onthicaptoc.com
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa
Cho là số thực dương và . Hàm số được gọi là hàm số mũ cơ số
2. Đạo hàm của hàm số mũ
; ; .
3. Khảo sát hàm số mũ
Tập xác định. Tập xác định của hàm số mũ là .
Chiều biến thiên. : Hàm số luôn đồng biến.
: Hàm số luôn nghịch biến.
Tiệm cận. Trục hoành là đường tiệm cận ngang.
Đồ thị. Đồ thị đi qua điểm , và nằm phía trên trục hoành.
Nhận xét. Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng.
II. HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa
Cho là số thực dương và . Hàm số được gọi là hàm số logaritt cơ số .
2. Đạo hàm hàm số lôgarit

3. Khảo sát hàm số lôgarit
Tập xác định. Tập xác định của hàm số logarit là .
Chiều biến thiên. : Hàm số đồng biến.
: Hàm số nghịch biến.
Tiệm cận. Trục tung là đường tiệm cận đứng.
Đồ thị. Đồ thị đi qua điểm , và nằm phía bên phải trục tung.
III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình mũ
Phương trình mũ cơ bản .
● Khi : Phương trình có một nghiệm duy nhất : với .
● Khi : Phương trình vô nghiệm.
Chú ý : Để giải phương trình mũ ta có thể quy về cùng cơ số, cụ thể:
, với .
2. Phương trình lôgarit
Phương trình logarit cơ bản:
Dạng : với
Chú ý : Để giải phương trình loogarit ta có thể quy về cùng cơ số, cụ thể:
Đưa phương trình về dạng: , với
Lưu ý: Cần đặt điều kiện:
3. Bất phương trình mũ
Bất phương trình mũ cơ bản:
* Dạng: .
* Giải bất phương trình : , với
● Khi , bất phương vô nghiệm. ( vì ).
● Khi :
+ Nếu a > 1:
+ Nếu 0 < a < 1:
* Chú ý:
+ Trong trường hợp, khi giải các dạng bất phương trình mũ cơ bản ta chú ý đến để kết luận bất phương trình đó vô nghiệm hay có tập nghiệm là R
+ Để giải các bất phương trình mũ khác ta sử dụng các phương pháp giải giống như phương trình mũ.
4. Bất phương trình lôgarit
Bất phương trình logarit cơ bản:
* Dạng: với .
* Giải bất phương trình : , với
Điều kiện: x > 0
● Nếu a > 1:
● Nếu 0 < a < 1:
* Chú ý:
+ Để giải các bất phương trình lôgarit khác ta sử dụng các phương pháp giải giống như phương trình lôgarit.
B. Bài tập hàm số mũ, hàm số lôgarit
Câu 6- Đề TK 2025: Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 9 Đề TK 2025: Nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2: Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3: Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số
A. . B. . C. . D. .
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số xác định trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 7: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8: Tìm để hàm số có đồ thị là hình bên dưới:
A. . B. . C. . D. .
Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số?
A.. B.. C.. D..
Câu 10: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực .
A. B. C. D.
Câu 11:Tính đạo hàm của hàm số
A. B. C. D.
Câu 12:Tính đạo hàm của hàm số
A. B. C. D.
Câu 13: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian ( tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số , trong đó là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU ( 1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Challes et al., Algebra 2, Pearson )
Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.
A. 1,87 B. 1,78 C. 1,86 D. 2,86
Câu 14: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và Câu tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
A. 44,3 B. 44,5 C. 44,2 D. 44,4
Câu 15: Một người gửi triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
A. đồng B. đồng C. đồng D. đồng
Câu 16: Ông An gửi triệu vào tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép trong một thời gian khá lâu mà không rút ra với lãi suất ổn định trong mấy chục năm qua là năm. Tết năm nay do ông kẹt tiền nên rút hết ra để gia đình đón Tết. Sau khi rút cả vốn lẫn lãi, ông trích ra gần triệu để sắm sửa đồ Tết trong nhà thì ông còn triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao nhiêu lâu?
A. năm B. năm C. năm D. năm
Câu 17: Dân số thế giới được tính theo công thức . e trong đó là dân số của năm lấy làm mốc tính, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?
A. 2014. B. 2015. C. 2016. D. 2017.
Phần II. Câu hỏi đúng sai
Câu 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tập xác định của hàm số là .
b) Tập xác định của hàm số là .
c) Tập xác định của hàm số là .
d) Tập xác định của hàm số là .
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Câu 2: Cho hàm số . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a. Hàm số có tập xác định
b. Hàm số nghịch biến trên khoảng
c. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm
d. Đồ thị hàm số đi qua điểm
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
Câu 3: Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ sử dụng để đo lượng cần trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg/ml, nghĩa là có 0.02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 14 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02%. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoa bằng một phương trình có dạng , trong đó là nồng độ cồn trong máu và là một hằng số. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng 0,02% là 1,4. Giá trị của hằng số trong phương trình là:
b) Nguy cơ tương đối là nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17%?
c) vớiKhi nguy cơ tương đối là 100 thì BAC tương ứng là
d) Giả sử nếu một người lái xe có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng 0,096% trở lên sẽ không được lái xe.
(Kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng

Câu 4: Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là trong 5 năm. Số tiền (cả vốn lẫn lãi) được tính theo lãi kép. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được là
b) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) được tính theo lãi kép hàng quý là triệu đồng;
c) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) được tính theo lãi kép hàng tháng là triệu đồng;
d) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) được tính theo lãi kép liên tục là triệu đồng;
(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Câu 5: Giả sử một lọ nuôi cấy có con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi giờ. Khi đó số vi khuẩn N sau t(giờ) sẽ là .
a) Số vi khuẩn sau giờ là con.
b) Sau giờ, số vi khuẩn sấp xỉ con.
c) Để có con vi khuẩn cần mất giờ.
d) Để số vi khuẩn gấp lần cần mất ít nhất giờ.
a) Đúng - Số vi khuẩn sau giờ là con.
b) Đúng- Sau giờ, số vi khuẩn là con.
c) Sai - Ta có: giờ.
d) Sai - Để số vi khuẩn gấp lần, tức là con
Ta có:
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc tập xác định của hàm số ?
Đáp án: 44
Câu 2: Cho các hàm số sau: Có mấy hàm số đồng biến trên khoảng xác định của hàm số đó?
Đáp án: 1
Câu 3: Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: , trong đó là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, (ngày) là thời gian học và là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là . Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày?
Đáp số: 20
Câu 4: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và Câu tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là ) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân hàng chục)?
Đáp số: 44,3
Câu 5: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?
Đáp số:30
Câu 6: Một người gửi tiền tiết kiệm vào một quỹ đầu tư theo hình thức sau: Vào đầu mỗi tháng người này gửi một số tiền cố định là X triệu đồng vào quỹ trên và được hưởng lãi suất 0,6%/ tháng theo thể thức lãi kép (tiền lãi tháng trước được nhập vào gốc để tính cho tháng sau). Tìm X để sau khi vừa hết 5 năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên người đó có được tổng số tiền là 600 triệu đồng. (Làm tròn X đến sau dấu phẩy hai chữ số, lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi).
Đáp số: 8,29
Câu 7: Sự tăng trường dân số được ước tính theo công thức trong đó là số dân của năm làm mốc, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Theo số liệu mới nhất của Liên Hợp Quốc dân số hiện tại của Việt Nam là 99,9 triệu người vào ngày 03/11/2023 với tỷ lệ tăng dân số so với năm 2021 là . Giả sử tỷ lệ tăng dân số là không đổi, dân số nước ta sau 5 năm tiếp theo là bao nhiêu? ( đơn vị triệu dân, làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp số: .
Câu 4: Dân số thế giới năm 2020 là khoảng tỉ người và tăng với tốc độ khoảng mối năm (theo danso.org). Giả sử tốc độ tăng này không đồi. Khi đó mô hình có thể dùng để ước tính dân số thế giới (theo đơn vị tỉ người) vào năm . Theo mô hình này, đến năm bao nhiêu dân số thế giới đạt tỉ người?
Trả lời:.
B. Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2: Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 4: Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Giải bất phương trình ta được tập nghiệm
A. . B. . C. . D. .
Câu 7: Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 8: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 9: Giải bất phương trình ta được tập nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Bất phương trình tương đương .
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Câu 11: Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Một công viên quốc gia có 5000 con hươu vào năm 2024. Các nhà bảo tồn lo ngại vì số lượng hươu đang giảm với tốc độ 7% mỗi năm. Nếu số lượng tiếp tục giảm với tốc độ này, thì đến năm gần nhất nào, số lượng hươu của công viên đó không còn đến 3000 con?
A. . B. . C. . D. .
Câu 13: Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. B. C. D.
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình là:
A. B. C. D. .
Câu 16: Số nghiệm nguyên dương của phương trình là
A. . B. . C. . D. 4.
Câu 17: Áp suất không khí (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu ) theo công thức , trong đó là độ cao (đo bằng mét), là áp suất không khí ở mức nước biển. Tính độ cao của áp suất không khí khi áp suát là .
A. . B. . C. . D. .
Câu 18: Mức cường độ âm được tính bằng công thức , trong đó là cường độ của âm tính bằng và . Biết rằng mức cường độ âm lớn nhất mà tai người có thể nghe được là . Điều kiện của cường độ âm để tai người không bị tổn thương là
A. . B. . C. . D. .
Phần II. Trắc nghiệm đúng sai
Câu 1: Cho phương trình .
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có nghiệm.
c) Đặt phương trình đã cho trở thành
d) Tích các nghiệm của phương trình bằng .
a)Sai
b)Đúng
c)Sai
d)Đúng
Câu 2: Cho bất phương trình . Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định sau:
a) Bất phương trình có tập xác định .
b) là một nghiệm của bất phương trình.
c) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
d) Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là thì .
a)Đúng
b)Sai
c)Đúng
d)Sai
Câu 3: Cho bất phương trình
a) Điều kiện xác định là .
b) Bất phương trình tương đương với .
c) Tập nghiệm của bất phương trình là đoạn với .
d) Bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.
Lời giải
a. Sai
b. Đúng
c. Đúng
d. Sai
Câu 4: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là triệu đồng mỗi tháng (chuyển vào tài
khoản ngân hàng của mẹ ở ngân hàng vào đầu mỗi tháng). Tháng 12 năm 2023 về trước, mẹ đã rút hết tiền hàng tháng. Từ tháng năm 2024, mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi /tháng vào ngày mồng 1 đầu tháng trên tổng số tiền gốc và lãi có của tháng liền trước đó. Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Đến ngày 29 tháng 2 năm 2024, mẹ đi rút tiền thì tổng số tiền nhận được bằng đồng.
b) Đến ngày 02 tháng 3 năm 2024, mẹ đi rút tiền gốc và lãi của tháng 1, tháng 2 và tiền tháng 3, thì tổng số tiền nhận được bằng 12 120 400 đồng.
c) Đến ngày 05 tháng 01 năm 2025, mẹ đi rút tiền thì số tiền nhận được bằng 50 triệu 730 nghìn đồng (làm tròn đến hàng nghìn).
d) Để nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng thì mẹ phải đi rút tiền trong tháng 12 năm 2025.
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Câu 4: Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là mỗi năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là mỗi năm thì tổng số tiền ban đầu, sau năm số tiền đó chỉ còn giá trị là: .
a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 7% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 86 490 000 đồng.
b) Nếu tỉ lệ lạm phát là một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau ba năm sẽ còn lại ít hơn 78 triệu đồng.
c) Nếu sức mua của 120 triệu đồng sau ba năm chỉ còn lại 88 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm đó là 9,28% (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d) Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là một năm thì sau 11 năm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa.
a. Đúng
b. Đúng
c. Sai
d. Đúng
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Câu 2: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
Trả lời: 0.
Câu 3: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Trả lời: 6.
Câu 4: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phường trình .
Trả lời: .
Câu 5: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Đáp số: 1
Câu 6: Gọi là tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình . Tính tổng của tất cả các phần tử trong .
Câu 7: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ
cao là,trong đó là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và là áp suất không khí (tính bằng pascal). Áp suất không khí ở đỉnh Fansipan có độ cao so với mực nước biển ( theo Cục Đo đạt, Bản đồ và Thông tin địa lý Việt Nam) xấp xỉ bằng . Tìm ( Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).
Trả lời: .
Câu 8: Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 30 năm, tức là cứ sau 30 năm, khối lượng của chất
phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có 12 g chất phóng xạ đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì khối lượng còn lại của chất đó ít hơn 8 g (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời: .
Câu 9: Dân số ở một địa phương được ước tính theo công thức , trong đó không đổi là dân số của năm 2024, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Hỏi đến năm nào thì dân số ở địa phương đó sẽ đạt gấp đôi dân số năm 2024? Biết và giả sử rằng tỉ lệ này giữ ổn định suốt trong cả quá trình.
Đáp số: 2060
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 1. Chuyen de HAM SO MU HAM SO LOGARIT