CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
· Định lí Pi-ta-go:
· ; ·
· ·
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH.
HD:
, , , .
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10cm, AB = 8cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH.
HD:
BC=2; BH=32/41 ; CH=50/41; AH=40/41.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết .
HD: , .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 10cm, CH = 42 cm. Tính BC, AH, AB và AC.
HD:
, , , .
Bài 5. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là a) Tính cạnh BC. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN.
HD:
a, Gọi P và Q là chân đường cao kẻ từ D và C xuống AB: AP=QB mà PQ=DC=10cm nên AP=QB=(30-10):2=10cm.
b, NM=DP=AP.=10cm.
Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng và góc A là a) Tính đường chéo BD. b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c)Tính HK. d) Vẽ BE ^ DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.
HD:
a, BD2=AB2+AD2 => BD=10cm.
b, ABC đều (AB=AC mà ) nên BH=5cm,
ADK có nên KD=1/2AD=5cm,
c, ABH có nên AH=1/2AB=5cm, mà AK2=AD2-DK2=75 nên AK=5cm
suy ra HK=5-5 cm.
d, ADC cân có nên =>
nên BEC vuông cân tại E nên BE=EC mà BE2+EC2=BC2 => BE=EC=5cm.
Trong KDC có KD=5cm, KC=AC-AK=10-5 cm Dùng pytago tính DC.
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ^ AB. Trên Ox, lấy điểm D sao cho . Từ B kẻ BC vuông góc với đường thẳng AD. a) Tính AD, AC và BC theo a. b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.
HD:
a, AD= DADO DABC nên AD.AC=AB.AO => AC= Dùng pytago cho tam giác ABC để tính BC= .
b, Chỉ ra OA=OB=OC=OE.
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC= góc ANB=900. Chứng minh: AM = AN.
HD: DABD DACE Þ .
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC.
HD:
Đặt . Từ AH.BC = AB.AC Þ . HD: .
Bài 10. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết , tính diện tích hình thang ABCD.
Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5. HD: .
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn a.
; ; ;
Chú ý:
· Cho góc nhọn a. Ta có: .
· Cho 2 góc nhọn a, b. Nếu (hoặc , hoặc , hoặc ) thì .
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.
Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana
cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana
Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700…..
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
a
Tỉ số LG
1
1
4. Một số hệ thức lượng giác
; ; ;
; ;
5. Công thức tính diện tích tam giác:
= P.r =
R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp.
( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó).
Trong tam giác bất kì:
Với a là cạnh đối diện góc A, b là cạnh đối diện góc B, c là cạnh đối diện góc C.
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 64cm và CH = 81cm. Tính các cạnh và góc tam giác ABC.
HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm
CosC= nên .
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm. b) BC = 13 cm, AC = 12 cm. c) AC= 4cm, AB=3cm.
HD:
a) ;
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10cm và AC = 15cm. a) Tính góc B. b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI. c) Vẽ AH ^ BI tại H. Tính AH.
HD:
a, tanB= nên .
b, tan nên AI=AB. tan=10.tan280 =5,3cm
c, sin nên AH=AB.sin = 10.sin280 =4,7cm.
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau: a) . b) . c) d) e) f)

HD: Dùng công thức: sin(900-a)=cosa; tan(900-a)=cota.
a)(
b) c) d) 0 e) 2 f) 0.
Bài 5. Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a, tính các tỉ số lượng giác còn lại của a: a) b) c) d)
HD: Dùng các công thức trong mục 4 ( một số hệ thức lượng ) để tính. Chú ý góc a nhọn thì sina >0; cosa >0.
a) b)
Bài 6. a. Cho góc nhọn a. Biết . Tính . b. Cho tana=2. Tính A=(sina-3cosa)/(3sina+7cosa)
HD:
a, cosa- sina= (1) nên (cosa -sina )2= hay cos2a + sin2a -2cosa.sina = hay sina.cosa =
Ta có: (cosa + sina )2= cos2a + sin2a + 2cosa.sina= nên cosa+sina= (2)Từ (1)(2) tính được cosa và sina, từ đó tính cota. (HD: )
b, Chia cả tử số và mẫu số cho cosa ta được: A= .
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết . Tính .
HD: .
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau: a) b) c) d) e) f)
HD:
a) b) 2 c) d) 1 e) f) 1.
Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau: a) b)
HD:
a, Biến đổi tương đương hai vế
b, Biến đổi vế trái.
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. a) Chứng minh: . b) Có thể xảy ra đẳng thức không? c) Chứng minh: ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó).

HD: a) Vẽ đường cao AH. Xét AHB và AHC có:
nên hay .
Tương tự ta cũng chứng minh :
b) không. Vì . (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Nếu thì a=b+c: Vô lí.
c) mà
Suy ra:
. Các công thức khác chứng minh tương tự.
III. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
;
;
BÀI TẬP:
Bài 1. Giải tam giác vuông ABC, biết góc A=900 và: a) b)
HD:
a)B=420, C=480, c=11,18cm b) B=600, C=300, a=14cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm. Tính diện tích tam giác ABC.
HD: . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm. Tính diện tích tứ giác.
HD: . Vẽ BH ^ CD. Tính DH, BH, CH.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết , góc AOB =500. Tính diện tích tứ giác ABCD.
HD: . Vẽ AH ^ BD, CK ^ BD. Chú ý: .
Bài 5. Chứng minh rằng: a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
HD: a) Gọi a là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. Vẽ đường cao CH.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m. a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính .
HD:
a, Dùng Pytago b,
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112, HC = 63. a) Tính độ dài AH. b) Tính độ dài AD.
HD: a) AH = 84 b) .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6. a) Tính AB, AC, BC, BH. b) Tính diện tích tam giác ABC.
HD: a) , , b) .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25. a) Tính AB, AC, BC, CH. b) Tính diện tích tam giác ABC.
HD:
a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB để tính AB.
Dùng công thức: AB2=BH.BC để tính BC và suy ra HC.
AH.BC=AC.AB để tính AC.
b, .
Bài 5. Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy. b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD. c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD.
HD: a) Vẽ AE // BD Þ AB = ED và AE ^ AC. b) S = 150
c) .
Bài 6. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35.
HD: S = 210. Vẽ BE // AC (E Î CD) Þ .
Bài 7. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17. a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông. b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
HD: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm Þ DABC vuông tại A.
b) Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. .
Với ; ; ; ta được r=9cm.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết góc A=480, AH=13cm. Tinh chu vi DABC
HD: .
Bài 9. Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC. a) Chứng minh . b) Chứng minh đồng dạng CDB. c) Tính tổng góc (AEB+BCD).
HD: a) c) Góc(AEB+BCD)=ADB=450.
Bài 10. Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a. a) Tính . b) Tính diện tích hình thang ABCD.
HD: a)
b) TH1: ABCD là hình thang cân, kẻ CH và DM cùng vuông góc với AB,
- Tính CH rồi suy ra HB, mà AM=HB nên DC=HM. => SABCD
TH2: Nếu ABCD là hình bình hành thì SABCD=2SABC=AC.CB
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính c) Chứng minh d) Chứng minh: .
HD: a) , , b) =3/2
d)góc =900.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh là một tam giác vuông.
HD: Chứng minh .
Bài 13. Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: a) . b) .
HD: a) Chứng minh b)
Bài 14. Cho ABC vuông tại A có . Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.
HD: ; ; ; .
Bài 15. Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh: a) DANL ∽DABC b)
HD:
a, Xét ALC và ANB có nên ALC ANB (g.g) nên
.
Xét ANL và ABC có ; nên ANL ABC (c.g.c)
b, AN=AB.cosA; BL=BC.cosB; CM=AC.cosC.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A có , BC = 4cm. a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính , AH, AM, HM, HC. b) Chứng minh rằng: .
HD: a) ; ; ; ;
b) .
Bài 17. Cho tam giác ABC cân tại A, Có , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC. a) Tính AD, DC. b) Kẻ CK BD. Giải tam giác BKC. c) Chứng minh rằng .
HD:
a, BCD cân tại C, CDA cân tại A ( Hai góc ở đáy bằng nhau)
Nên DC=DA=BC=1cm
b, BKC có:
nên CK=BC.sinB=1.sin720
Nên BK=BC.cosB=1.cos720
c, cos360=cosA= ; đặt AB=AC=2x, suy ra DB=AB-AD=2x-1, theo tính chất phân giác ta có:
suy ra . Tìm được x= ( vì x>0) hay AH= .
Thay AD,AH vào cos360=cosA= => đpcm.
Bài 18. Cho tam giác ABC có AB = 1, , . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AB (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC. a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH. b) Chứng minh góc =450. c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF. d) Chứng minh . Từ đó suy ra AD = AF.
e) Chứng minh rằng: .
HD:
a, BEA có AB=BE=1cm và nên BEA đều. AH=AB.cosB=1.cos600= .
b,
Vì mà nên .
c, Ta có: , từ đó tính sin600, cos600…
d, AED và AEF có: AE chung, ; nên
AED = AEF ( g.c.g) và AD=AF ( hai cạnh tương ứng).
e, Ta có:
.
Bài 19. Giải tam giác ABC, biết: a) b) . c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền , đường cao AH = 4. d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền , một góc nhọn bằng .
HD:
a, ; AB=BC.cosB=10.cos750=2,59cm; AC=9,66cm
b, ; Kẻ AH vuông góc BC thì BH=HC.
Ta có: BH=AB.cosB=6.cos300= cm nên BC= cm.
c, BC==2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vuông).
AM=BM=5cm mà AH=4cm nên HM=3cm ( dùng Pytago) hay BH=2cm.
Mà BH2+AH2=AB2. Từ đó tính AB và AC ( Dùng Pytago).
d, nên ; BC=2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vuông)
AB=BC.cosB=10.cos470=6,8cm; AC= 7,33cm.
Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. a) Giải tam giác vuông ABC. b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. c) Tính: EA.EB + AF.FC.
HD: a) , B=600, C=300 b)
c)AE.EB = EH2; AF.FC = HF2; nên AE.EB+AF.FC=EH2+HF2=EF2=AH2= .
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN
I. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1. Đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.
2. Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và điểm M.
· M nằm trên đường tròn (O; R) Û .
· M nằm trong đường tròn (O; R) Û .
· M nằm ngoài đường tròn (O; R) Û .
3. Cách xác định đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
4. Tính chất đối xứng của đường tròn
· Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
· Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
BÀI TẬP:
Bài 11. Cho tứ giác ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
HD: Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 12. Cho hình thoi ABCD có . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn.
HD: Chứng minh EFGH là hình chữ nhật, DOBE là tam giác đều.
Bài 13. Cho hình thoi ABCD. Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Chứng minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD.
HD: Chứng minh E, F là giao điểm của các đường trung trực tương ứng.
Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA. Bán kính OC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại D. Vẽ CH ^ AB. Chứng minh tứ giác ACDH là hình thang cân.
HD: Chứng minh DADO = DCHO Þ OD = OH, AD = CH. Chứng minh HD // AC.
Bài 15. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có , CD = 2AD. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
HD: Chứng minh , với I là trung điểm của CD.
Bài 16. Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. M, N, R và S lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA. Chứng minh 4 điểm M, N, R và S cùng thuộc một đường tròn.
HD:
AOB=COB nên hay mà AB=BC nên OM=ON.
Chứng minh tương tự ta được: MO=ON=OR=OS nên M,N,R,S cùng thuộc một đường tròn.
Bài 17. Cho hai đường thẳng xy và x¢y¢ vuông góc nhau tại O. Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động sao cho A luôn nằm trên xy và B trên x¢y¢ . Hỏi trung điểm M của AB chuyển động trên đường nào?
HD:
AOB vuông tại O nên gọi I là trung điểm AB thì OI là trung tuyến => OI=3cm,
Khi A,B thay đổi thì OI=3cm nên trung điểm I của AB luôn chạy trên đường tròn (O;3cm)
Bài 18. Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK. a) Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó. b) So sánh KH và BC.
HD:
a, Gọi I là trung điểm BC, vì CHB và CKB vuông nên HI=KI=IC=IB nên B,C,H,K cùng nằm trên đường tròn tâm I.
b, Vì BC là đường kính nên KHII. DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
· Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
· Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
· Trong một đường tròn:
– Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
– Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
· Trong hai dây của một đường tròn:
– Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
– Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Đi qua 3 đỉnh của tam giác và có tâm là giao 3 đường trung trực của 3 cạnh.
Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và ba dây AB, AC, AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh rằng MN ≤ 2R.
HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AB Þ MN ≤ AB.
Bài 2. Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: .
HD: .
Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB. Qua M vẽ dây CD không trùng với AB. Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD.
HD: Dùng phương pháp phản chứng. Giả sử M là trung điểm của CD Þ vô lý.
Bài 4. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M. a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b) Giả sử . Tính CD. c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: .
HD: a) ACED là hình thoi b)
c)
Vì Với MA.MB=MC2; AC.BC=AM.AB.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
HD: .
Bài 6. Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua M, N (M ở giữa C và N). a) Chứng minh CM = DN. b) Giả sử . Tính OM theo R sao cho .
HD:
a) Vẽ OH ^ CD Þ H là trung điểm của CD và MN.
b) Đặt OH = x. C. minh DHOM vuông cân Þ HM = x. Do CM = MN = ND Þ HC = 3x
Þ .
Bài 7. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Qua M, N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB). a) Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật. b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn . Tính diện tích hình chữ nhật CDFE.
HD: a) Vẽ OH ^ CD. Đường thẳng OH cắt EF tại K Þ OH = OK Þ CD = EF.
b) . V ì nên CF là đường kính. .
Bài 8. Cho đường tròn (O) và một dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại H. Tính bán kính R của (O) biết: CD = 16cm và MH = 4cm.
HD:
OM=R-4 và MD=8cm.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác OMD:
MO2+MD2=OD2 => (R-4)2+64=R2 => R=10cm.
Bài 9. Cho đường tròn (O; 12cm) có đường kính CD. Vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho góc NID bằng . Tính MN.
HD:
Gọi H là trung điểm MN suy ra OH vuông góc MN.
OH=IO.sin300=3 cm
HO2+HM2=R2 để tính HM và MN=2HM.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng D. Đặt .
VTTĐ của đường thẳng và đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
2
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
1
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
0
Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường thẳng và đường tròn là tiếp điểm.
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
· Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
· Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
· Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
· Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
· Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
4. Đường tròn nội tiếp tam giác
· Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác là ngoại tiếp đường tròn.
· Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
5. Đường tròn bàng tiếp tam giác
· Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia là đường tròn bàng tiếp tam giác.
· Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
· Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O). b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
HD:
a) D, E nằm trên đường tròn đường kính AH.
b) Chứng minh =>.
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho . Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh rằng: a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) .
HD: a) Chứng minh DCOM vuông tại C. b) .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E. a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn. b) Tính độ dài HE.
HD: a) Gọi O và F là lần lượt là trung điểm của CD và AE. Chứng minh DE // AB, HF ^ AE =>. b) .
Bài 4. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên tia OB lấy điểm C sao cho BC = BO. Chứng minh rằng .
HD: Chú ý DOMC cân tại M.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Chứng minh rằng khi và chỉ khi .
HD: Chú ý DABO vuông tại B.
Bài 6. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M. a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi. b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).
HD: a) Chứng minh ON // AB, OM // AC. b) .
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành. b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy.
HD: a) Chứng minh AD // BC (cùng vuông góc với OA).
b) Gọi E là giao điểm của OM và AC Þ E là trung điểm của AC.
Bài 8. Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng , trong đó p là nửa chu vi tam giác, a là độ dài cạnh huyền.
HD: Gọi D, E, F là các tiếp điểm của (O) với các cạnh tam giác Þ AEOF là hình vuông.
Bài 9. Chứng minh rằng diện tích tam giác ngoại tiếp một đường tròn được tính theo công thức: , trong đó p là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp.
HD: Diện tích tam giác bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ.
Bài 10. Cho đường tròn (O), dây cung CD. Qua O vẽ OH ^ CD tại H, cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) tại M. Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O).
HD:
Xét MCO và MDO: MO chung, OC=OD=R;
nên MCO=MDO (c.g.c) nên nên MD là tiếp tuyến (O).
Bài 11. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tia Ax ^ AB và By ^ AB ở cùng phía nửa đường tròn. Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại I cắt Ax tại C và By tại D. Chứng minh rằng AC + BD = CD.
HD:
Ta có: CI=AC; ID=DB nên AC+BC=CD
Bài 12. Cho đường tròn (O; 5cm). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho MA ^ MB tại M. a) Tính MA và MB. b) Qua trung điểm I của cung nhỏ AB, vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB tại C và D. Tính CD.
HD:
a, OAMB là hình vuông
b, mà MO vuông góc DC nên OIC vuông cân tại C suy ra IC=IO=R hay CD=2R=10cm.
Bài 13. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc . Biết chu vi tam giác MAB là 18cm, tính độ dài dây AB.
HD: .
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
1. Tính chất đường nối tâm
· Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.
· Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
· Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (O; R) và (O¢; r). Đặt .
VTTĐ của hai đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức giữa d với R và r
Hai đường tròn cắt nhau
2
Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
– Tiếp xúc ngoài
– Tiếp xúc trong
1
Hai đường tròn không giao nhau:
– Ở ngoài nhau
– (O) đựng (O¢)
0
3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2) và (C; R3) đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Tính R1, R2 và R3 biết AB = 5cm, AC = 6cm và BC =7cm.
HD: , , .
Bài 2. Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O¢; 5cm) cắt nhau tại A và B. Tính độ dài dây cung chung AB biết OO¢ = 8cm.
HD: .
Bài 3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O¢; R¢) cắt nhau tại A và B với R > R¢. Vẽ các đường kính AOC và AO¢D. Chứng minh rằng ba điểm B, C, D thẳng hàng.
HD: Chứng minh BC, BD cùng song song với OO¢ hoặc chứng minh .
Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O¢) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến chung MAN sao cho MA = AN. Đường vuông góc với MN tại A cắt OO¢ tại I. Chứng minh I là trung điểm của OO¢.
HD: Kẻ OH và O’P vuông góc với NM, suy ra MH=HA=AP=PN suy ra AI là đường trung bình của hình thang HPO’O nên I là trung điểm OO’.
Bài 5. Cho hai đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao điểm một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC và tiếp tuyến chung trong. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO¢ tại M.
HD: Ta có AM=MB=MC nên M là trung điểm BC, Từ M kẻ vuông góc với BC cắt OO’ tại I thì I là trung điểm OO’ ( tính chất đường trung bình của hình thang)
Ta có: nên nên MI là đường trung tuyến của tam giác vuông OMO’ suy ra MI=IO=IO’. Vậy IM vuông BC và IM=OO’:2 nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ tại M.
Bài 6. Cho hai đường tròn (O; R) và (O¢; R) tiếp xúc ngoài nhau tại M. Hai đường tròn (O) và (O¢) cùng tiếp xúc trong với đường tròn lớn (O¢¢; R¢¢) lần lượt tại E và F. Tính bán kính R¢¢ biết chu vi tam giác OO¢O¢¢ là 20cm.
HD:
Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nên OO’=R+R’.(1)
Vì (O) và (O’’) tiếp xúc trong nên OO’’=R’’-R. (2)
Vì (O’) và (O’’) tiếp xúc trong nên O’O’’=R’’-R’ (3).
Từ (1)(2)(3) suy ra Chu vi tam giác OO’O’’=2R’’=20cm nên R’’=10cm.
Bài 7. Cho đường tròn (O; 9cm). Vẽ 6 đường tròn bằng nhau bán kính R đều tiếp xúc trong với (O) và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh nó. Tính bán kính R.
HD:
Gọi tâm của sáu đường tròn nhỏ là A,B,C,D,E,F. Suy ra ABCDEF là lục giác đều và ABO là tam giác đều nên AB=OB=9-R hay 2R=9-R ( vì AB=2R) suy ra R=3cm.
Bài 8. Cho hai đường tròn đồng tâm. Trong đường tròn lớn vẽ hai dây bằng nhau AB = CD và cùng tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại M và N sao cho AB ^ CD tại I. Tính bán kính đường tròn nhỏ biết IA = 3cm và IB = 9cm.
HD: Từ O kẻ OH vuông góc AB, OP vuông góc CD, suy ra HB=HA=6cm, mà IA=3cm nên IH=3cm.
Kẻ OP vuông góc với CD thì IPOH là hình vuông, suy ra OP=R=IH=3cm. Vậy R=3cm.
Bài 9. Cho ba đường tròn cùng có bán kính R và tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
HD: Tam giác đều cạnh R Þ .
Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúc nhau tại A. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đường tròn (O) tại B và cắt đường tròn (O¢) tại C. Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O). Từ C vẽ đường thẳng uv song song với xy. Chứng minh rằng uv là tiếp tuyến của đường tròn (O¢).
