BÀI 3. CỰC TRỊ HÀM SỐ
1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1.Điểm cực đại, cực tiểu : Hàm số liên tục trên chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó :
Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm thì hàm số đạt cực đại tại điểm
2.Lệnh Casio tính đạo hàm qy
2) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]
Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
B. Hàm số đạt cực tiểu tại
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
D. Hàm số không có cực tiểu
GIẢI
* Cách 1 : CASIO
* Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của tại (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)
!o1=
Ta thấy đạo hàm vậy đáp số A sai
* Tương tự với đáp án B (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)
!!o2=

Ta thấy . Đây là điều kiện cần để là điểm cực tiểu của hàm số
Kiểm tra
!!p0.1=
Kiểm tra
!!oooo+0.1=
Tóm lại và dấu của đổi từ sang vậy hàm số đạt cực tiểu tại
Đáp án B là chính xác
* Cách tham khảo : Tự luận
* Tính đạo hàm :
* Ta có
*

Vậy và đổi dấu từ âm sang dương qua điểm
* Bình luận :
* Trong các bài toán tính đạo hàm phức tạp thì cách Casio càng tỏ ra có hiệu quả vì tránh được nhầm lẫn khi tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm.
VD2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Với giá trị nguyên nào của thì hàm số có 3 cực trị
A. B. C. D.
GIẢI
* Cách 1 : CASIO
* Tính đạo hàm
Ta hiểu : Để hàm số có 3 cực trị thì có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào)
Ta chỉ cần giải phương trình bậc 3 : với . Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình bậc 3 : MODE 5
* Thử đáp án A với
w544=0=8p10=0==

Ta thu được 3 nghiệm
Đáp án A là chính xác
* Cách tham khảo : Tự luận
* Tính đạo hàm
* Ta hiểu : Để hàm có 3 cực trị thì có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào)
*
Để có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Vậy thỏa mãn
* Bình luận :
* Đạo hàm là phương trình bậc 3 có dạng nếu có 3 nghiệm thì sẽ tách được thành nên vế trái luôn đổi dấu qua các nghiệm. Có 3 cực trị
Tuy nhiên nếu đạo hàm là phương trình bậc 3 chỉ có 2 nghiệm thì sẽ tách thành và sẽ có 1 nghiệm kép. có 1 cực trị
Mở rộng thêm : nếu đạo hàm là 1 phương trình bậc 3 có 1 nghiệm thì chỉ đổi dấu 1 lần có 1 cực trị
VD3-[Thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội lần 1 năm 2017]
Số điểm cực trị của hàm số bằng :
A. B. C. D.
GIẢI
* Cách 1 : T. CASIO
* Tính đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vậy
* Số điểm cực trị tương ứng với số nghiệm của phương trình . Ta sử dụng chức năng MODE 7 để dò nghiệm và sự đổi dấu của qua nghiệm.
w73Q)qcQ)$p8Q)==p9=10=1=

Ta thấy đổi dấu 3 lần Có 3 cực trị
Đáp án C là chính xác
VD4-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017]
Tìm tất các các giá trị thực của để hàm số đạt cực đại tại
A. B. C. D.
GIẢI
* Cách 1 : CASIO
* Kiểm tra khi thì hàm số có đạt cực đại tại không.
qyQ)^3$p3Q)+5$1=
!!p0.1=
!!oooo+0.1=
Vậy đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị loại Đáp án A hoặc D sai
* Tương tự kiểm tra khi
qyQ)^3$p6Q)d+9Q)p7$1=

!!p0.1=
!!!!!o+=
Ta thấy đổi dấu từ dương sang âm hàm đạt cực đại tại Đáp án B chính xác
* Cách tham khảo : Tự luận
* Tính đạo hàm :
* Ta có
Điều kiện cần : là nghiệm của phương trình
* Thử lại với khi đó .

