Chủ đề 6
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki –
Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này
chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga
Bunhiacopxki.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó
ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán
THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
a. Dạng tổng quát
+ Cho hai dãy số tùy ý a ; a ; a ; ...; a và b ; b ; b ; ...; b . Khi đó ta có:
12 3 n 12 3 n
2
22 2 2 2 2
Dạng 1: aa ... a b b ... b a b a b ... a b

 
12 n 1 2 n 11 22 nn
22 2 2 2 2
Dạng 2: a a ... a b b... b  a b a b... a b
 
12 n 1 2 n 11 22 nn
aa a
12 n
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:  ...
bb b
12 n
22 2 2 2 2
Dạng 3: a a ... a b b... b  a b a b... a b
 
12 n 1 2 n 11 22 nn
aa a
12 n
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:  ...  0
bb b
12 n
Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a ; a ; ...; a và x ; x ; ...; x với x ; x ; ...; x  0
12 n 12 n 12 n
2
22 2
aa...a
aa a
12 n
12 n
Khi đó ta có  ... 
x x x xx ... x
12 n 1 2 n
aa a
12 n
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:  ...  0
xx x
12 n
Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức
Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng
phân thức.
b. Một số dạng đặc biệt
n2 n3
2 2
22 2 2 22 2 2 2 2
abxyaxby abc xy zaybycz
 
   
22 2 2 22 2 2 2 2
abxyaxby abc xy zaybycz
   
22 22 22 2 2 2 2
abxyaxby abc xy zaybycz
   
2 2
22 22 2
ab abc
 
ab ab c
  
xy xy xy z xy z
x, y 0 x, y 0
 
ab ab c
Đẳng thức xẩy ra khi  Đẳng thức xẩy ra khi 
xy xy z
B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng
minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác
định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví
dụ sau
Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
2
Aa
2
a
+ Sai lầm thường gặp:
11
2
Sai lầm 1: Aa  2a. 2.
2
a
a
2
 
11111
2
Sai lầm 2: A1 1a a.42

 
2
22a a2
 
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại
1
trái với giả thiết a2
aa 1
a
2
22 2 2
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức abx yaxby với dấu đẳng thức xẩy ra

 
ab
tại  . Giả sử với các số ; ta có
xy
  
11 1 1 
22 22
Aa  .a .  a
  
22 2 2 2 2
a
aa
  
Ta cần chọn hai số ; sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a2 . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

a2

 4


a1

 1

 

a

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
2
  
11 1 1 1
22 2
Aa  a .41 4a
  
22
17 17 a
aa
  
22

1a 1 15a 1 15 17
  1 

54 a 4 17 2 4

17
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2 .
4
Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn ab4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
11
22
Aa b
22
ab
+ Sai lầm thường gặp:
11
22
Aa b 2222
22
ab
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 22 .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 22 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại
11
ab  ab1
ab
Khi đó ab2 trái với giả thiết ab4
22 22
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức abx yaxby với dấu đẳng thức xẩy ra
 
ab
tại  0 . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
xy
Giả sử với các số ; ta có

  
11 1 1 
2222
a. a.  a
  
22
22 22
a
aa

  

  
11 1 1 

2222
b. b .  b

  
22

22 22
bb b
  



111
Aab 


22
ab
 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại
ab2 . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

a1



 4

a
ab2 

b1 1




b

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

  
11 1 1 1
22 22

a. a.414a
  
22
a
aa

17 17 

  
11 1 1 1
22 22
b. b.414b
  
22

b
cb
17 17 


111
Khi đó ta được A4ab


ab
17


11 4
Để ý ta thấy  , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
ab ab

15 a b
 
141ab4

A4ab  


ab4 a b 4

17 17

1

215 17

17

a1



4a
Dấu đẳng thức xẩy ra ab2

b1



4b
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17. Đẳng thức xẩy ra khi ab2 .
Ví dụ 1.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
abc6
11 1
22 2
Aa b  c 
22 2
bc a
+ Sai lầm thường gặp:
11 1 a b c
3
22 2
Aa  b c  2. 2. 2. 3 2 2 3 2
22 2
bc a bc a
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 32 .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 32 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại
11 1
abc   ab c1
ab c
Khi đó abc3 không thỏa mãn giả thiết abc6
22 22
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức abx yaxby với dấu đẳng thức xẩy ra
 
ab
tại  0 . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
xy
Giả sử với các số ; ta có

  
11 1 1 
2222
a. a.  a
  
22
22 22
b
bb

  

  
11 1 1 

2222
b. b .  b
 
  
22
22 2 2
cc c
  


  
11 1 1 
2222

c. c.  c
  
22
22 22
 a
aa
  




1111
Aabc 


22
ab c
 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại
abc2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

a1


b

 4
b1  4
abc2   abbcca 

 1
c1



c1



a

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

111 1 1
22 22
a. a.414a

  
22
bb b

17 17
  

111 1 1

22 22
b. b.414b
 
  
22
cc c
17 17
  


111 1 1
22 22

c. c.414c

  
22
aa a

17 17
  


1111
Khi đó ta được A4abc


ab c
17


11 1 9
Để ý ta thấy , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
 
ab c ab c

15 ab c
 
191abc9

A4abc   


abc 4 abc 4

17 17


115 3 317
.6 2.

42 2
17

a1


4b

b1
Dấu đẳng thức xẩy ra abc2

4c

c1



4a

317
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , khi abc2
2
Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b,c thỏa abc6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
11 1
22 2
Aa b c
bcc a ab
Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ; ta
có:
 2

  
11 1 1 
22 22


aa a
  

22 22
bc

bcbc
  




11 

2
bb 
 
22
ca
ca




11 
2

cc 

22
ab

 ab





1111
Aabc  


22
abb c ca
 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại
abc2
Do đó ta có sơ đồ điểm rơi

a1


b


 4
b1  4

abc2   abbcca 

 1
c1



c1



a

Lời giải

 
11 1 1 1
22 22
a. a.414a
 

bcbc

17 17 b c
 


11 1

2
b4 b
 
ca
17 c a




11 1
2
c4 c


22
ab
 41 ab


Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được


1111
A4abc  

17ab b c c a


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được

19
A4abc


17 ab ab c a


19

4 a b c


17 6 ab c



131 1 9 9

a b c a b c 


88
17 2 6 ab c 2 6 ab c
 


131 1 9 9 317

.63abc. . 

3

88 2
17 2 6 ab c 2 6 ab c
 

317
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc2
2
Ví dụ 1.5: Cho các số thực dương a, b,c thỏa ab c 2abc 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
222 2 22 2 22
89b ca 8 9c ab 8 9a bc
A       
22 2
24 24 24
ab c
Phân tích: Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại
abc2. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi

a1


b


 4
b1  4
abc2   abbcca 

 1
c1



c1



a

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
222

89b ca 4

218 4.    9bca
2
24 a
a

222

89c ab 4

218 4.    9bca

2
b 24 b

222

89a bc 4
218 4.    9bca

2
24 a
c




14 4 4
Do đó ta được A9abcabbcca
 

ab c
24


44 4
Hay 24.A  9 a b c ab bc ca
 

ab c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
  
44 4
24.Aa b c2abc2 bac2 cab6abc
   
  
ab c
  
44 4
 2 .a 2 .b 2 .c 2 2abc2 2abc2 2abc 6 a b c Suy ra

ab c
12 6 a b c 2abc 72
 
72
ta được A66
24
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 66 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc2.
Ví dụ 1.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
11 1
22 2
A4a 4b4c
22 2
ab c
1
2
Phân tích: Trong ví dụ này ta xét biểu thức đại diện A4a . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử
2
a
căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường:

11 1
2
4a 2a

2
a
a
2

1
Đẳng thức xảy ra khi a , khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa mãn giả thiết của toán.
2
2
Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại abc . Khi đó ta cần chọn một bộ số ; để có đánh giá
3

2
.2a
11 1  
222
a
A4a  2a

  
2
22 22 2 2
a a
    
 2
Dấu đẳng thức xẩy ra tại a với a . Từ đó dễ dàng chọn được ab8; 9
2a 3
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
  
19 11 9
22 2 2
894a 16a 4a 16a
  
22
aa
aa
 145 
  
19 11 9
22 2 2
89 4b  16b 4b 16b
  
22
bb
bb
145
  
  
19 1 1 9
22 2 2
89 4c  16c 4c 16c

  
22
cc
cc
145
  
Từ đó ta được

  
1 1 1 1 1 81 145
A 16abc 9    16abc  Vậy giá
 


ab c ab c 2
145  145 

145 2
trị nhỏ nhất của A bằng . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc .
2 3
3
Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
11 1 1 1 1
22 2
Aa bc
22 2 2 2 2
ab b c c a
11
2
Phân tích: Xét biểu thức Aa . Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực
22
ab

11 1 1 1
2
tiếp thì ta được aa   . Khi đó dấu đẳng thức không xẩy ra tại

22
ab
ab
3

1
abc . Từ đó ta chọn các số p, q, r để có đánh giá như sau:
2

111
2222
Aapqr

22
22 2
ab
pqr
qr
2
pa

1qr
ab
ap

22 2 2 2 2
ab
pqr pq r
11
a 2
ab
Và đẳng thức xảy ra tại  với abc . Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa
pq r 3
1
mãn là p,q r2 .
2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
   
1 1 1 a22 1 1 2 a22
22 2 2
22 a     a   
   
222 22
2ab 2a b ab 2 a b
33
   
   
1 1 1 b 22 1 1 2 b 22
22 2 2
22 b     b    
   
222 22
2bc 2b c bc 2 b c
33
   
  
1 1 1 c 22 1 1 2 c 22
22 2 2
22 c  c  
  
222 22
2ca 2 c a
2ca ca
33
  
Từ đó ta được

  
2ab c 1 1 1 2 3 36 333
A4 

 
2abc 4abc 2
33 33
  

333 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi abc .
2 2
22 2
Ví dụ 1.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a4b 9c 2015 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: Pabc
Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
2
2

11 1
2
Pabcam. bn.cp.

mn p


11 1
22 2 2 2 2
 ambncp

22 2
mnp

22 2
Để sử dụng được giả thiết ta a4b 9c1 cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa
mãn

onthicaptoc.com Cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki