PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
BÀI 20. TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ,và hai đường thẳng được tính theo công thức
(1) (Dạng 1)
Quy ước : Trong bài học này ta gọi đường thẳng là cận thứ nhất , là cận thứ hai
Chú ý : Khi đề bài không cho hai cận thì hai cận sẽ có dạng , với là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và hai cận được tính theo công thức :
(2) (Dạng 2)
3. Tổng hợp phương pháp (gồm 3 bước)
+)Bước 1: Xác định rõ hai hàm hoặc
+)Bước 2: Xác định rõ 2 cận hoặc
+)Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) rồi sử dụng máy tính casio
2) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số
A. B. C. D.
GIẢI
* Ta có hai hàm số và
* Giải phương trình hoành độ giao điểm
Ta có 3 cận mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta chia thành 2 khoảng cận và
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , và hai đường thẳng là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , và hai đường thẳng là
* Vậy tổng diện tích
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân
yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)R0E1=
Vậy ta chọn đáp án chính xác là A
* Bình luận :
* Thật tuyệt vời phải không, và tư đây theo 3 bước kết hợp Casio ta sẽ làm mọi bài liên quan đến tính diện tích hình phẳng.
VD2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]
Cho miền giới hạn bởi đồ thị hàm số . Diện tích miền phẳng bằng :
A. B.
C. D.
GIẢI
* Ta có hai hàm số và
* Cận đầu tiên là ta đi tìm cận tiếp theo bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm
Để giải nhanh phương trình này ta sẽ sử dụng Casio với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
hQ)+1)ph2)OsQ)qr2=
Ta được nghiệm
Vậy ta tìm được hai cận
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số , và hai đường thẳng là
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân
yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2=
Vậy Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả thì là đáp án chính xac. ta chọn B
* Bình luận :
* Việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE đã được học ở bài trước.
VD3-[Th thử website Vnmath.com lần 1 năm 2017]
Đường thẳng chia hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng thành hai phần bằng nhau. Tìm
A. B. C. D.
GIẢI
* Hai hàm số và
Giải phương trình hoành độ giao điểm
Vậy cận thứ nhất là cận thứ hai là
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là :
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân
yqcQ)dp4Rp2E2=
Vậy một nửa diện tích là
* Vì đường thẳng chia hình phẳng thành 2 phần bằng nhau Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , đường thẳng có độ lớn là
* Thử với đáp án A ta có . Giải phương trình hoành độ giao điểm

yqcQ)dpqs16Rpq^6$16Eq^6$16=
Vậy (đúng) đáp án chính xác là A
VD4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục bằng :
A. B. C. D.
GIẢI
* Hai hàm số và trục có phương trình
Giải phương trình tung độ giao điểm
Vậy cận thứ nhất là cận thứ hai là
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là :
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân
yqcQ)dp1Rp1E1=
Vậy đáp số chính xác là C
* Bình luận :
* Bài toán này nên đưa về dạng 2 thì sẽ dễ dàng tính toán hơn. Nếu đưa về dạng 1 ta phải tính rồi lại phải tìm cận sẽ khó hơn
* Ta hiểu với máy tính hay chỉ là kí hiệu nên
Nên ta có thể thực hiện phép tính với máy tính casio như trên
VD5-[Sách bài tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , đường cong và trục hoành
A. B. C. D.
GIẢI
* Hai hàm số và
Trục hoành có phương trình cận thứ nhất
Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm : . Để giải nhanh ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
Q)^a2R3$$+Q)^4$p2qr1=
vậy cận thứ hai là
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là :
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân
yqcQ)^a2R3$$p2+Q)^4R0E1=
Vậy đáp số chính xác là A
* Bình luận :
* Do cài đặt làm tròn của máy tính của mỗi máy là khá nhau nên ta nhanh nhạy trong việc làm tròn để tìm đáp án đúng nhất.
VD6-[Thi thử lớp toán thầy Bình lần 2 năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip có phương trình
A. B. C. D.
GIẢI
* Ta có Hai hàm số và
Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm : .
vậy cận thứ nhất và cận thứ hai
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là :
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân
yqc2s1paQ)dR9Rp3E3=
Vậy đáp số chính xác là B
* Bình luận :
* Trong chương trình lớp 10 sách giáo khoa đã đề cập đến các tính chất cơ bản của hình Elip nhưng chưa đề cập đến công thức tính diện tích của Elip và việc sử dụng tích phân để tính diện tích Elip là một ứng dụng tuyệt vời.
VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi các cạnh đường trung bình của mảnh đất hình chữ nhật và một đường cong hình (như hình vẽ). Biết , . Tính diện tích đất phần còn lại (đơn vị tính )
A. B.
C. D.
GIẢI
* Diện tích hình chữ nhật là :
* Hình có biên độ và chu kì nên có phương trình là :
Gắn hinh trên lên trục tọa độ với gốc tọa độ là giao điểm của đồ thị hình với trục hoành
Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành là :
qw4yqcjQ))p0R0EqK=
* Diện tích cần tìm đáp số chính xác là B
* Bình luận :
Nếu đề bài thay đổi thành như vậy biên độ hình là vậy sẽ có phương trình là
VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường và . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích như hình vẽ bên. Tìm để
A. B.
C. D.
GIẢI
* Gọi là diện tích hình ta có
yqcQK^Q)R0Eh4)=