và
Vậy đổi dấu từ dương sang âm qua điểm Hàm đạt cực đại tại
* Bình luận :
* Việc chọn giá trị một cách khéo léo sẽ giúp chúng ta rút ngắn quá trình chọn để tìm đâp án đúng.
VD5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Cho hàm số đạt cực đại tại các điểm và . Tính giá trị của biểu thức
A. B. C. D.
GIẢI
* Cách 1 : T. CASIO
* Tính đạo hàm
Hàm số đạt cực trị tại (1)
Hàm số đạt cực trị tại (2)
Từ (2) ta có . Thế vào (1)
Vậy Đáp án D là chính xác
VD6-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017]
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
A. B. C. D.
GIẢI
* Cách 1 : CASIO
* Gọi 2 điểm cực trị của đồ thị là . Ta không quan tâm đâu là điểm cực đại, đâu là điểm cực tiẻu. Chúng ta chỉ cần biết đường thẳng cần tìm sẽ đi qua 2 điểm cực trị trên.
là nghiệm của phương trình . Để tìm 2 nghiệm này ta sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2 MODE
w531=p4=3==

Ta tìm được
* Để tìm ta sử dụng chức năng gán giá trị CALC
a1R3$Q)^3$p2Q)d+3Q)r3=
Khi thì vậy
r1=
Khi thì vậy
Ta thấy đường thẳng đi qua và Đáp án chính xác là B
* Cách tham khảo : Tự luận
* Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là phần dư của phép chia cho
* Tính
Thực hiện phép chia được :
Vậy phương trình cần tìm có dạng
* Bình luận :
* Cách Casio có vẻ hơi dài hơn nhưng lại có ưu điểm tránh phải thực hiện phép chia cho .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]
Hàm số đạt cực tiểu tại :
A. B. C. D.
Bài 2-[Thi thử THPT Yên Thế – Bắc Giang lần 1 năm 2017]
Giá trị của để hàm số đạt cực tiểu tại là :
A. B. C. D.
Bài 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017]
Tìm giá trị cực đại của hàm số
A. B. C. D.
Bài 4-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017]
Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. B. C. D.
Bài 5-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội năm 2017]
Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
A. B. C. D.
Bài 6-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017]
Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số là :
A. B. C. D.
Bài 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Cho hàm số . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây.
Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu .
A. B. C. D. Không có thỏa
Bài 9-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu
A. B. C. D.
Bài 10-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]
Tìm tập hợp tất cả các tham số để đồ thị hàm số có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành
A. B. C. D.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]
Hàm số đạt cực tiểu tại :
A. B. C. D.
GIẢI
* Ngoài cách thử lần lượt từng đáp án để lấy kết quả. Nếu ta áp dụng một chút tư duy thì phép thử sẽ diễn ra nhanh hơn. Đồ thị hàm bậc 4 đối xứng nhau qua trục tung. Nếu hàm số đạt cực tiểu tại thì sẽ đạt cực tiểu tại . Đáp án A và B loại vì ta chỉ được chọn 1 đáp án.
* Thử với
qyQ)^4$+Q)d+1$0=!!p0.1=!!!!!o+=

Ta thấy , đổi dấu từ âm sang dương là cực tiểu Đáp án C chính xác
Bài 2-[Thi thử THPT Yên Thế – Bắc Giang lần 1 năm 2017]
Giá trị của để hàm số đạt cực tiểu tại là :
A. B. C. D.
GIẢI
* Thử đáp án, ưu tiên thử giá trị xác định trước. Với đáp án C khi
qypQ)^3$p2Q)dpQ)p2$p1=!!p0.1=!!!!!o+=

Ta thấy , đổi dấu từ âm sang dương là cực tiểu Đáp án C chính xác
Bài 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017]
Tìm giá trị cực đại của hàm số
A. B. C. D.
GIẢI
* Tính . Tìm điểm cực đại của hàm số là nghiệm phương trình
* Khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị bằng cách tính và
qypQ)^3$p2Q)dpQ)p2$p1=!!p0.1=!!!!!o+=

Ta thấy đổi dấu từ dương sang âm là điểm cực đại của hàm số
* Giá trị cực đại Đáp án chính xác là A chính xác
Bài 4-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017]
Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. B. C. D.
GIẢI
* Tính
* Dùng MODE 7 để tìm điểm cực trị và khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị
w7QK^Q)$(Q)dp3Q)p5)+QK^Q)$(2Q)p3)==p9=10=1=

Ta thấy đổi dấu 2 lần Hàm số có hai điểm cực trị
Đáp án chính xác là A chính xác
Bài 5-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội năm 2017]
Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
A. B. C. D.
GIẢI
* Tính . . Dùng MODE 7 với thiết lập sao cho chạy qua 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của
w73Q)qcQ)$p2Q)=po=p2=2=1P3=

Ta thấy đổi dấu 3 lần Đáp án chính xác là C chính xác
Bài 6-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017]
Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số là :
A. B. C. D.
GIẢI
* Tính . Dùng MODE 7 với thiết lập sao cho chạy qua 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của
w7Q)(Q)p1)d(2Q)+3)==p2=1.5=0.25=

Ta thấy đổi dấu 2 lần Đáp án chính xác là A chính xác
Chú ý : Nếu quan sát tinh tế thì ta thấy ngay là lũy thừa bậc chẵn nên không đổi dấu qua mà chỉ đổi dấu qua hai lũy thừa bậc lẻ (hiểu là ) và (hiểu là )
Bài 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Cho hàm số . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây.
A. B. C. D.
GIẢI
* Hàm số có dạng Có đạo hàm .
* Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị . Trung điểm của hai điểm cực trị này là . Điểm này thuộc đường thẳng Đáp số chính xác là B
Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu .
A. B. C. D. Không có thỏa
GIẢI
* Tính . Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu Tích hai nghiệm là số âm Đáp án chính xác là A chính xác
Chú ý : Nếu quên định lý Vi-et ta có thể dùng phép thử. Với đáp án A chọn chẳng hạn sẽ thấy luôn có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm này đổi dấu.
Bài 9-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu
A. B. C. D.
GIẢI
* Tính . Để hàm số có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu thì có đúng 1 nghiệm và đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.
* Chọn . Dùng MODE 7 tính nghiệm và khảo sát sự đổi dấu của
w74O(p5)Q)^3$+2(p5p1)Q)==p9=10=1=

Ta thấy đổi dấu 1 lần từ dương sang âm thỏa Đáp án đúng có thể là A, B, C
* Chọn . Dùng MODE 7 tính nghiệm và khảo sát sự đổi dấu của
C$$$$o$$$$$$$$$$o=====

Ta thấy đổi dấu 1 lần từ âm sang dương loại Đáp án B sai
* Chọn . Dùng MODE 7 tính nghiệm và khảo sát sự đổi dấu của
C$$$p0.$$$$$$$$$p0.=====

Ta thấy đổi dấu 1 lần từ dương sang âm thỏa Đáp án A chính xác
Bài 10-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]
Tìm tập hợp tất cả các tham số để đồ thị hàm số có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành
A. B. C. D.
GIẢI
* Tính . Để hàm số có đúng 2 cực đại thì có 2 nghiệm phân biệt Cả 4 đáp án đều thỏa
* Chọn . Hàm số có dạng . Tính hai điểm cực trị của hàm số bằng lệnh giải phương trình MODE 5
w533=2=p5===

Từ đó suy ra

Để hai cực trị nằm về hai phía trục hoành thì . loại B hoặc D có thể đúng.
* Chọn . Hàm số có dạng . Tính hai điểm cực trị của hàm số bằng lệnh giải phương trình MODE 5
w533=2=0===

Từ đó suy ra

* Để hai cực trị nằm về hai phía trục hoành thì . loại B là đáp số chính xác.

onthicaptoc.com CASIO BÀI 3 CỰC TRỊ HÀM SỐ