onthicaptoc.com
CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình
• Với , phương trình (1) vô nghiệm.
• Với , gọi là số thực thuộc đoạn sao cho .
Khi đó, ta có: .
Chú ý
• Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình :



• Nếu là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác sao cho nhu sau:

b) Phương trình
• Với , phương trình (2) vô nghiệm.
• Với , gọi là số thực thuộc đoạn sao cho .
Khi đó, ta có: .
Chú ý
• Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình :



• Nếu là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thỉ ta có thể tìm góc lượng giác sao cho như sau:

c) Phương trình
Gọi là số thực thuộc khoảng sao cho . Khi đó, ta có:

Chú ý: Nếu là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác sao cho nhu sau:

d) Phương trinh
Gọi là số thực thuộc đoạn sao cho . Khi đó, ta có:

Chú ý: Nếu là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác sao cho như sau:
.
2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản


với phương trình có dạng:

ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng .
- Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để đưa về phương trình dạng tích .
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1.Phương trình mũ
Với thì:
với ;
.
2.Phương trình lôgarit
Với thì:
.
3.Bất phương trình mũ
Với thì:
a) Xét bất phương trình: .
Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của ;
Nếu thì bất phương trình đưa về: ;
Nếu thì bất phương trình đưa về: .
b) Xét bất phương trình: .
Nếu thì bất phương trình đưa về: ;
Nếu thì bất phương trình đưa về: .
Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.
4. Bất phương trình lôgarit
Với thì:
a) Xét bất phương trình: .
Nếu thì bất phương trình đưa về: ;
Nếu thì bất phương trình đưa về: .
b) Xét bất phương trình: .
Nếu thì bất phương trình đưa về: ;
Nếu thì bất phương trình đưa về: .
Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Ví dụ 1: [MĐ 2] Nghiệm của phương trình là:
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Do nên
Chọn A
Ví dụ 2: [MĐ 2] Tổng các nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình có hệ số trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm bằng . Chọn D
Ví dụ 3: [MĐ 1] Nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Suy ra . Chọn B
Ví dụ 4: [MĐ2] Số nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai
Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ví dụ 5: Cho phương trình .
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình : .
b) Ta có : .
c) Phương trình đã cho đưa về dạng : .
d) Nghiệm của phương trình đã cho là : và
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
S
Đ
Đ
S
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình: . Suy ra sai
b) ( Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém ). Suy ra đúng
c) .

Suy ra đúng
d) . Suy ra sai.
Ví dụ 6: Cho bất phương trình .
a) Ta có : .
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : .
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5.
d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 9.
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
S
Đ
a)
Suy ra đúng
b)
. Suy ra sai
c)
Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên là 2 ; 3 ; 4. Suy ra sai
d) Tổng các nghiệm nguyên là . Suy ra đúng
Ví dụ 7: Cho bất phương trình .
a) Ta có : .
b) Bất phương trình đã cho tương đương với: .
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0.
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
Đ
S
a) Ta có : . Suy ra đúng
b) . Suy ra sai
c) .
Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên là 2 và 3. Suy ra đúng.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất là 2. Suy ra sai
Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 8: Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu của mực nước theo thời gian (giờ) trong một ngày cho bởi công thức
với
Tìm thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất.
Lời giải
Do nên hay .
Vậy mực nước tại cảng cao nhất bằng 23m khi
.
Mà nên . Thời điểm mà mực nước tại cảng cao nhất là (giờ).
Ví dụ 9: Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau: trong đó là số giờ trôi qua, là nhiệt độ lúc đầu, là nhiệt độ sau giờ, là nhiệt độ môi trường ( theo cùng một đơn vị đo), là một hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ , sau 2 phút nhiệt độ giảm còn . Biết nhiệt độ phòng là . Tính nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Thay phút giờ, ta có . Do đó .
Sau 10 phút giờ, ta có hay . Do đó .
Suy ra .
Vậy nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút khoảng .
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có , hay .
Câu 2. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Câu 3. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn A
Ta có
Câu 4. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
.
Câu 5. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Câu 6. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Cách 1:
Cách 2:
Câu 7. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Câu 8. [MĐ2] Các góc lượng giác sao cho là:
A. và .
B. và .
C. và .
D. và .
Lời giải
Câu 9. [MĐ2] Các góc lượng giác sao cho là:
A. B.
C. D. .
Lời giải
Câu 10: [MĐ2] Các góc lượng giác sao cho là:
A. và .
B. và .
C. và .
D. và .
Lời giải
Câu 11: [MĐ2] Số nghiệm của phương trình trên khoảng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Giả thiết
Mà nên chọn . Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa bài toán.
Câu 12: [MĐ3] Số nghiệm của phương trình trên khoảng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1: Tồn tại một giá trị sao cho .
Phương trình với
Vì nên
với .
Suy ra: ; . Vậy có 5 nghiệm thỏa bài toán.
Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác:
Trên hai vòng đường tròn phương trình có 4 nghiệm.
Trên vòng đường tròn phương trình có 1 nghiệm
Trên vòng đường tròn phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 5 nghiệm trên
Câu 13: [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
.
Câu 14: [MĐ2] Các nghiệm của phương trình là:
A. và .
B. và .
C. và .
D. và .
Lời giải
.
Câu 15: [MĐ1] Nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 16: [MĐ2] Nghiệm của phương trình là:
A. và . B. và .
C. và . D. và
Lời giải
.
Câu 17: [MĐ2] Tổng các nghiệm của phương trình là :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
có phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .
Câu 18: [MĐ2] Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 19: [MĐ2] Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện: .
.
Kết hợp điều kiện: nghiệm của phương trình là .
Câu 20: [MĐ2] Tích các nghiệm của phương trình là :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện: .
(thỏa điều kiện)
luôn có hai nghiệm trái dấu. Tích các nghiệm là .
Câu 21: [MĐ2] Số nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện .
.
Kết hợp với điều kiện: là nghiệm.
Câu 22: [MĐ2] Nghiệm của bất phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 23: [MĐ2] Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 24: [MĐ3] Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Câu 25: [MĐ3] Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Điều kiện: .
.
Kết hợp điều kiện: tập nghiệm của bất phương trình là .
Câu 26: [MĐ3] Số nghiệm nguyên của bất phương trình là:
A. . B. . C. . D. vô số.
Lời giải
Điều kiện: .
.
Kết hợp điều kiện: tập nghiệm của bất phương trình là .
Số nghiệm nguyên của bất phương trình là .
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 27: [MĐ3] Cho phương trình .
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình: .
b) Ta có: .
c) Phương trình đã cho đưa về dạng: .
d) Nghiệm của phương trình đã cho là: .
Lời giải
Ta có:
Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S
Câu 28: [MĐ3] Cho phương trình với .
a) Ta có: .
b) Phương trình có các nghiệm là: và
.
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn .
d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn là .
Lời giải
Do nên phương trình đưa về dạng .
Do nên và . Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn là .
Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
Câu 29: [MĐ3] Cho phương trình: .
a) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế trái của phương trình đưa về dạng: .
b) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế phải của phương trình đưa về dạng: .
c) Nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình và phương trình .
d) Nghiệm của phương trình đã cho là: và .
Lời giải
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, phương trình đưa về dạng:
hoặc .
Với .
Với .
+ Nếu thì phương trình đưa về dạng: (vô lí).
+ Với , phương trình đưa về dạng:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: và .
Đáp án: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
Câu 30: [MĐ3] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy chiều. Chiều cao của mực nước theo thời gian (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức với
a) Lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước biển là cao nhất
b) Chiều cao của mực nước biển thấp nhất vào lúc 12 giờ
c) Mực nước tại bến cảng cao 18 m vào lúc 2 giờ 10 phút
d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn 18 m. Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ 10 giờ sáng hôm trước đến 2 giờ sáng hôm sau.
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
S
Đ
S
+ Do nên
Hay Vậy chiều cao của mực nước tại bến cảng cao nhất bằng
Khi
Mà nên . Vậy lúc giờ sáng thì chiều cao của mực nước biển là cao nhất
+ Chiều cao của mực nước biển tại bến cảng thấp nhất bằng khi
Mà nên . Vậy lúc giờ thì chiều cao của mực nước biển là thấp nhất.
Xét phương trình:
Mà nên .
+ Trong khoảng thời gian từ giờ đến giờ, mực nước tại bến cảng lớn hơn hoặc bằng Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ giờ đến giờ.
Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
Câu 31: [MĐ3] Cho bất phương trình
a) Ta có:
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
Đ
S
S
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm nguyên. Tích nghiệm lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
Câu 32: [MĐ3] Cho bất phương trình
a) Ta có:
b) Bất phương trình đã cho là nghiệm của bất phương trình
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
Đ
Đ
S
Đ
Ta có:
Vậy bất phương trình có nghiệm là: hoặc
Bất phương trình có nghiệm nguyên là và tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là
Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
Câu 33. [MĐ3] Mức cường độ âm ( đơn vị dB) được tính bởi công thức , trong đó ( đơn vị: ) là cường độ của âm (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage). Một người đứng giữa hai loa A và B. Khi loa A bật thì người đó nghe được âm có mức cường độ 80 dB. Khi loa B bật thì nghe được âm có mức cường độ 90 dB. Nếu bật cả hai loa thì cường độ âm tác động vào tai người bằng tổng cường độ âm của hai loa đó.
a) Cường độ âm của loa A là .
b) Cường độ âm của loa B là .
c) Cường độ âm tác động vào tai người khi bật cả hai loa là .
d) Nếu bật cả hai loa thì người đó nghe được âm có mức cường độ là 90,4 dB.
Lời giải
Ý
a)
b)
c)
d)
Kết quả
S
S
S
Đ
Đặt . lần lượt là cường
độ âm của loa và loa . Ta có:
.
Do đó, .
Vậy:.
Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 34. [MĐ4] Mức cường Hội Lim ( tỉnh Bắc Ninh) vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 1). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) ( với ) bởi hệ thức với , trong đó ta quy ước khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và trong trường hợp ngược lại (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage). Tìm thời điểm đầu tiên mà khoảng cách là lớn nhất. (Viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Lời giải
Trả lời:

onthicaptoc.com Chuyen de phuong trinh va BPT on thi TN THPT