CHUÛ ÑEÀ
MAËT CAÀU - MAËT TRUÏ - MAËT NOÙN
7.
 Baøi 01
MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi
gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.
Kí hiệu: SO;RM OM R.
2. Khối cầu
Mặt cầu SOR;  cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm O ,
bán kính R.
Kí hiệu: BO;.RM OMR
Nếu OA, OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho AO, , B thẳng hàng thì đoạn thẳng
AB gọi là đường kính của mặt cầu.
Định lí. Cho hai điểm cố định AB, . Tập hợp các điểm M
0
 B
trong không gian sao cho AMB 90 là mặt cầu đường
kính AB .
●
ASO;ROA R.
O
A
1
●OAR A nằm trong mặt cầu.
1 1
A
●OARA nằm ngoài mặt cầu.
22
A
2
II. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại
S
tiếp hình đa diện H và khi đó H được gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại
tiếp là đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn. A
Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D
O
B
C
III. MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP
1. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với
tất các mặt của hình chóp.
2. Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu SOR;  và mặt phẳng P , gọi d là khoảng cách từ O đến P và H
là hình chiếu vuông góc của O trên P . Khi đó
O
O
O
r
H
(P)
H
(P)
H
(P)
● Nếu dR thì mặt phẳng P cắt mặt cầu S OR; theo giao tuyến là đường tròn
   
22
nằm trên mặt phẳng P có tâm là H và có bán kính rRd .
 
Khi d 0 thì mặt phẳng P đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt
 
phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có tâm O và bán
kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
●Nếu dR thì mặt phẳng P và mặt cầu SOR;  có một điểm chung duy nhất H .
Khi đó ta nói P tiếp xúc với SOR;  tại H và P gọi là tiếp diện của mặt cầu, H
gọi là tiếp điểm.
Chú ý. Cho H là một điểm thuộc mặt cầu SOR;  và mặt phẳng P qua H . Thế thì
tiếp xúc với
P SO;.ROH P
●Nếu dR thì mặt phẳng P và mặt cầu SOR;  không có điểm chung.
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu SOR;  và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên
 và dOH là khoảng cách từ O đến . Khi đó
H
A
O
O
O
H

H
B


● Nếu dR thì  cắt SOR;  tại hai điểm AB, và H là trung điểm của AB .
● Nếu dR thì  và SOR;  chỉ có một điểm chung H , trong trường hợp này 
gọi là tiếp tuyến của mặt cầu SOR;  hay  tiếp xúc với SOR;  và H là tiếp điểm.
● Nếu dR thì  và SOR;  không có điểm chung.
VI. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU
Gọi R là bán kính của mặt cầu thì
2
● Diện tích mặt cầu: SR 4.
4
3
● Thể tích khối cầu: VR  .
3
CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM
Câu 1. Cho đường tròn C đường kính AB và đường thẳng  . Để hình tròn xoay sinh
bởi C khi quay quanh  là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
(I)Đường kính AB thuộc .
(II) cố định và đường kính AB thuộc .
(III) cố định và hai điểm AB, cố định trên.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Chỉ (III). D. Không cần thêm điều kiện nào.
Câu 2. Cho mặt cầu S tâm O , bán kính R và mặt phẳng P có khoảng cách đến O
   
bằng R . Một điểm M tùy ý thuộc S . Đường thẳng OM cắt P tại N . Hình chiếu
   
của O trên P là I . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 
A. NI tiếp xúc với S .
 
O
B. ONR 2INR.
M
C. Cả A và B đều sai.
D. Cả A và B đều đúng.
N
I
P
 
Câu 3. Cho mặt cầu S OR; và một điểm A, biết OA 2R . Qua A kẻ một tiếp tuyến
 
tiếp xúc với S tại B . Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
 
R
A. R. B. . C. R 2 . D. R 3 .
2
Câu 4. Cho mặt cầu S OR; và một điểm A , biết OA 2R . Qua A kẻ một cát tuyến cắt S
   
tại B và C sao cho BCR 3 . Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:
R
A. R. B. . C. R 2 . D. R 3 .
2
Câu 5. Cho mặt cầu S OR; và mặt phẳng  . Biết
   
