3
Chương

CHUYÊN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Định nghĩa : Cho đường thẳng . Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của vuông góc với .
Nhận xét :
- Nếu là VTPT của thì cũng là VTPT của .
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua và có VTPT .
Khi đó
(1)
(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .
Chú ý :
- Nếu đường thẳng  : thì là VTPT của .
c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
* song song hoặc trùng với trục
* song song hoặc trùng với trục
* đi qua gốc tọa độ
* đi qua hai điểm với
* Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là với , là góc hợp bởi tia của ở phía trên trục và tia
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
* cắt khi và chỉ khi
* khi và chỉ khi và , hoặc và
* khi và chỉ khi
Chú ý: Với trường hợp khi đó
+ Nếu thì hai đường thẳng cắt nhau.
+ Nếu thì hai đường thẳng song song nhau.
+ Nếu thì hai đường thẳng trùng nhau.
§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :
a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :
Cho đường thẳng . Vectơ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với .
Nhận xét :
- Nếu là VTCP của thì cũng là VTCP của .
- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP thì là một VTPT của .
b. Phương trình tham số của đường thẳng :
Cho đường thẳng đi qua và là VTCP.
Khi đó .. (1)
Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số
Nhận xét‎‎‎‎ : Nếu có phương trình tham số là (1) khi đó
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.
Cho đường thẳng đi qua và (với ) là vectơ chỉ phương thì phương trình được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .
Câu 1: Cho phương trình: với . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là .
B. là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục .
C. là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục .
D. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
Lời giải
Chọn D.
Ta có điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng được xác định khi biết.
A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương.
B. Hệ số góc và một điểm thuộc đường thẳng.
C. Một điểm thuộc và biết song song với một đường thẳng cho trước.
D. Hai điểm phân biệt thuộc .
Lời giải
Chọn A.
Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết đường thẳng.
Câu 3: Cho tam giác . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. là một vecto pháp tuyến của đường cao AH.
B. là một vecto chỉ phương của đường thẳng BC.
C. Các đường thẳng AB, BC, CA đều có hệ số góc.
D. Đường trung trực của có là vecto pháp tuyến.
Lời giải
Chọn C.
Câu 4: Đường thẳng có vecto pháp tuyến . Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. là vecto chỉ phương của .
B. là vecto chỉ phương của .
C. là vecto pháp tuyến của .
D. có hệ số góc .
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đường thẳng có vecto pháp tuyến là
Suy ra hệ số góc .
Câu 5: Đường thẳng đi qua , nhận làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Gọi là đường thẳng đi qua và nhận làm VTPT

Câu 6: Cho đường thẳng (d): . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 7: Cho đường thẳng . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. là vecto chỉ phương của .
B. có hệ số góc .
C. không đi qua góc tọa độ.
D. đi qua hai điểmvà .
Lời giải
Chọn D.
Giả sử .
Câu 8: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 9: Cho đường thẳng. Phương trình nào sau đây không phải là một dạng khác của (d).
A. . B. C. D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có đường thẳng có VTPT
Suy ra D đúng.
Suy ra A đúng.
Suy ra B đúng.
Câu 10: Cho đường thẳng . Nếu đường thẳng đi qua và song song với thì có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Ta lại có
Vậy
Câu 11: Cho ba điểm . Đường cao của tam giác ABC có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Gọi là đường cao của tam giác nhận
Suy ra .
Câu 12: Cho hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
có một nghiệm
Thay vào
Hệ phương trình có một nghiệm có một nghiệm .
Câu 13: Cho hai điểm . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đoạn chắn loại B
loại A
loại C
chọn D
Câu 14: Đường thẳng : cắt đường thẳng nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta nhận thấy song song với các đường
Câu 15: Mệnh đề nào sau đây đúng? Đường thẳng :
A. Đi qua .
B. Có phương trình tham số:.
C. có hệ số góc .
D. cắt có phương trình: .
Lời giải
Chọn C.
Giả sử loại .
Ta có loại B.
Ta có hệ số góc Chọn C.
Câu 16: Cho đường thẳng . Nếu đường thẳng đi qua góc tọa độ và vuông góc với thì có phương trình:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Ta lại có
Vậy
Câu 17: Cho tam giác có và đường thẳng . Quan hệ giữa và tam giác là:
A. Đường cao vẽ từ A.
B. Đường cao vẽ từ B.
C. Đường trung tuyến vẽ từ A.
D. Đường Phân giác góc
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Thay vào loại B
Ta có: xét loại A
Gọi là trung điểm của thay vào loại C
Câu 18: Giao điểm của và là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Ta có là nghiệm của hệ phương trình
Câu 19: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có chọn D
Câu 20: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng
Ta có

