onthicaptoc.com
CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa 1: Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu hay khi .
Chú ý. Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau:
- với là một số nguyên dương;
- nếu ;
- Nếu với mọi và thì .
Định nghĩa 2: Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu hay khi .
2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
a) Nếu và thì

(nếu ).
b) Nếu thì
3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn có công bội , với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
Ta nói dãy số có giới hạn là khi, nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay khi
Dãy số có giới hạn là khi , nếu .
Kí hiệu: hay khi
Nhận xét:
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) với nguyên dương;
b) nếu .
Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:
a) Nếu và thì.
b) Nếu , và thì
c) Nếu và thì
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ
1. Phương pháp
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của , với là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn.
Chú ý : Cho lần lượt là các đa thức bậc theo biến
Khi đó , viết tắt , ta có các trường hợp sau :
Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu () thì
Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu () thì
Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu () thì
Để ý rằng nếu có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể tì có bậc là Ví dụ có bậc là có bậc là
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Tính .
Ví dụ 2: Tính
Ví dụ 3: Tính
Ví dụ 4: Cho dãy số với trong đó là tham số thực. Để dãy số có giới hạn hữu hạn, giá trị của bằng bào nhiêu
Ví dụ 5: Cho dãy số với Để dãy số đã cho có giới hạn bằng , giá trị của bằng bao nhiêu
Ví dụ 6: Tính giới hạn
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức
1. Phương pháp
* Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Tính
Ví dụ 2. Tính
Ví dụ 3. Tính
Ví dụ 4. Tính
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ
1. Phương pháp
Trong tính giới hạn mà là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: với
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính
Ví dụ 2: Tính
Ví dụ 3: Tính
Ví dụ 4: Tính
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc sao cho là một số nguyên.
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là
* Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un)
* Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số.
Ví dụ 3: Tổng có kết quả bằng bao nhiêu?
Ví dụ 4: Cho
Biểu thị biểu thức theo
Ví dụ 5: Tìm số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn, biết
Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn
1. Phương pháp
1) Dạng tồng các phân số.
Ví Dụ:
Ta phân tích : .(1)
Để tính ta thay từ vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng
2) Dạng tích các phân số:
Ví dụ:
Ta phân tích:
Để tính ta thay từ vào biểu thức ta tính dễ dàng
3) Dang đa thức:
a) Mỗi đơn thức ở dạng tích:
Ví dụ:
Ta tách:

Để tính ta thay từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng
Ví dụ:
Ta tách:
Đề tính ta thay từ : vào biều thức (4) ta tính dễ dàng
4 ) Đơn thức dạng lũy thừa
Ví Dụ: Tính
Ta dùng hẳng đẳng thức : .
…
Cộng vế theo vế
Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh.
Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho . Tính
Ví dụ 2: Cho Tính
Ví dụ 3: bằng bao nhiêu?
Ví dụ 4: Tính giới hạn:
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy:
Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy:
Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy:
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Cac dang toan gioi han cua day so