R
khoảng cách từ O đến  bằng . Khi đó thiết
 
2
O
diện tạo bởi mặt phẳng  với S OR; là một
   
đường tròn có đường kính bằng:
A. R. B. R 3 .
H
r

 
R R 3
C. . D. .
2 2
Câu 6. Cho mặt cầu tâm I bán kính R 2,6cm . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm
I một khoảng bằng 2,4cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt
cầu tạo nên là:
A.1,2cm. B. 1,3cm . C. 1cm . D. 1,4cm .
Câu 7. Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p . Một mặt phẳng  cắt hình cầu theo
p
một hình tròn có diện tích là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng  bằng:
2
p 1 2p p
A. . B. . C. . D. .
   2
Câu 8. Một hình cầu có bán kính là 2m , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn
có độ dài là 2,4m . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
A.1,6m . B. 1,5m. C. 1,4m . D. 1,7m .
Câu 9. Cho mặt cầu S OR; , A là một điểm ở trên mặt cầu S và P là mặt phẳng qua
     
0
A sao cho góc giữa OA và P bằng 60 .
 
Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
2
R
2
A. R . B. . O
2
2 2
R R
C. . D. . 0
60
4 8
A r H
P
 
Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Khi đó
mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:
a 1 3 a 62 a 6 2 a 31
       
A. . B. . C. . D. .
4 4
2 2
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BABC a .
Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC là:
a 2 a 6
A. . B. 3.a C. . D. a 6.
2 2
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên
SAa 6 và vuông góc với đáy ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD ta được:
2 2 2 2
A. B. C. D.
a 2. 8a . 2a . 2.a
có đáy là tam giác vuông cân tại , . Cạnh
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC ABC B ABa
bên , hình chiếu của điểm lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của
SAa 2 S
cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:
a 2 a 6 a 6 a 2
A. . B. . C. . D. .
2 3 2 3
a 21
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng .
6
Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
R
bằng:
h
7 7 7 1
A. B. . C. . D. .
12 24 6 2
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt
0
đáy một góc 60 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:
3 3 3 3
4a 2a 6 86a 86a
A. . B. . C. . D. .
3 9 9 27
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD 2a ,
ABBCCDa . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt
R
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Tỉ số nhận giá trị nào sau đây?
a
A. a 2. B. a. C. 1 D. 2.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , ADa .
0
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45 . Gọi N là trung
điểm SA , h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp N.ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h là:
4 5 5
A. 4R 5.h B. 5R 4.h C. R h. D. R h.
4
5 5
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng
SAa 2 vuông góc với đáy ABCD . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng  đi
qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại EF, .
Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, , AE, M, F nhận giá trị nào sau đây?
a 2 a
A. a 2. B. a . C. . D. .
2 2
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA
vuông góc đáy ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?
a 2 a
A. a 2. B. a . C. . D. .
2 2
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BCa .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp A.HKCB là:
3 3 3
2a a a
3
A. . B. 2.a C. . D. .
3 6 2
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BDa . Hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm OD .
 
0
Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 60 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?
a a
a
A. . B. . C. . D. a.
4 3 2
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông
góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa
 
0
đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC ,
 
R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng SAB . Đẳng thức nào
 
sau đây sai?

A. Rd G,.SAB B. 3 13R 2SH.

2
R 4 3 R
C.  . D.  13.
S 39 a
ABC
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là
tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
3 3 3 3
2a 11 11a a a
A. . B. . C. . D. .
3 162 6 3
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên
SAa 3 và vuông góc với đáy ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S.ABC là:
a a 13 a 39 a 15
A. . B. . C. . D. .
2 2 6 4
Câu 25. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OAa ,
OB 2a , OC 3a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là:
3a a 6 a 14
A. a 3 B. . C. . D. .
2 2 2
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABACa .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC. Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với
0
đáy ABC một góc 60 . Gọi SV, lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
V
ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tỉ số bằng ?
S
a 14 3a 14 a 2
A. a 14 B. . C. . D. .
12 4 6
0

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD 120 .
Cạnh bên SAa 3 và vuông góc với đáy ABCD .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị:
a 13 2a a 13 a 13
A. . B. . C. . D. .
3 3
23 3 3
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BCa . Mặt
0

phẳng SAB vuông góc với đáy, SASB a , ASB 120 . Bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC là:
a a
A. . B. . C. a. D. 2a.
4 2
Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
0

