onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Tính
b) Cho biểu thức với và . Rút gọn biểu thức B và so sánh giá trị của B với 1.
Bài 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số có đồ thị (P).
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Đường thẳng với (b > 0) lần lượt cắt tia Ox, Oy tại E và F. Chứng minh rằng tam giác OEF vuông cân và tìm b để tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là một điểm thuộc (P), với O là gốc tọa độ.
Bài 3. (1,5 điểm)
a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này lớn hơn số kia 1 đơn vị. Tìm hai số đó.
b) Hai đội công nhân cùng dọn vệ sinh khu vực khán đài Lễ hội Pháo hoa quốc tế Đà Nẵng trong 1 giờ 12 phút thì xong. Nếu đội A làm 40 phút và đội B làm 2 giờ thì xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho phương trình , với m là tham số.
a) Giải phương trình (*) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Bài 5. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có hai đường kính AC, BD (A khác B, D). Trên đoạn thẳng BC lấy điểm E (E khác B, C), đường thẳng ED cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.
a) Chứng minh rằng AB = CD và .
b) Đường thẳng qua E, vuông góc với BC cắt tia AF tại G. Chứng minh rằng tứ giác CEFG nội tiếp và CD. EG = CB. CE .
c) Gọi H là giao điểm của tia GE và AD. Đường thẳng qua H, song song với AC cắt đường thẳng qua E , song song với FC tại K. Chứng minh rằng ba điểm G, C, K thẳng hang.
----HẾT----
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2,0 điểm)
a)
b)
Để so sánh B với 1 ta biến đổi như sau .
Vậy với mọi giá trị .
Bài 2: (1,5 điểm)
a) (Học sinh tự vẽ)
b)
Gọi d là đường thẳng , với . Khi d cắt trục Ox, cho ta được . Vậy đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm .
Khi d cắt trục Oy, cho ta được , vậy đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm . Như vậy ta có độ dài vuông cân tại O.
Gọi M là trung điểm của EF, do vuông cân tại O nên ta có và M chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF.
Gọi d’ là đường thẳng đi qua O và vuông góc với d tại M, gọi a, a’ lần lượt là hệ số góc của đường thẳng d và d’ thì , do . Vậy đường thẳng d’ đi qua O có dạng , do d’ đi qua điểm nên ta có . Vậy hàm số của đường thẳng d’ là . Để tìm tọa độ của M ta tìm giao điểm của d và d’. Xét phương trình hoành độ giao điểm . Thế vào hàm d’ được . Vậy tọa độ điểm . Để điểm M thuộc (P) thì tọa độ M phải thỏa mãn hàm số , thế vào ta được .
Vậy thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF thuộc (P)
Bài 3. (1,5 điểm)
a) Gọi hai số cần tìm lần lượt là a và b
Theo đề bài, ta có
Vậy hai số cần tìm là 8 và 15
b) Đổi đơn vị : 1 giờ 12 phút = (giờ); 40 phút = (giờ)
Gọi x, y lần lượt là thời gian mà đội A và đội B làm riêng hoàn thành công việc. Khi đó năng suất làm việc của đội A, đội B lần lượt là
Điều kiện
Hai đội làm trong giờ thì hoàn thành công việc, ta có phương trình
Đội A làm trong giờ và đội B làm trong 2 giờ thì xong công việc, ta có phương trình
Xét hệ phương trình
Giải hệ phương trình, ta được x = 2 (TMĐK) và y = 3 (TMĐK)
Vậy khi làm riêng, đội A cần 2 giờ để hoàn thành công việc và đội B cần 3 giờ để hoàn thành công việc.
Bài 4. (1,5 điểm)
a) Với m = 1, ta có phương trình
Giải phương trình, thu được nghiệm kép
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
b) Với phương trình
Xét
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện bài toán thì điều kiện cần là
Mặt khác, theo định lý Vi-ét ta có
Suy ra, với m > 1 thì phương trình (*) luôn có 2 nghiệm dương phân biệt
Ta có:
Vì m > 1 và x1 , x2 là 2 nghiệm dương, nên ta có
Xét hệ phương trình , thay x1 và x2 vào phương trình vào tích
, ta được
Vậy m = 5 thì phương trình (*) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 5. (3,5 điểm)
a) Do AC, BD là đường kính của (O) nên ta có
OA = OB = OB = OD, với R là bán kính đường tròn (O).
Tư giác ABCD có đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên ABCD là hình bình hành
=> AB = CD
=>
Lại có sđ (t/c góc nội tiếp)
sđ(t/c góc nội tiếp)
b) Điểm F thuộc (O) nên , suy ra
Theo cách dựng, ta cũng có
Tứ giác CEFG có , cùng nhìn cạnh CG
=> Tứ giác CEFG nội tiếp
=> (cùng nhìn cạnh EC)
Xét tam giác CBD và tam giác EGC, có
Vì (cùng chắn cung CD), mà (cmt)
Nên
=> tam giác CBD đồng dạng tam giác EGC
=> (đpcm)
c) Xét tứ giác nội tiếp CEFG, ta có (cùng bù )
Lại có:
Gọi I là giao điểm cùa ED và HC
Ta có, ABCD là hình bình hành (cmt) => AD // BC, mà GH BC (gt) => GH AD
Lại có điểm C thuộc đường tròn (O), nên
=> Tứ giác ECDH là hình chữ nhật, nội tiếp đường tròn tâm I. (2)
Theo cách dựng, ta có HK // AC và EK // FC, suy ra (đồng vị)
Mà (cùng chắn cung AF)
=>
Tứ giác EKDH, có (cmt) cùng nhìn cạnh EH nên EKDH là tứ giác nội tiếp. (3)
Từ (2), (3): Các điểm E, K, C, D, H cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính HC
=>
, mà HK // AC
Từ (1) và (4), suy ra 3 điểm G, C, K thẳng hàng.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De toan TS 10 DA NANG 23 24