onthicaptoc.com Chung minh nguyen to cung nhau
Chuyªn ®Ò
Chøng minh nguyªn tè cïng nhau
Phương pháp:
Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Đặt ƯCLN của chúng là d => mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh d = 1.
Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
Giải: Gọi hai số lẻ liªn tiếp là 2n + 1 và 2n + 3 (n N). Ta đặt (2n + 1, 2n + 3) = d.
Suy ra 2n + 1 d; 2n + 3 d. Vậy (2n + 3) – ( 2n + 1) d hay 2 d, suy ra d { 1 ; 2 }. Nhưng d 2 vì d là ước của các số lẻ. Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Phương pháp 2: Ta dïng phương pháp phản chứng
Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tìm cách suy ra mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với một chân lý có trước.
Ví dụ: Cho (a, b) = 1. Chứng minh rằng ab và a + b nguyên tố cùng nhau.
Giải: Giả sử a + b và ab không nguyên tố cùng nhau . Do đó a + b và ab ắt phải có ít nhất một ước số chung nguyên tố d:
a + b d (1)
ab d (2)
Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có:
a d b d
Nếu a d . Từ (1) b d
Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết.
Nếu b d . Từ (1) a d
Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết.
Chung minh nguyên tô cung nhau