HD: Xét hai trường hợp tiếp xúc ngoài và trong. Chứng minh OB // O¢C Þ O¢C ^ uv.
Bài 11. Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn (D; DC) và đường tròn (O) đường kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng: a) N là trung điểm của AD. b) M là trung điểm của AB.
HD:
a) DABN = DCDO Þ AN = CO b) DBCM = DCDO Þ BM = CO.
Bài 12. Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N). a) Chứng minh hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau. b) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông. c) Gọi giao điểm của hai đường tròn (I), (K) là A và B. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. d) Giả sử I và K theo thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
HD: a) Xét DOIK Þ b) .
c) Gọi . OKBI là hình chữ nhật, BLMI là hình vuông. DBLP = DKOI Þ LP = OI Þ MP = OM = MC Þ P º C.
d) OM = a. Hình vuông OMCN cạnh a, cố định Þ AB đi qua điểm C cố định.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường phân giác BI. a) Chứng minh rằng đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC. b) Cho biết AB = a. Chứng minh rằng . Từ đó suy ra .
HD: a) Vẽ ID ^ BC Þ IA = ID
b) Xét DABI Þ . DDIC vuông cân Þ AI = DC = .
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi. c) Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào?
HD: a) Chứng minh DMAB cân, MH, MO là các tia phân giác của .
b) Chứng minh AOBH là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
c) H di động trên đường tròn (A; R).
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy. a) Chứng minh rằng MC = MD. b) Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn. c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB. d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
HD: a) OM là đường trung bình của hình thang ABCD.
b) AD + BC = 2R c) Vẽ ME ^ AB. DBME = DBMC Þ ME = MC = MD
d) S = 2R.ME ≤ 2R.MO Þ S lớn nhất Û M là đầu mút của bán kính OM ^ AB.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D, E sao cho . a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi. b) Chứng minh DBOD ∽ DOED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE. c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.
HD: a) DBOD ∽ DCEO Þ BD.CE = b) Þ DBOD ∽ DOED
c) Vẽ OK ^ DE. Gọi H là tiếp điểm của (O) với cạnh AB. Chứng minh OK = OH.
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn đó (E không trùng với A và B). Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By tại C, tia BE cắt Ax tại D. a) Chứng minh rằng tích AD.BC không đổi. b) Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy hoặc song song với nhau. c) Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.
HD: a) DABD ∽ DBCA Þ
b) DMAE cân Þ DMDE cân Þ MD = ME = MA. Tương tự NC = NB = NE. Sử dụng bổ đề hình thang Þ đpcm.
c) S = 2R.MN Þ S nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất Û MN ^ AD Û OE ^ AB. .
Bài 6. Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O¢) tiếp xúc với AB tại B. Hai đường tròn này luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Hỏi tiếp điểm M của hai đường tròn di động trên đường nào?
HD: Từ M vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, cắt AB tại I. Chứng minh IA = IB = IM. Từ đó suy ra M di động trên đường tròn tâm I đường kính AB.
Bài 7. Cho đường tròn (O; R) nội tiếp DABC. Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của AB, AC, BC với (O). Chứng minh rằng: .
HD:
( Chú ý: AMO=ANO (ch-gn) nên AM=AN)
Bài 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK.
HD: Vẽ EH ^ CD. Chứng minh EH = EK Þ CH = DK.
Bài 9. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm). Cho biết góc . a) Tính góc . b) Từ O kẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.
HD: a) b) Chứng minh
Bài 10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông. b) Chứng minh: MC.MD = OM2. c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC và BD theo R.
HD: a) OC ^ OD c) , .
Bài 11. Cho hai đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và đường kính BC của đường tròn (O¢). Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại M và N. a) Đường thẳng CM cắt (O¢) tại P. Chúng minh: OM // BP. b) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh tam giác OCD là tam giác cân.
HD: a) OM ^ MC, BP ^ MC b) CD // OM; DOCD cân tại D.
Bài 12. Cho hai đường tròn (O; R) và (O¢; R¢) cắt nhau tại A và B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O¢; R¢/). Biết R = 12cm, R¢ = 5cm. a) Chứng minh: O¢A là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). b) Tính độ dài các đoạn thẳng OO¢, AB.

onthicaptoc.com Cac dang toan hinh hoc lop 9