Câu 21: Hai đường thẳng và . Cắt nhau tại điểm có tọa độ:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Gọi là nghiệm của hệ phương trình
Câu 22: Cho đường thẳng và điểm Điểm ứng với giá trị nào của t?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm và vuông góc với đường thẳnglà
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có và qua
Suy ra
Câu 24: Cho có . Viết phương trình tổng quát của đường cao .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có: . Vì nên

Câu 25: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình .
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có đường thẳng vuông góc đường thẳng với đường thẳng đã cho
Suy ra
Mà
Vậy
Câu 26: Cho đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có loại A
Ta có loại B
Có suy ra loại C
Câu 27: Cho tam giác ABC có Đường trung trực trung tuyến AM có phương trình tham số
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi trung điểm
Câu 28: Cho . Điểm nào sau đây không thuộc
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Thay
Câu 29: Cho . Hỏi có bao nhiêu điểm cách một đoạn bằng 5.
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn D.
Luôn có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán.
Thật vậy , . Theo YCBT ta có , phương trình có hai nghiệm phân biệt nên có hai điểm thỏa YCBT.
Câu 30: Cho hai điểm viết phương trình trung trực đoạn AB.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi trung điểm
Ta có
Gọi là đường thẳng trung trực của .
Phương trình nhận và qua
Suy ra
Câu 31: Cho hai đường thẳng song song nhau khi và chỉ khi
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
song song nhau
Câu 32: Cho hai đường thẳng và . Khi đó hai đường thẳng này 
A. Vuông góc nhau B. cắt nhau nhưng không vuông góc
C. trùng nhau D. song song với nhau
Lời giải
Chọn A
Ta có: có VTPT là ; có VTPT là .
Xét
Câu 33: Với giá trị nào của thì hai đường thẳng sau đây vuông góc và
A. B. C. D. không có
Lời giải
Chọn A
có ; có

Câu 34: Cho 4 điểm . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và .
A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Ta có
Suy ra
Câu 35: Với giá trị nào của thì hai đường thẳng và trùng nhau.
A. B. mọi C. không có D.
Lời giải
Chọn C

Câu 36: Cho 4 điểm . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng và .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Ta có
Gọi
Suy ra là nghiệm của hệ
Câu 37: Cho tam giác có . Đường trung tuyến có phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm .
qua và nhận làm VTPT
Câu 38: Cho tam giác với . Phương trình tổng quát của đường cao đi qua của tam giác là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Gọi là đường cao của tam giác. .
đi qua và nhận làm VTPT

Câu 39: Cho tam giác với . lần lượt là trung điểm của và . Phương trình tham số của đường trung bình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có: . đi qua và nhận làm

Câu 40: Phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
Ta có là trung điểm
Suy ra .
Câu 41: Cho ba điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua và cách đều hai điểm .
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là đường thẳng đi qua và cách đều . Khi đó ta có các trường hợp sau
TH1: đi qua trung điểm của . là trung điểm của . là VTCP của đường thẳng . Khi đó .
TH2: song song với , khi đó nhận làm VTCP, phương trình đường thẳng .
Câu 42: Cho hai điểm và và đường thẳng . Tọa độ điểm thuộc sao cho nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Thay vào
Thay vào .
Suy ra nằm về hai phía của đường thẳng .
Ta có nhỏ nhất thẳng hàng
cùng phương suy ra
Câu 43: Cho có . Đường cao và đường cao . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là đường cao kẻ từ đỉnh . Gọi là trực tâm của , khi đó tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình .
qua và nhận làm VTPT

Câu 44: Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Phương trình đoạn chắn
Do vuông cân tại
TH1: mà
Vậy
TH2: mà
Vậy
Câu 45: Cho hai điểm và và đường thẳng . Tọa độ điểm N thuộc sao cho lớn nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Suy ra phương trình
Ta có
Dấu xãy ra khi và chỉ khi thẳng hàng
Ta có
là nghiệm của hệ phương trình
Câu 46: Cho hai điểm , và đường thẳng . Tọa độ điểm thuộc để tam giác cân tại .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Ta có cân tại
Suy ra
Câu 47: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là: . Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có là nghiệm của hệ phương trình
Ta có mà
Suy ra .
Câu 48: Cho tam giác có , đường cao , đường phân giác trong . Tọa độ điểm là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Mà
Vậy
Có là nghiệm của hệ phương trình
Câu 49: Cho tam giác biết trực tâm và phương trình cạnh, phương trình cạnh . Phương trình cạnh là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Ta có
Mà suy ra
Có
Phương trình nhận là VTPT và qua
Suy ra
Câu 50: Cho tam giác có , đường cao , đường phân giác trong . Tọa độ điểm là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Mà
Suy ra
Có là nghiệm hệ phương trình .

onthicaptoc.com Chương 3 chuyên đề 1 phương trình đường thẳng