ACa 3 , góc ACB bằng 30 . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ABC
0
bằng 60 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AABC bằng:
3a a 21 a 21
a 21
A. . B. . C. . D. .
4 4 2 8
Câu 30. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng
0
AB C tạo với mặt đáy góc 60 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính
 
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp GA.B C bằng:
3a 3a
85a 31a
A. . B. . C. . D. .
108 2 4 36
 Baøi 02
MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ
I. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
Cho hai đường thẳng  và  sao cho  song song với  và d,R . Khi ta quay
 
0
 quanh trục  một góc 360 thì  tạo thành một mặt trụ tròn xoay T (hoặc đơn giản
 
hơn là mặt trụ).


 

●  gọi là trục của mặt trụ T.
● gọi là đường sinh của mặt trụ T .
 
●R gọi là bán kính của mặt trụ T .
 
R
II. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
1. Định nghĩa hình trụ
Cắt mặt trụ T trục  , bán kính R bởi hai mặt phẳng P và P cùng vuông góc
     
với , ta được giao tuyến là hai đường tròn C và C .
    
●Phần của mặt trụ T nằm giữa P và P cùng với hai hình tròn xác định bởi C
       
và C gọi là hình trụ.
 
● Hai đường tròn C và C  gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ .
C
● OO gọi là trục của hình trụ.  
O
M
P 
● Độ dài OO gọi là chiều cao của hình trụ.
● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh
của hình trụ.
● Với mỗi điểm MC , có một điểm M C sao cho
T
MM OO . Các đoạn thẳng như MM gọi là đường sinh
của hình trụ.
P O
C
2. Nhận xét
M
Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ.
Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.
Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.
Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M lên một
mặt phẳng  và M di động trên môt đường tròn C cố định thì M thuộc một mặt
   
trụ cố định T chứa C và có trục vuông góc  .
     
3. Khối trụ
Định nghĩa. Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.
III. DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là: S  2Rh.
xq
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện
tích hai đáy của nó.
2
Thể tích của khối trụ có bán kính R và chiều cao h là: VRh.
CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM
Câu 31. Xét các mệnh đề
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường
thẳng cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

(II) Hai điểm AB, cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam
giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả (I) và (II). D. Không có mệnh đề đúng.
Câu 32. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh
bằng a . Thể tích khối trụ bằng:
3 3 3
a a a
3
A. a . B. . C. . D. .
2 3 4
Câu 33. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Diện tích
xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
2 2 2 2
A. 2 31 R và 23R . B. 23R và 2 31 R .
   
2 2 2 2 2
C. 23R và 2R . D. 23R và 23R R .
Câu 34. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có
cạnh bằn 2R . Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
2 2 2 2
A. 4.R B. 6.R C. 8R . D. 2.R
, chiều cao hình trụ . Một hình
Câu 35. Một hình trụ có bán kính đáy R 70cm h 20cm
vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không
song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng
bao nhiêu?
A. 80cm. B. 100cm. C. 100 2cm. D. 140cm.
Câu 36. Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm . Độ dài đường chéo của
thiết diện qua trục bằng:
A. 10cm. B. 6cm. C. 5cm. D. 8cm.
Câu 37. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Hai điểm
AB, lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ
0
bằng 30 . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:
R 3 R 3
A. R. B. R 3. C. . D. .
2 4
Câu 38. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm và , bán kính bằng chiều cao và
O O
bằng a . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B
sao cho AB 2a . Thể tích của khối tứ diện OO AB bằng:
3 3 3 3
3a 3a 3a 3a
B. C. D. .
A. . . .
12 6 4 2
Câu 39. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O , thiết diện qua trục của hình
   
trụ là hình vuông. Gọi AB, là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn O và
a 3
O . Biết AB 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO bằng . Bán
2
kính đáy bằng:
a 14 a 14 a 14 a 14
A. . B. . C. . D. .
4 2 3 9
Câu 40. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD
có AB 1 và AD 2 . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình
chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của
hình trụ bằng:
A. 2 . B. 3 . C. 4. D. 8 .

onthicaptoc.com Câu hỏi trắc nghiệm mặt cầu, mặt trụ, mặt nón