2
Chương

CHUYÊN ĐỀ 2
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
a) Góc giữa hai vectơ.
Cho hai vectơ và đều khác . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ và . Số đo góc được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và .
+ Quy ước : Nếu hoặc thì ta xem góc giữa hai vectơ và là tùy ý (từ đến ).
+ Kí hiệu:
b) Tích vô hướng của hai vectơ.
Tích vô hướng của hai véc tơ và là một số thực được xác định bởi: .
2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì và mọi số thực k ta luôn có:

Chú ý: Ta có kết quả sau:
+ Nếu hai véc tơ và khác thì
+ gọi là bình phương vô hướng của véc tơ .
+
3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.
a) Công thức hình chiếu.
Cho hai vectơ . Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có
b) phương tích của một điểm với đường tròn.
Cho đường tròn và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn . Kí hiệu là .
Chú ý: Ta có với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M
3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ và . Khi đó
1)
2)
3)
Hệ quả:
+
+ Nếu và thì
Câu 1. Trong mp cho , , . Khảng định nào sau đây sai
A., . B..
C.. D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: , nên loại A.
Phương án B: nên loại B.
Phương án C : nên loại C.
Phương án D: Ta có suy ra nên chọn D.
Câu 2. Cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.
Bài toán cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ suy ra
Do đó nên chọn A
Câu 3. Cho các vectơ . Khi đó góc giữa chúng là
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có , suy ra .
Câu 4. Cho , . Tính góc của
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 5. Trong mặt phẳng cho . Tích vô hướng của 2 vectơ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Ta có , suy ra .
Câu 6. Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: suy ra A sai.
Phương án B: suy ra B sai.
Phương án C: suy ra C đúng.
Phương án D: suy ra D sai.
Câu 7. Cho 2 vec tơ , tìm biểu thức sai:
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng nên loại A
Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ nên loại B
Phương án C: nên chọn C.
Câu 8. Cho tam giác đều cạnh . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A:nên loại A.
Phương án B:nên loại B.
Phương án C:, nên chọn C.
Câu 9. Cho tam giác cân tại , và . Tính
A.. B.. C.. D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 10. Cho là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: Donên loại A.
Phương án B:nên loại B.
Phương án C: Dovà không cùng phương nên loại C.
Phương án D:, nên chọn D.
Câu 11. Cho tam giác có , , .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Ta có , suy ra .
Câu 12. Cho hình vuông tâm . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A:suy ra nên loại A.
Phương án B:và suy ra nên loại B.
Phương án C: .
nên chọn C.
Câu 13. Trong mặt phẳng cho , , . Khảng định nào sau đây đúng.
A., . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Phương án A: do nên loại A
Phương án B:
Ta có suy ra , ; .nên chọn B.
Câu 14. Cho hình vuông cạnh . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn B
Phương án A:Donên loạiA.
Phương án B:Donên chọn B.
Câu 15. Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là trung điểm của . Câu nào sau đây sai?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A:nên loại A.
Phương án B: suy ra nên loại B.
Phương án C: suy ra nên loại C.
Phương án D: không vuông góc với suy ra nên chọn D .
Câu 16. Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là trung điểm của . Khi đó bằng :
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Ta có nên chọn B.
Câu 17. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao vẽ Câu nào sau đây đúng?
A.. B..
C.. D.Cả ba câu trên.
Lời giải
Chọn D
Phương án A:nên đẳng thức ở phương án A là đúng.
Phương án B:nên đẳng thức ở phương án B là đúng.
Phương án C:nên đẳng thức ở phương án C là đúng.
Vậy chọn D.
Câu 18. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao vẽ Câu nào sau đây đúng?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A:do nên loại A
Phương án B:do nên loại B
Phương án C:do nên chọn C
Câu 19. Cho hình vuông cạnh Mệnh đề nào sau đây sai?
A. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án.
Phương án A: nên loại A.
Phương án B: nên loại B.
Phương án C:nên chọn C.
Câu 20. Tam giác vuông ở và có góc . Hệ thức nào sau đây là sai?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: nên loại A.
Phương án B: nên loại B.
Phương án C: nên loại C.
Phương án D:nên chọn D.
Câu 21. Trong mặt phẳng cho 2 vectơ : và Kết luận nào sau đây sai?
A. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A: nên loại A
Phương án B: suy ra vuông góc nên loại B
Phương án C: nên chọn C.
Câu 22. Trong mặt phẳng cho . Tính  ?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Ta có , suy ra .
Câu 23. Cho các vectơ . Tính tích vô hướng của
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Ta có , suy ra .
Câu 24. Cho hình vuông ABCD, tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc sau đó mới tính
Vì .
Câu 25. Cho hai điểm Tìm điểm thuộc trục và có hoành độ dương để tam giác vuông tại
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Ta có , gọi . Khi đó , .
Theo YCBT .
Câu 26. Cho. Tìm tọa độ điểm sao cho
A.. B.. C.. D.
Lời giải
Chọn B
Gọi với .
Khi đó , , .
Theo YCBT nên .
Câu 27. Cho tam giác vuông cân tại có .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 28. Cho hình vuông có cạnh . Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 29. Trong mặt phẳng , cho và . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là . B.Độ lớn của vectơ là .
C.Độ lớn của vectơ là . D.Góc giữa hai vectơ là .
Lời giải
Chọn D
Ta có nên B đúng.
nên C đúng.
nên A đúng, D sai.
Câu 30. Cho là trung điểm , tìm biểu thức sai:
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: ngược hướng suy ra nên loại A.
Phương án B:ngược hướng suy ra nên loại B.
Phương án C: cùng hướng suy ra nên loại C.
Phương án D: ngược hướng suy ra nên chọn D.
Câu 31. Cho tam giác đều cạnh bằng và là trung điểm . Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 32. Biết, và . Câu nào sau đây đúng
A.và cùng hướng.
B.và nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc .
C.và ngược hướng.
D. A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có nên và ngược hướng
Câu 33. Tính biết , (, )
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
nên
Câu 34. Cho tứ giác lồi có . Đặt .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
suy ra .
Câu 35. Cho 2 vectơ và có , và .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 36. Cho tam giác có cạnh và đường cao , ở trên cạnh sao cho .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 37. Cho tam giác có , , .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Câu 38. Trong mặt phẳng cho , , . Khảng định nào sau đây đúng.
A., . B..
C. Tam giác vuông cân tại . D. Tam giác vuông cân tại .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: do nên loại A.
Phương án B:,,suy ra không vuông góc nên loại B.
Phương án C : Ta có , , , suy ra , .Nên Tam giác vuông cân tại .Do đó chọn C.
Câu 39. Cho , . Tính .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 40. Cho tam giác vuông tại có ,. Tính
A.. B.. C.. D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 41. Cho tam giác vuông tại có . là trung điểm . Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D
Câu 42. Cho tam giác có đường cao ( ở trên cạnh ).Câu nào sau đây đúng
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Ta có nên chọn C.
Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị và thỏa. Hãy xác định
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
, , .
Câu 44. Cho tam giác . Lấy điểm trên sao cho.Câu nào sau đây đúng
A. là trung điểm của . B. là đường phân giác của góc .
C.. D. A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có nên .
Câu 45. Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao .Tính  
A.. B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A
Vìnên chọn A.
Câu 46. Cho tam giác vuông tại có , . Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
ChọnB
Ta có nên chọn B.
Câu 47. Cho hai vectơ và . Biết =2 , = và .Tính
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 48. Cho hai điểm phân biệt. Tập hợp những điểm thỏa mãn là :
A.Đường tròn đường kính. B. Đường tròn.
C. Đường tròn . D. Một đường khác.
Lời giải
Chọn A
.
Tập hợp điểm là đường tròn đường kính .
Câu 49. Cho ba điểm phân biệt. Tập hợp những điểm mà là :
A. Đường tròn đường kính.
B.Đường thẳng đi qua và vuông góc với.
C. Đường thẳng đi qua và vuông góc với.
D. Đường thẳng đi qua và vuông góc với.
Lời giải
Chọn B
.
Tập hợp điểm là đường thẳng đi qua và vuông góc với .
Câu 50. Cho hai điểm , . Tìm trên tia sao cho
A.. B. . C. hay . D..
Lời giải
Chọn C
Gọi , với . Khi đó . Theo YCBT ta có ,nên chọn C.

onthicaptoc.com Chương 2 chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto