CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị
1
PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN
ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số y f  x
Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10)
2
Câu 1.Cho parabol P : y f x  ax  bx c , a 0 biết: P đi qua M (4;3) , P cắt Ox tại N(3;0)
       
và Q sao cho INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 . Khi đó hàm số f 2x1
 
đồng biến trên khoảng nào sau đây
1
 
A. ; . B. 0;2 . C. 5;7 . D. ;2 .
 
2
 
Lời giải
Chọn C
Vì P đi qua M (4;3) nên 316a 4b c (1)
Mặt khác P cắt Ox tại N(3;0) suy ra 0 9a 3b c (2), P cắt Ox tại Q nên Qt;0, t 3
b

t 3

 a
Theo định lý Viét ta có

c

3t

 a
1 b 
 
Ta có S  IH.NQ với H là hình chiếu của I  ; lên trục hoành
INQ  
2 2a 4a
 
 1 
Do IH   , NQ 3 t nên S 1  . 3 t  1
 
INQ
4a 2 4a
2
2
t 3
b c 2   2 3 8
 
 3 t    3 t  3t   3 t  (3)
     
 
2a a a 4 a a
 
3 7a 1 4 t
Từ (1) và (2) ta có 7a b 3 b 3 7a suy ra t 3  
a a 3
8 4 t
 
3
3 2
Thay vào (3) ta có 3 t   3t  27t  73t 49 0 t 1
 
3
Suy ra a1 b4 c 3 .
2
Vậy P cần tìm là y f  x x  4x 3.
2
2
Khi đó f 2x1  2x1  4 2x1  3 4x 12x 8
     
 3 
Hàm số đồng biến trên khoảng ; .
 
2
 
2
Câu 2.Cho hai hàm số bậc hai y f (x), y g(x) thỏa mãn f (x) 3 f (2 x) 4x 10x10 ;
g(0) 9; g(1) 10; g(1) 4 . Biết rằng hai đồ thi hàm số y f (x), y g(x) cắt nhau tại hai điểm phân
biệt là A, B . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36.
Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ?
A. M 2;1 B. N 1;9 C. P 1;4 D. Q 3;5
       
Lời giải
Chọn B
2 2
Gọi hàm số f (x) ax  bx c ta có f (x) 3 f (2 x) 4x 10x10
2 2 2
 ax  bx c 3a(2 x)  b(2 x) c 4x 10x10
 
2
a1 a 1
 
 
2
 2b12a10  b1 f (x) x  x1.
 
 
12a 6b 4c10 c 1
 
2
Gọi hàm số g(x) mx  nx p ta có g(0) 9; g(1) 10; g(1) 4 ra hệ giải được
2
m2;n 3; p 9 g(x)2x  3x 9 .
Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình
2 2
y x  x1 2y 2x  2x 2
 
  3y x11
 
2 2
y2x  3x 9 y2x  3x 9
 
 
1 11
Do đó đường thẳng AB: y x  d : y3x k . Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại
3 3
k 1 k
 
E 0;k ; F ;0 . Diện tích tam giác OEF là k  6 k6
 
 
3 2 3
 
Vậy phương trình đường thẳng d là: d : y3x 6, y -3x - 6 . Chọn đáp án B
2
Câu 3.Biết đồ thị hàm số bậc hai y ax  bx c (a 0) có điểm chung duy nhất với y 2,5 và cắt
đường thẳng y 2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1và 5 . Tính P a b c .
A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2 .
Lời giải
Chọn D
2
Gọi (P): y ax  bx c, a 0 .
 
Ta có:
a b c 2 b4a
 
+) P đi qua hai điểm 1;2;5;2 nên ta có 
 
25a 5b c 2 c 2 5a
 
+) P có một điểm chung với đường thẳng y2,5 nên
 
2
 b  4ac 1
2 2
2,5  2,5 16a  4a 2 5a  10a 36a 18a 0 a .
 
4a 4a 2
1
Do đó: b2;c .
2
Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y f x trong bài toán không
 
chứa tham số.
Câu 4.Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f 1  0 và
   
6 4 2 2
 f x  x f x  x  3x  2x ,x. Hàm số g x  f x  2x đồng biến trên khoảng
       
 
1 1
   
A. 1;3 . B. 0; . C. ;1 . D. 1; .
   
   
3 3
   
Lời giải
Chọn C
2
6 4 2 6 4 2
Ta có  f  x x f  x x  3x  2x  f  x  x. f  x x  3x  2x  0
 
 
2 6 4 2
Đặt t f  x ta được phương trình t  x.t x  3x  2x  0
2
2 6 4 2 6 4 2 3
Ta có  x  4 x  3x  2x  4x 12x  9x  2x  3x
   
3

x 2x  3x
3
t  x  2x
3


f x  x  2x
 
2

Vậy . Suy ra

3 3
x 2x  3x f x x  x
  

3

t x  x

 2
3
Do f 1  0 nên f x x  x .
   
3
Ta có
1
3 2 2
g x x  2x  x g x 3x  4x1 0  x 1.
   
3
2
Câu 5.Cho đa thức f x hệ số thực và thỏa điều kiện 2 f x  f 1 x  x ,x R. Hàm số
     
2
y 3x. f x  x  4x1 đồng biến trên
 
A. R 1 . B. (0;) . C. R . D. (;0) .
 
Lời giải
Chọn C
2
Từ giả thiết, thay x bởi x1 ta được 2 f 1 x  f x  x1 .
     
2

2 f x  f 1 x  x
   

2
Khi đó ta có 3 f x  x  2x1.
 

2
2 f 1 x  f x  x  2x1
   


3 2 2

Suy ra y x  3x  3x1 y  3x  6x 3 0,x R . Nên hàm số đồng biến trên R .
Câu 6.Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;1 và thỏa f 1  0,
     
2
1
2 3

f  x  4 f  x 8x 16x8. Hàm số g x  f x  x  2x 3 đồng biến trên khoảng nào?
     
3
A. 1;2 . B. 0;3 . C. 0;2 . D.  2;2 .
       
Lời giải
Chọn C
2
Chọn f x  ax  bx c a 0 (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).
   

 f x  2ax b .
 
Ta có:
2
2
2 2 2
f x  4 f x  8x 16x8 2ax b  4 ax  bx c  8x 16x8
      
 
2 2 2 2
 4a  4a x  4ab 4b x b  4c 8x 16x8
   
Đồng nhất 2 vế ta được:
2
4a  4a 8 a 1 a2
 
  
4ab 4b 16  b 2 hoặc b4 .
 

  
2
c3 c6
b  4c8
 

Do f 1 0 a b c 0 a1, b 2 và c3.
x 0
1 
2 3 2 2
Vậy f  x x  2x 3 g x  x  x  g x x  2x g x  0 .
     

3 x 2

Ta có bảng biến thiên
x 0
 2 
0 0
  
g  x
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  0;2 .
3 2 2
Câu 7.Cho hàm số y f x  ax  bx  cx d có đồ thị như hình bên. Đặt g x  f x  x 2 . Chọn
   
 
khẳng định đúng trong các khẳng định sau
4
y
4
x
O
2
A. g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . B. g x đồng biến trên khoảng 1;0 .
       
1 
C. g x nghịch biến trên khoảng ;0 . D. g x đồng biến trên khoảng ;1 .
     
 
2
 
Lời giải
Chọn C
3 2 2

Hàm số y f x  ax  bx  cx d ; f x  3ax  2bx c , có đồ thị như hình vẽ.
   
Do đó x 0 d  4 ; x 2 8a 4b 2c d  0; f 2  012a 4b c 0 ; f 0  0 c 0 .
   
3 2
Tìm được a 1;b3;c 0;d  4 và hàm số y x  3x  4.
3
2 2 2
Ta có g x  f x  x 2  x  x 2  3 x  x 2  4
 
 
   
1

x

2

3  1 
2 2

 g x  2x1 x  x 2 3 2x1  3 2x1 x  x 21 ; g x  0 x 1 .
         
  
2 2
 

x2


Bảng xét dấu của hàm y g x :
 
x
 2 1 
1/ 2

y

  
0 0 0
7 710
 
8
y
4
4
1
 
Vậy y g x nghịch biến trên khoảng ;0 .
 
 
2
 
Câu 8.Cho hàm số y f x liên tục trên  có f 2  0 . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ
     
Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. Hàm số y f 1 x nghịch biến trên ;2 .
 
 
2
B. Hàm số y f 1 x đồng biến trên ;2 .
 
 
5
2
C. Hàm số y f 1 x nghịch biến trên 1;0 .
 
 
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f 2 .
 
Lời giải
Chọn A
Ta có bảng biến thiên của hàm số y f  x
2 2
Ta có f 2  0;1 x  1 f 1 x  0.x
   
2
t 1 x  f t  0 t 2;1  x  3; 3
   
 
0 f t  t ;2  x ; 3  3;
   
   
4xf t f t
2 2 2
g x  f 1 x  g x  f 1 x 
       
2
f t
 
Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số trong bài toán chứa
y f  x
tham số.
3 2
Câu 9.Cho hàm số y f x  ax  bx  cx d , a,b,c,d,a 0 có đồ thị là C . Biết rằng đồ thị
     
C đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số y f x cho bởi hình vẽ
   
y
4
1
x
O
1 1
Tính giá trị H  f 4  f 2 .
   
H  58 H  51 H  45 H  64
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Do là hàm số bậc ba nên  là hàm số bậc hai.
f  x f  x
2
   a 0
Dựa vào đồ thị hàm số f x thì f x có dạng f x  ax 1 với . Đồ thị đi qua điểm A 1; 4
       
2
nên a 3 vậy  .
f  x 3x 1
4 4
2

H  f 4  f 2  f x dx 3x 1 dx 58
Vậy       .
 
 
2 2
6
4 3 2
Câu 10.Cho hàm số f x  ax  bx  cx  dx m , (với a,b,c, d, m ). Hàm số y f x có đồ thị
   
như hình vẽ bên dưới:
Tập nghiệm của phương trình f x  48ax m có số phần tử là:
 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải
Chọn B
3 2
Ta có f x  4ax  3bx  2cx d 1 .
   
3 2

Dựa vào đồ thị ta có f  x a x14x 5 x 3  4ax 13ax  2ax15a 2 và a 0 .
13
Từ 1 và 2 suy ra b a , ca và d 15a .
3
Khi đó:
4 3 2
f x  48ax m
   ax  bx  cx  dx 48ax
13
 
4 3 2
a x  x  x  63x  0

 
3
 
x 0

4 3 2
.
 3x 13x  3x 189x 0 

x 3

Vậy tập nghiệm của phương trình f  x 48ax m là S 0;3 .
4 3 2

Câu 11.Cho hàm số f x  x  bx  cx  dx m , (với a,b,c, d, m ). Hàm số y f x có đồ thị như
   
hình vẽ bên dưới:
Biết rằng phương trình f x  nx m có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên của n .
 
A. 15 . B. 14 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải
Chọn B
3 2

Ta có f x  4x  3bx  2cx d 1 .
   
3 2
Dựa vào đồ thị ta có f x  x1 4x 5 x 3  4x 13x  2x15
     
13
Từ 1 và 2 suy ra b , c1 và d 15.
   
3
Khi đó:
7
4 3 2
f x  nx m  x  bx  cx  dx nx
 
x 0

13
4 3 2

 x  x  x 15x nx
13
3 2

3
x  x  x15 n (*)
 3
Phương trình f x  nx m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
 
khác 0
13
3 2
Xét hàm số g(x) x  x  x15
3
x3

26
2

g (x) 3x  x1 0
1

3 x
 9
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ khi
n 1;2;...;14
 
3 2

Câu 12.Cho hàm số y f  x , hàm số f  x x  ax  bx ca,b,c có đồ thị như hình vẽ
Hàm số g x  f f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
 
 
3 3
A. 1; . B. ;2 . C. 1;0 . D.  ; .
     
 
 
3 3
 
Lời giải
Chọn B

Vì các điểm 1;0 , 0;0 , 1;0 thuộc đồ thị hàm số y f x nên ta có hệ:
       
1 a b c 0 a 0
 
 
3 2
c 0  b1 f x  x  x f x  3x 1
   
 
 
1 a b c 0 c 0
 
   
Ta có: g x f f  x  g  x f f  x . f  x
   
8
3

x  x 0

3
x  x 1

3 2
    
Xét g x  0 g x  f f x . f x  0 f x  x 3x 1  0
           
3

x  x1

2

3x 1 0



x1

x 0


 x 1,325


x1,325

3

x

3

Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên  g x nghịch biến trên ;2
   
Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f  x , xét sự biến
thiên của hàm y f  x ; y f f x ,...y f f f ... x trong bài toán không chứa tham số
        
 

Câu 13.Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f x như hình vẽ dưới đây. Hàm số
   
2
g x  f x  x đồng biến trên khoảng nào?
   
1 1
   
A. ;1 . B. 1;2 . C. 1; . D. ;1 .
   
   
2 2
   
Lời giải
Chọn C
2 2
g x  f x  x  g x  2x1 f x  x .
     
   
1

x

1 2

x 

x 0
2

2x1 0


2

 .
g  x 0  x  x 0 x1

2
f x  x  0 
 

 2

x1
x  x 2 



 x 2


9

onthicaptoc.com Các dạng toán về hàm ẩn trong chương hàm số môn Toán lớp 12 có lời giải