chọn D.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là

Câu 5: Tìm góc giữa đường thẳng : và :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là
Câu 6: Tìm góc giữa hai đường thẳng : và : .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là
Câu 7: Tìm góc giữa đường thẳng : và : .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là
Câu 8: Tìm côsin góc giữa đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Véctơ pháp tuyến của lần lượt là
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng và . Tính góc tạo bởi và
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 10: Cho hai đường thẳng . Số đo góc giữa và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Ta có
Câu 11: Tìm góc giữa đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là .
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là .
Ta có .
Câu 12: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là .
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là .
Gọi là góc gữa .
Câu 13: Cho đoạn thẳng với và đường thẳng . Định để và đoạn thẳng có điểm chung.
A. . B. hoặc .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng và đoạn thẳng có điểm chung nằm về hai phía của đường thẳng
.
Câu 14: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng và trục hoành ?
A. ; .
B. ; .
C. ; .
D. ; .
Lời giải
Chọn D.
Gọi là điểm thuộc đường phân giác
.
Câu 15: Cho đường thẳng : và điểm Định để và nằm cùng phía đối với .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Phương trình tổng quát của đường thẳng hay .
cùng phía với
Câu 16: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng và .
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn C.
Gọi là điểm thuộc đường phân giác
Câu 17: Cho hai đường thẳng . Số đo góc giữa và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.

Câu 18: Cho đường thẳng và 2 điểm. Định để và nằm cùng phía đối với .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
nằm về hai phía của đường thẳng
Câu 19: Cho với và đường thẳng . Đường thẳng cắt cạnh nào của ?
A. Cạnh . B. Không cạnh nào.
C. Cạnh . D. Cạnh .
Lời giải
Chọn B.
Thay điểm vào phương trình đường thẳng ta được
Thay điểm vào phương trình đường thẳng ta được
Thay điểm vào phương trình đường thẳng ta được
Suy ra điểm và nằm cùng phía đối với nên không cắt cạnh
điểm và nằm cùng phía đối với nên không cắt cạnh
điểm và nằm cùng phía đối với nên không cắt cạnh
Câu 20: Cho hai đường thẳng và . Góc giữa và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Ta có
Câu 21: Cho tam giác có . Tính diện tích của tam giác
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có ; ;

Câu 22: Cho đoạn thẳng với và đường thẳng . Định để cắt đoạn thẳng.
A. . B. . C. . D. Không có nào.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng và đoạn thẳng có điểm chung
nằm về hai phía của đường thẳng.
vô nghiệm.
Câu 23: Đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc . Khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi đường thẳng có véctơ pháp tuyến với
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 24: Cho và . Tìm để
A. . B. hoặc . C. hoặc . D. .
Lời giải
Chọn C.
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Ta có

Câu 25: Cho tam giác có . Tính diện tích của tam giác
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có ; ;


Câu 26: Có hai giá trị để đường thẳng hợp với đường thẳng một góc . Tổng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.

Câu 27: Xác định giá trị của để góc tạo bởi hai đường thẳng và đường thẳng một góc bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Ta có

Câu 28: Phương trình đường thẳng đi qua và tạo với đường thẳng một góc là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi đường thẳng đi qua có véctơ pháp tuyến
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 29: Đường thẳng đi qua và tạo với đường thẳng một góc có phương trình là
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn C.
Gọi đường thẳng đi qua có véctơ pháp tuyến
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc bằng
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn D.
Gọi đường thẳng có véctơ pháp tuyến với
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , hãy lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng .
A. .
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Vì nên đường phân giác góc tù tạo bởi 2 hai đường thẳng là
.
Câu 32: Cho hình vuông có đỉnh và một đường chéo có phương trình . Tọa độ điểm là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Vì nên đường chéo
Phương trình đường chéo đi qua và vuông góc với là .
Gọi tâm hình vuông là , tọa độ điểm thỏa mãn
là trung điểm suy ra
Câu 33: Cho và . Tìm để
A. . B. .
C. hoặc . D. hoặc .
Lời giải
Chọn C.
Câu 34: Có hai giá trị để đường thẳng hợp với đường thẳng một góc . Tổng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có

Câu 35: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng : và : .
A. và .
B. và .
C. và .
D. và .
Lời giải
Chọn B.
Cặp đường thẳng là phân giác của các góc tạo bởi là

Câu 36: Đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc . Khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Gọi đường thẳng có véctơ pháp tuyến với
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 37: Viết phương trình đường thẳng qua tạo với đường thẳng : một góc .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi đường thẳng đi qua có véctơ pháp tuyến với
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 38: Cho đoạn thẳng với , và đường thẳng : . Tìm để và đường thẳng tạo với nhau góc .
A. B. C. D. không tồn tại .
Lời giải
Chọn B.
Gọi đường thẳng có véctơ pháp tuyến
Ta có
.
Câu 39: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và . Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi và .
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B.
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là
Vì nên đường phân giác góc tù tạo bởi 2 hai đường thẳng là
.
Câu 40: Lập phương trình đi qua và tạo với đường thẳng một góc
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Gọi đường thẳng đi qua có véctơ pháp tuyến với
Ta có

Với chọn
Với chọn
Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho hai đường thẳng và lần lượt có phương trình: . Hãy viết phương trình đường thẳng đối xứng với qua đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Chọn . Gọi đi qua và vuông góc với .
Suy ra có dạng .
Vì
Gọi . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó là trung điểm của

Vậy đường thẳng chính là đường thẳng , ta có
.
Câu 42: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho hai đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng qua điểm cùng với , tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm có véctơ pháp tuyến ,
Theo giả thiết ta có

.
Với chọn .
Với chọn .
Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho tam giác cân , biết phương trình cạnh đáy cạnh bên . Tìm phương trình cạnh bên biết rằng nó đi qua điểm
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Gọi phương trình cạnh bên đi qua điểm có véctơ pháp tuyến ,
Vì tam giác cân tại nên


Với chọn .
Với chọn loại vì .
Vậy đường thẳng cần tìm là .
Câu 44: Trong mặt phẳng , cho 3 đường thẳng ; và Gọi ; ; . Viết phương trình đường phân giác trong của góc .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
, suy ta tọa độ điểm thỏa mãn
, suy ta tọa độ điểm thỏa mãn
, suy ta tọa độ điểm thỏa mãn
Phương trình các đường phân giác góc là .
Xét đường thẳng , ta có
Suy ra và nằm khác phía đối với .
Do đó đường phân giác trong góc là .
Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho hai đường thẳng và lần lượt có phương trình: . Hãy viết phương trình đường thẳng đối xứng với qua đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Chọn . Gọi đi qua và vuông góc với .
Suy ra có dạng .
Vì .
Gọi . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó là trung điểm của

Vậy đường thẳng chính là đường thẳng , ta có
.
Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho có đỉnh và phương trình hai đường cao và . Viết phương trình cạnh .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Gọi là trực tâm của tam giác . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Phương trình cạnh đi qua và vuông góc với
nên có dạng .
Vì nên Do đó .
Ta có nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Phương trình cạnh đi qua điểm nhận làm véctơ pháp tuyến
Câu 47: Cho tam giác , đỉnh , đường cao và đường phân giác trong của góc là . Khi đó phương trình cạnh là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình cạnh đi qua và vuông góc với là
Gọi , tọa độ điểm thỏa mãn
Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó tọa độ điểm thỏa mãn

Phương trình cạnh chính là , ta có
Gọi , tọa độ điểm thỏa mãn
Phương trình cạnh là
Câu 48: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc , cho có điểm và hai đường phân giác trong của hai góc lần lượt có phương trình . Viết phương trình cạnh .
A. B. . C. D.
Lời giải
Chọn B.
+) Gọi là hình chiếu của điểm lên
Ta có


Gọi là điểm đối xứng của qua .
Khi đó là trung điểm của
+) Gọi là hình chiếu của điểm lên
Ta có

Gọi là điểm đối xứng của qua .
Khi đó là trung điểm của
Phương trình đường thẳng chính là phương trình đường thẳng .
đường thẳng :
Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc , cho vuông cân tại và cạnh huyền có phương trình: . Viết phương trình hai cạnh góc vuông và
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua tạo với đường thẳng một góc
Cách 2:
Gọi là hình chiếu của lên .
đi qua và vuông góc với nên có dạng
Vì nên
Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Vì vuông cân tại nên thuộc đường tròn ngoại tiếp có tâm và bán kính
Phương trình đường tròn :
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Suy ra 2 điểm hoặc
Vậy phương trình hai cạnh và là
; .
Hoặc ; .
Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác vuông tại , có đỉnh , phân giác trong góc có phương trình . Viết phương trình đường thẳng , biết diện tích tam giác bằng và đỉnh có hoành độ dương.
A. . B.
C. . D.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng
suy ra tọa độ điểm là nghiệm của
hệ phương trình
Điểm thuộc đường tròn đường kính
nên tọa độ điểm thỏa mãn với suy ra điểm
Ta có
thuộc đường thẳng suy ra tọa độ thỏa mãn
hoặc
Do là phân giác trong góc , nên và cùng hướng, suy ra
Do đó, đường thẳng có phương trình :
Cách 2:
Gọi đường thẳng đi qua điểm có véctơ pháp tuyến

onthicaptoc.com Chương 3 chuyên đề 3 khoảng cách và góc