PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
BÀI 25. TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
* Cho điểm và mặt phẳng thì khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính theo công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
* Cho điểm và đường thẳng thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo công thức
Trong đó là vecto chỉ phương của và là một điểm thuộc
3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
* Cho hai đường thẳng chéo nhau và thì khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau này được tính theo công thức
Trong đó là vecto chỉ phương của và là một điểm thuộc
là vecto chỉ phương của và là một điểm thuộc
4. Lệnh Caso
* Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
* Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
* Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
* Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
* Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
* Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
* Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
* Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE
II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
A. B. C.D.
GIẢI
* Ta nhớ công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
* Áp dụng cho điểm và ta sử dụng máy tính để bấm luôn :
aqc3O1+4O(p2)+2O3+4Rs3d+4d+2d=
Đáp số chính xác là C
VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Tìm để khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. B. C. D.
GIẢI
* Thiết lập phương trình khoảng cách :
(việc này ta chỉ làm ở trong đầu)
* Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập vế trái của phương trình vào rồi sử dụng chức năng SHIFT SOLVE.
w1aqc1O1+3O2+4O3+Q)Rs1d+3d+4d$$ps26qr1=
Ta thu được kết quả
Đáp số chính xác là A
VD3-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . là điểm có hoành độ âm thuộc sao cho khoảng cách từ đến bằng 2. Tọa độ điểm là :
A.B. C.D.
GIẢI
* Ta biêt điểm thuộc nên có tọa độ
(biết được điều này sau khi chuyển về dạng tham số
* Thiết lập phương trình khoảng cách :
Nghĩ được tới đây thì ta có thể sử dụng Casio để tính rồi. Ta bấm ngắn gọn như sau
qcQ)+2(p1+2Q))p2(p2+3Q))+3R3$p2qrp5=
Khi đó
Đáp số chính xác là D
VD4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm và mặt phẳng . Biết mặt phẳng cắt mặt cấu theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu .
A.
B.
C.
D.
GIẢI
* Mặt cầu sẽ có tâm . Vì mặt cầu có tâm nên nó chỉ có thể là đáp án C hoặc D
* Ta hiểu : Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một giao tuyến là đường tròn bán kính sẽ thỏa mãn tính chất với là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng.
Tính tâm bằng Casio.
(aqc2O2+1O1+2O1+2Rs2d+1d+2d$$)d+1d=
Đáp số chính xác là D
VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng . Tính khoảng cách từ điểm tới
A. B. C. D.
GIẢI
* Nhắc lại : Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua điểm có khoảng cách từ đến tính theo công thức :
* Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập hai vecto vào máy tính.
w8111p(p2)=2p1=p2pp1=w8211=2=p2=
* Tính
Wqcq53Oq54)Pqcq54)=
Đáp số chính xác là D
VD6-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và mặt cầu . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để cắt tại hai điểm phân biệt?
A. B. C.D.
GIẢI
* Mặt cầu có tâm bán kính
Đường thẳng đi qua và có vecto chỉ phương
Ta hiểu : Đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm (của mặt cầu ) đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính (của mặt cầu )
* Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình :
w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRsQ)d+5$$p1==p9=10=1=
Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của là
Đáp án chính xác là A
VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và mặt cầu . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để cắt tại hai điểm phân biệt?
A. B. C.D.
GIẢI
* Mặt cầu có tâm bán kính
Đường thẳng đi qua và có vecto chỉ phương
Ta hiểu : Đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm (của mặt cầu ) đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính (của mặt cầu )
* Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình :
w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRsQ)d+5$$p1==p9=10=1=
Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của là
Đáp án chính xác làA
VD8-[Câu 68 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho đường thẳng đi qua điểm , có vecto chỉ phương và mặt phẳng có phương trình . Tính khoảng cách giữa và
A. B. C. D.
GIẢI
* Ta thấy : chỉ có thể song song hoặc trùng với
* Khi đó khoảng cách giữa và là khoảng cách từ bất kì 1 điểm thuộc đến
Ta bấm :
aqc0+0p1+5Rs2d+1d+2d=
Đáp án chính xác làB
VD9-[Câu 92 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Trong không gian cho đường thẳng . Gọi là giao tuyến của 2 mặt phẳng : và . Tính khoảng cách giữa
A. B. C. D.
GIẢI
* Đường thẳng có vecto chỉ phương
w8111=p3=1=w8211=1=p1=Wq53Oq54=
Và đi qua điểm
Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua điểm
* Ta hiểu : khoảng cách giữa hai đường thẳng chỉ tồn tại khi chúng song song hoặc chéo nhau
Kiểm tra sự đồng phẳng của 2 đường thẳng trên bằng tích hỗn tạp
Nhập ba vecto vào máy tính Casio
w811p3=3=2=w8211=2=0=w8312=2=4=
Xét tích hỗn tạp chéo nhau
* Tính độ dài hai đường thẳng chéo nhau ta có công thức :
Wqcp40)Pqcq54Oq55)=
Đáp án chính xác là C
VD9-[Câu 25 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai đường thẳng và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng là :
A. B. C. D.
GIẢI
* Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua điểm
Đường thẳng đi qua điểm
Dễ thấy hai đường thẳng song song với nhau nên khoảng cách từ đến chính là khoảng cách từ điểm (thuộc ) đến .
Gọi khoảng cách cần tìm là ta có w811p1=2=2=w8211=2=2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=
Đáp án chính xác là B
VD10-[Câu 26 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai đường thẳng và . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng và có phương trình :
A. B.
C. D.
GIẢI
* Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua điểm
Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua điểm
Dễ thấy hai đường thẳng cheo nhau nên mặt phẳng cách đều hai đường thẳng trên khi mặt phẳng đó đi qua trung điểm và song song với cả 2 đường thẳng đó. .
* Mặt phẳng song song với cả 2 đường thẳng nên nhận vecto chỉ phương của 2 đường thẳng là cặp vecto chỉ phương.
w8111=p1=2=w821p2=0=1=Wq53Oq54=
lại đi qua trung điểm của nên
Đáp án chính xác là D
Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]
Trong không gian với hệ trục tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng ?
A. B.
C. D.
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
Tìm điểm trên đường thẳng sao cho với :
A.B. C. D.Không có thỏa
Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]
Cho và . Tìm để
A. B. C.D.
Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số
A. B. C. D.
Bài 5-[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
A. B. C. D.
Bài 6-[Câu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho , , . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là :
A. B. C. D.
Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng và
A. B. C. D.
Bài 8-[Câu 69c Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng và
A. B. C. D.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]
Trong không gian với hệ trục tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng ?
A. B.
C. D.
GIẢI
* Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng khi
aqc1p4+2p8Rs1d+2d+2d=
Đáp số chỉ có thể là C hoặc D
* Mà ta lại có tâm mặt cầu là
Vậy đáp số chính xác là D
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
Tìm điểm trên đường thẳng sao cho với :
A.B. C. D.Không có thỏa
GIẢI
* Gọi điểm thuộc có tọa độ theo là
* Ta có
Sử dụng máy tính Casio tìm
(1+Q)p0)d+(1pQ)p2)d+(2Q)+2)dp6qr5=qrp5=
* Ta tìm được hai giá trị của
Với , với
Đáp án chính xác là B
Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]
Cho và . Tìm để
A. B. C.D.
GIẢI
* Thiết lập phương trình khoảng cách
* Đó là khi ta nhẩm, nếu vừa nhẩm vừa điền luôn vào máy tính thì làm như sau (để tiết kiệm thời gian)
aqc2p1+3pQ)Rs2d+1d+1d
Tìm nghiệm ta sử dụng chức năng CALC xem giá trị nào của làm vế trái thì là đúng
rp2=
Chỉ có A hoặc C là đúng
r4=
Giá trị không thỏa mãn vậy đáp án A sai Đáp án chính xác là C
Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số
A. B. C. D.
GIẢI
* Mặt phẳng có phương trình
* Để tính tỉ số ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách (đã gặp ở chuyên đề hình học không gian )
Ta có : bất kể hai điểm cùng phía hay khác phía so với
Ta có thể dùng máy tính Casio tính ngay tỉ số này
w1aqc0+3+0Rqc0+p6+0=
Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng cách đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho vào phép tính của Casio
Đáp số chính xác là A
Bài 5-[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
A. B. C. D.
GIẢI
* là giao tuyến của hai mặt phẳng và nên cùng thuộc 2 mặt phẳng này vecto chỉ phương của đường thẳng vuông góc với cả 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng trên.
w8111=1=p2=w8210=3=2=Wq53Oq54=
* Gọi điểm thuộc đường thẳng
* Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là :
w8115P2p2=p3P2p3=0pp1=w8218=p4=2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=
Đáp số chính xác là B
Bài 6-[Câu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho , , . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là :
A. B. C. D.
GIẢI
* Vecto pháp tuyến của là
w811p2=2=p1=w821p2=1=0=Wq53Oq54=
* Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
Đáp số chính xác là B
Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng và
A. B. C. D.
GIẢI
* Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
Dễ thấy 2 đường thẳng trên song song với nhau Khoảng cách cần tìm là khoảng cách tứ đến
w811p3=4=p5=w8212=1=p2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=
Đáp số chính xác là D
Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng và
A. B. C. D.
GIẢI
* Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
Dễ thấy 2 đường thẳng trên song song với nhau Khoảng cách cần tìm là khoảng cách tứ đến
w811p3=4=p5=w8212=1=p2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=
Đáp số chính xác là D
Bài 8-[Câu 69c Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng và
A. B. C. D.
GIẢI
* Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
Dễ thấy 2 đường thẳng trên chéo nhau Khoảng cách cần tìm là
w8111=p3=p3=w8211=2=3=w831p1=1=1=Wqcq53q57(q54Oq55))Pqcq54Oq55)=
Đáp số chính xác là C

onthicaptoc.com CASIO BÀI 25 TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN