TOÁN HỌC LỚP 7
CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP 0 1 2
- Số tự nhiên: N
- Số nguyên: Z -2 -1 0 1 2
- Số hữu tỉ: Q 2 1 -1/2 0 1 3/2 2
- Số vô tỉ: I 0 2
- Số thực: I+Q=R
II. Số hữu tỉ:
1. Kiến thức cần nhớ:
- Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái
dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm.
- Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách:
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ: ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: )
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0
- Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số:
Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ
1. Qui tắc
- Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
nguyên mẫu. - Phép chia là phép nhân nghịch đảo.
- Nghịch đảo của x là 1/x
Tính chất
x.y=y.x ( t/c giao hoán)
a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y = (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp )
y. z x.1=1.x=x
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) x. 0 =0
(x.y)z = x(y.z) x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối
c) Tính chất cộng với số 0: của phép nhân đối với phép cộng
x + 0 = x;
Bổ sung
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là:
; ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0
-(x.y) = (-x).y = x.(-y)
 
- Các kí hiệu: : thuộc ,  : không thuộc , : là tập con
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 1
TOÁN HỌC LỚP 7
2. Các dạng toán:
Dạng 1: Thực hiện phép tính
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
- áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.
- Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Chỉ được áp dụng tính chất:
a.b + a.c = a(b+c)
a : c + b: c = (a+b):c
Không được áp dụng:
a : b + a : c = a: (b+c)
Ví dụ:
Bài 1:
1 4
 2 1 11 1  9 17 1 1  5 3  
4 :  2
a)  b)  c) . d) 1 .1 e) : ; f)  
3 26 30 5 34 4 17 24 2 4 5 5
 
Bài số 2: Thực hiện phép tính:
2 1 3 1 5
   
 4.   .11 7
a)   b)  
3 2 4 3 6
   
 
111 7 57 1 2 1
c)   d)  
  
24 4 2 8 75 2 7 10
   
 
Bài số 3: Tính hợp lí:
23 16 3 1 135 21 5 41 5 1
       
.. :: :6:
a) b) c)
       
311 9 11 214 7 21 7 7 97 9 7
       
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
-Phương pháp: Nếu là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy
về phía chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số
Ví dụ: biểu diễn số : ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được
phân số biểu diễn số
Hình vẽ:
Nếu là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm
trục Ox a phần , ta được vị trí của số
BÀI TẬP
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a.
Dạng 3: So sánh số hữu tỉ.
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 2
TOÁN HỌC LỚP 7
* Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
* So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1…
* Dựa vào phần bù của 1.
* So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia)
BÀI TẬP
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau:
25 444 1 110 17
a) x và y ; b) x2 và y c) x và y = 0,75
35 777 5 50 20
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau:
1 1
1 7 3737 37 497 2345
a) và ; b) và ; c) và d) và
2010 19 4141 41 499 2341 2 3
2 3 2000 2001 2001 2002 3 4 19 31
e) và f) và ; g) và ; h) và ; k) và
5 4 2001 2002 2000 2001 5 9 60 90
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm).
Phương pháp:
Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0.
m 2011
Ví dụ: Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì :
x
2013
a) x là số dương. b) x là số âm. c) x không là số dương cũng không là số âm
HD:
a. Để x>0 thì , suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011
b. Để x<0 thì , suy ra m-2011<0 ( vì 2013>0), suy ra m<2011
c. Để x=0 thì , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011
BÀI TẬP:
20m11
Bài 1. Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của m thì:
2010
a) x là số dương. b) x là số âm
7
Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ dưới dạng sau:
20
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương.
1
Bài 3. Viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
5
11
Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ dưới các dạng sau:
81
a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 3
TOÁN HỌC LỚP 7
1
Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ dưới các dạng sau:
7
a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm.
Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng:
Phương pháp:
- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số
Ví dụ: Tìm a sao cho
HD: Từ bài ra ta có: ; suy ra 8BÀI TẬP
Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn và nhỏ hơn .
Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho:
a) c)
b) d)
Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên.
Phương pháp:
- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.
- Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.
- Với các bài toán tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.
Ví dụ: Tìm x để A= là số nguyên
Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1
Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1 -5 -1 1 5
x -4 0 2 6
Ví dụ: Tìm x để B= là số nguyên
Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới
mẫu số):
- Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu.
B= , ( điều kiện: x≠ 1).
Để B nguyên thì là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1 -5 -1 1 5
x -4 0 2 6
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 4
TOÁN HỌC LỚP 7
Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết:
- Các bước làm:
- Tìm điều kiện.
- , nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu
Điều kiện: x ≠ 1.
Ta có:
x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1)
Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1 -5 -1 1 5
x -4 0 2 6
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
Giải: Ta có suy ra suy ra.
Hay (6x+4)-(6x+3) => 1 2x+1=> 2x+1 Ư(1)={-1;1}
suy ra x=0, -1
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên:
a. A= b. B=
HD:
2
a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x +4x x+4 (1)
2
Để A nguyên thì x +4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 .
x+4 -1 1 -7 7
X -5 -3 -11 3
2
x+4, suy ra x(x+4) , hay x +4x x+4 (1)
b. x+4
2
Để B nguyên thì x +7 x+4 (2)
2 2
Từ (1) (2) suy ra (x +4x)- (x +7) x+4
4x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4
x+4 -1 1 -23 23
x -5 -3 -27 19
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 5
TOÁN HỌC LỚP 7
Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau:
- Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y).
- Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích.
Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1
Giải:
y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y )
y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 )
(x+3)(y-3)=-10
Lập bảng:
x+3 1 10 -1 -10 5 2 -5 -2
y+3 10 1 -10 -1 2 5 -2 -5
X -2 7 -4 -13 2 -1 -8 -5
Y 7 -2 -13 -4 -1 2 -5 -8
Với các biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0
Ví dụ: (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy)
 3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)
 x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9
Lập bảng:
x-3 1 -9 -3 3
3-y -9 1 3 -3
x 4 -6 0 6
y 12 2 0 6
BÀI TẬP
101
Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = là một số nguyên.
a7
3x 8
Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = là một số nguyên.
x5
2m 9
Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x là phân số tối giản, với mọi m N
14m 62
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên
A= ; B= ; C= ; D= ; E=
Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn:
a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 6
TOÁN HỌC LỚP 7
Dạng 7: Các bài toán tìm x.
Phương pháp:
- Quy đồng khử mẫu số
- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không.
- Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các
bài toán tìm x có quy luật.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm x, biết:
35 215
528 42
a) x. ; b) 1.x ; c) x: ; d) :x
 
721 99 516 75
 
Bài 2. Tìm x, biết:
25 3 31 3
a) x ; b) x
37 10 42 7
Bài 3. Tìm x, biết:
241 3
13 33 x5x6 x7
a) xx ; b) x:x0 ; c)  3
 
25 25 39 2 7 2005 2004 2003
 
x13xx5x7 x29xx2717x15
  
Bài 4: a) b)
65 63 61 59 31 33 43 45
x6xx8 10x12 1909 x 1907xxx1905 1903
c)   d)   40
1999 1997 1995 1993 91 93 95 91
x29xx27 25x 23x 21x19
e)     
1970 1972 1974 1976 1978 1980
x1970xxxx1972 1974 1976 1978x1980
    
29 27 25 23 21 19
HD:
=> => x= -2010
Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
x13xx5x7
a)  (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử)
35 33 31 29
x10xx8 6x 4x 2
b)    (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
1994 1996 1998 2000 2002
x2002xx2000 1998x1996x1994
   
24 6 8 10
x1991xxx199319951997x1999
c)   
9 753 1
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 7
TOÁN HỌC LỚP 7
x97xx5x3x1
    (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
1991 1993 1995 1997 1999
x85xx74 67x 64
d)    10 (Chú ý: 101 234 )
15 13 11 9
x1 2xx13 315 4x 27
e)   (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)
13 15 27 29
Dạng 8: Các bài toán tìm x trong bất phương trình:
Phương pháp:
- Nếu a.b>0 thì hoặc ; - Nếu a.b≥0 thì hoặc ;
- Nếu a.b<0 thì hoặc ; - Nếu a.b≤0 thì hoặc
- Nếu thì hoặc ;- Nếu hoặc ;
- Nếu hoặc ; - Nếu hoặc
Chú ý: Dạng toán a.b<0 có cách giải nhanh bằng việc đánh giá. Hãy xem Ví dụ c.
Ví dụ:
a. (2x+4)(x-3)>0 b. c. (x-2)(x+5)<0
HD:
a. (2x+4)(x-3)>0 suy ra hoặc
=> hoặc => hoặc =>x>3 hoặc x<-2
b. suy ra hoặc => hoặc (không tồn tại x)
=> -5c. (x-2)(x+5)<0. Vì x+5>x-2 nên (x-2)(x+5)<0 khi => => -5BÀI TẬP:
Tìm x biết:
a. (x-1)(x+4)>0 b. (3x-1)(2x+4)≥0 c. (3-x)(x+1)<0
d. (x-7)(3x+4)≤0 e.
Dạng 9: các bài toán tính tổng theo quy luật:
Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau một số không đổi:
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 8
TOÁN HỌC LỚP 7
- Tính số các số hạng:
- Tổng =
Ví dụ: 1+2+3+……..+99 (khoảng cách bằng 2)
số các số hạng: số hạng
Tổng =
Chú ý:
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ]
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ (n – 1) n = n. (n – 1 ).(n + 1)
A = 1+2+3+…+(n-1)+n = n (n+1):2
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1)
2 2 2 2 2
A = 1 +2 +3 +...+99 +100 = n(n+1)(2n+1):6
Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n:
Phương pháp:
- Tính A.n
- Tính A.n-A rồi suy ra tổng A
2 3 100
Ví dụ: A= 2+2 +2 ….+2 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị)
2 3 4 101
Ta có : 2.A=2 +2 +2 ….+2 (nhân 2 vế với n=2)
2 3 4 101 2 3 100
2A-A=2 +2 +2 ….+2 -(2+2 +2 ….+2 ) (chú ý: 2A-A=A)
101
A=2 -2
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi.
Phương pháp:
Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu
Ví dụ: A=
=
BÀI TẬP:
11 1 1 1 1
A =    ... .
199 199.198 198.197 197.196 3.2 2.1
22 2 2 2
B = 1.  ..  .
3.5 5.7 7.9 61.63 63.65
11 1 11
 
Tìm x, biết:
x(x1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) x 2010
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không
đôi:
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 9

onthicaptoc.com Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 – Ngô Văn Thọ