* Vì mà tổng diện tích là 3 . Thử các đáp án ta có
yqcQK^Q)R0Eh3)=

Đáp số chính xác là D
VD9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục bé bằng . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là đồng 1 . Hổi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn)
A. B.
C. D.
GIẢI
* Xét hệ tọa độ đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn là
Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có
* Diện tích của dải đất cũng chính bằng 2 lần phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành, đường thẳng , đường thẳng

2yqc5s1paQ)dR64Rp4E4=

Số tiền cần là
O100000=
Đáp số chính xác là B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần 1 năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , đường thẳng và trục hoành trong miền bằng :
A. B. C. D.
Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và
A. B. C. D.
Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và bằng :
A. B. C. D.
Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số và trục tung
A. B. C. D.
Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách bài tập trắc nghiệm toán 12]
Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , có thể được viết dưới dạng . Tìm khẳng định sai :
A. B. C. D.
Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các tiếp tuyến với đi qua các điểm là :
A. B. C. D.
Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và đường thẳng bằng . Tính giá trị của tham số
A. B. C. D.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần 1 năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , đường thẳng và trục hoành trong miền bằng :
A. B. C. D.
GIẢI
* Phương trình hoành độ giao điểm . Tuy nhiên đề bài yêu cầu tính diện tích trên miền Ta tính diện tích hình phẳng trên miền
Cận thứ nhất , cận thứ hai .
* Diện tích cần tính là :
yqcQ)dp(2pQ))R0E1=
* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền thì ta tính trên toàn bộ miền . Ta có :
Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền thì ta tính trên miền . Ta có :
Các e học sinh chú ý điều này vì rất dễ gây nhầm lẫn.
Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và
A. B. C. D.
GIẢI
* Phương trình hoành độ giao điểm .
Ta có cận thứ nhất , cận thứ hai , cận thứ ba
* Diện tích cần tính là :
yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4$+Q)p1)Rp1E0$+yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4+Q)p1)R0E1=
Đáp số chính xác là C
* Chú ý: Em nào hiểu phép biến đổi tính diện tích thì có thể bấm máy theo công thức
sẽ rút gọn được thao tác bấm máy.
Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và bằng :
A. B. C. D.
GIẢI
* Phương trình hoành độ giao điểm (1).
Với (1) (vì )
Với (1) (vì )
Cận thứ nhất , cận thứ hai .
* Diện tích cần tính là :
yqcQ)d+1pqcQ)$p3Rp2E2=
Đáp số chính xác là B
* Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có thể giải bằng Casio thay vì chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối.
Q)dpqcQ)$p2qrp5=
qr5=
Ta tìm được hai nghiệm
Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số và trục tung
A. B. C. D.
GIẢI
* Đề bài cho trục tung có phương trình nên cận thứ nhất là
Phương trình hoành độ giao điểm . là nghiệm duy nhất cận thứ hai
* Diện tích cần tính là :
yqc2^Q)$p(3pQ))R0E1=
Đáp số chính xác là A
* Chú ý: Để giải phương trình ta có thể sử dụng máy tính Casio
2^Q)$Qr3pQ)qr1=
Ta nhận được nghiệm . Tuy nhiên vì sao lại là nghiệm duy nhất thì xem lại ở bài “Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ.”
Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách bài tập trắc nghiệm toán 12]
Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , có thể được viết dưới dạng . Tìm khẳng định sai :
A. B. C. D.
GIẢI
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , , , là :
yqchQ))Ra1RQKEEQK=
* Vì
P(1pa1RQK$)=
Chỉ có phương trình ở câu C không chứa nghiệm này đáp án C là đáp án chính xác
* Chú ý: Bài này không cần dùng đến kiến thức của tích phân vẫn có thể làm được. Đề bài yêu cầu tìm đáp án mà số không thỏa mãn không phải nghiệm chung của các phương trình. Mà nghiệm chung của các phương trình là nên đáp số C không thỏa mãn
Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các tiếp tuyến với đi qua các điểm là :
A. B. C. D.
GIẢI
* Viết phương trình tiếp tuyến đi qua ta thu được
Tiếp tuyến thứ nhất với tiếp điểm
Tiếp tuyến thứ hai với tiếp điểm
Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích là phần đường cong có 3 đỉnh ta thu được ba cận là :

yqc(Q)dp2Q)+2)p(p2Q)+2)R0E2$+yqc(Q)dp2Q)+2)p(6Q)p14)R2E4=
Đáp số chính xác là C
* Chú ý: Để biết được tiếp tuyến tại sao lại là thì xem lại bài Casio tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số .
Giải thích công thức (1) : Trên miền ta thấy hai cận này được hình thành bởi hai đường cong nên diện tích phải được tính theo công thức
Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và đường thẳng bằng . Tính giá trị của tham số
A. B. C. D.
GIẢI
* Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành :
Ta được cận thứ nhất và cận thứ hai . Khi đó diện tích hình phẳng là :
* Thiết lập quan hệ . Chọn giá trị dương bất kì ví dụ khi đó
a1R9$Oy2s3Q)R0E3=
Ra một kết quả khác 0 vậy đáp án A sai
Đáp số chính xác là B
* Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương bất kì thì đáp số đều ra ví dụ ta chọn
Khi đó
a1R1.125d$y2s1.125Q)R0E1.125=

onthicaptoc.com CASIO BÀI 20 TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG