CÁC DẠNG TOÁN BÀI HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh hai mặt phẳng và vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh
■ Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hoặc ngược lại, một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng
■ Góc giữa hai mặt phẳng và bằng .
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và
a) Chứng minh
b) Gọi và lần lượt là đường cao trong tam giác và Chứng minh
c) Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng
Lời giải
a) Do Tam giác vuông tại nên
Do đó
b) Ta có: mà
c) Ta có:
Mặt khác hay
Suy ra mà Do vậy
Ví dụ 2: Cho tứ diện có cạnh vuông góc với mặt phẳng Trong tam giác vẽ các đường cao và cắt nhau tại Trong mặt phẳng vẽ vuông góc với tại Gọi là trực tâm của tam giác
a) Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
b) Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng
Lời giải
a) Ta có: mà
Lại có:
Mặt khác:
b) Do
Ta có:
Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh và Biết cạnh và vuông góc với mặt phẳng Chứng minh rằng:
a) b)
Lời giải
a) Do
Mặt khác là hình thoi nên Do đó
b) Dựng . Do suy ra
Như vậy là góc giữa hai mặt phẳng và
Tam giác đều cạnh nên
Dựng
Tam giác có đường trung tuyến vuông tại hay
Do đó
Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, biết và Gọi là trung điểm của là giao điểm của và Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có: Mặt khác
Do suy ra tại
Mặt khác . Do đó
Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của Biết
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh tam giác vuông.
c) Chứng minh
Lời giải
a) Do cân tại nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra
Mặt khác
b) Do
Mặt khác vuông tại
c) Tương tự câu b ta chứng minh được suy ra
Mặt khác: vuông tại
Lại có:
Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Mặt bên là tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của và
a) Chứng minh
b) Chứng minh và
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của
Do cân tại nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra
Mặt khác
Khi đó
b) Ta có:
Dễ thấy
Mặt khác
Mà
Ví dụ 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông,
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi và là đường cao trong tam giác Chứng minh rằng
Lời giải
a) Ta có: là hình vuông nên Mặt khác
Do đó
b) Ta có:
Do đó
c) Ta có:
Mặt khác:
Lại có:
Do đó
Dễ thấy tam giác cân tại có 2 đường cao và nên
Mặt khác (Chứng minh ở câu a) suy ra
Cách khác: Ta có
Chứng minh tương tự ta cũng có: suy ra
Ví dụ 8: Cho tam giác vuông tại Vẽ và cùng vuông góc với
a) Chứng minh
b) Gọi là các đường cao của và Chứng minh và cùng vuông góc với
Lời giải
a) Ta có:
Mặt khác
b) Do
Suy ra
Mặt khác
Lại có:
Dạng 2: Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy
■ Dựng đường cao dựng
■ Khi đó
Ví dụ 9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với Biết rằng mặt phẳng tạo với đáy một góc 60o.
a) Tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng và mặt đáy
b) Tính tan góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
Lời giải
a) Do do đó góc giữa mặt phẳng và đáy là
Suy ra
Do
Mặt khác
Vậy
b) Dựng
Lại có:
Suy ra
Ví dụ 10: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại có tam giác là tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng tạo với đáy một góc 60o. Tính góc
Lời giải
Gọi là trung điểm của do tam giác cân nên ta có: Mặt khác nên Khi đó:
Ta có:
Khi đó:
Dựng
Ta có:
Vậy với
Ví dụ 11: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, có và góc Hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng đáy trùng với giao điểm của hai đường chéo và Tính góc tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng
Lời giải
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Ta có:
Do đó
Do đều cạnh
Suy ra: Do đó
Ví dụ 12: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và có và Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng tạo với đáy một góc 60o. Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng và với mặt phẳng
Lời giải
Ta có:
Khi đó:
Gọi là trung điểm của là hình vuông cạnh vuông tại
Ta có:
Do đó và
Dựng lại có
Ta có:
Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của cạnh góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng 60o. Tính cosin góc giữa mặt phẳng và mặt đáy
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh ta có:
Do đó Lại có:
Dựng ta có
Khi đó
Ta có: Do vậy
 Dạng 3: Xác định góc giữa hai mặt bên
Tính góc giữa hai mặt bên và
■ Cách 1: Tính góc giữa 2 đường thẳng và lần lượt vuông góc với mặt phẳng và
■ Cách 2: Dựng đường cao
Lấy điểm bất kỳ thuộc dựng
Lại có:
Dựng
Ví dụ 14: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy tam giác vuông tại có Biết tính góc giữa hai mặt phẳng và
Lời giải
Dựng
Dựng
Ta có:
Khi đó
Mặt khác:
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và bằng 60o.
Ví dụ 15: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh có và Tính cosin góc giữa:
a) và b) và
Lời giải
a) Nhận xét là tam giác đều cạnh vì và Gọi là tâm của hình thoi
Ta có:
Dựng
Mặt khác: vuông cân tại suy ra
Khi đó
Lại có:
Do sử dụng công thức lượng giác hoặc máy tính CASIO ta tính được
Cách khác: Ta có:
Suy ra
b) Dựng ta có:
Dựng
Tam giác đều cạnh nên Do vuông cân tại suy ra Do đó
Suy ra Vậy
Ví dụ 16: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều cạnh với biết rằng và mặt phẳng tạo với đáy một góc 45o. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng và
Lời giải
Do nên tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính
Ta có:
Suy ra
Dựng
Dựng góc giữa 2 mặt phẳng và là góc giữa và
Ta có:
Suy ra do Do đó
Ví dụ 17: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với cạnh bên Biết mặt phẳng tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng và
Lời giải
Do và
Do đó
Dựng tại mặt khác
Dựng Ta có: trong đó
Suy ra
Suy ra
Do đó
Ví dụ 18: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh Biết tính độ dài đoạn thẳng để góc giữa mặt phẳng và bằng 60o.
Lời giải
Ta có: Kẻ
Vậy Dễ thấy
Trường hợp 1:
Ta có: (vô lý).
Trường hợp 2:
Ta có:
Mặt khác:
Ví dụ 19: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều cạnh với biết rằng và Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng và
Lời giải
Do là nửa lục giác đều cạnh với nội tiếp đường tròn đường kính Do đó
Gọi
Do
Dựng
Khi đó
Do vuông tại có
Do là đường trung bình trong tam giác và
Ví dụ 20: Cho hình lăng trụ tam giác đều có và Gọi và lần lượt là trung điểm của và Tính cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và
Lời giải
Gọi là trung điểm Đặt
Suy ra là giao tuyến của và
Gọi là trung điểm do tính đối xứng
Do đó
Ta có và nên là trọng tâm tam giác
Tương tự thì là trọng tâm tam giác
Xét tam giác có
Ví dụ 21: Cho hình chóp có tam giác vuông tại và Tam giác là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với Xét điểm thuộc cạnh sao cho mặt phẳng tạo với hai mặt phẳng góc bằng nhau. Tính tỉ số .
Lời giải
Chuẩn hoá
Bước 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Gọi là trung điểm
Gọi là trung điểm
Mà
Ta có
Bước 2. Ta có
Suy ra
Gọi là hình chiếu của trên
Kẻ nên
Đặt
Lại có
Tam giác vuông tại
Do đó
Dạng 4: Xác định và tính số đo góc phẳng nhị diện
Ta xác định góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng và theo 3 bước:
Bước 1: Tìm giao tuyến .
Bước 2: Tìm và .
Bước 3: Kết luận
Ví dụ 22: Cho tứ diện có các cạnh , , đôi một vuông góc và . Gọi là góc phẳng nhị diện . Tính ?
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh suy ra ( vì tam giác cân tại ).
Suy ra và .
Khi đó: .
Xét vuông tại ta có: .
Ví dụ 23: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , biết , , cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Gọi là trung điểm của . Tính số đo của góc phẳng nhị diện .
Lời giải
Nhận xét: là hình vuông cạnh bằng . Gọi .
Ta có: .
Khi đó
Xét vuông tại , ta có: .
Ví dụ 24: Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi số đo của góc phẳng nhị diện . Tính ?
Lời giải
Gọi là trung điểm của cạnh . Suy ra .
Ta có: .
.
Xét vuông tại , ta có: .
Ví dụ 25: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Biết . Tính số đo của góc phẳng nhị diện .
Lời giải
Gọi là trung điểm khi đó .
Trong mặt phẳng , từ kẻ tại .
Khi đó: .
Ta có: .
nên .
Xét vuông tại ta có: .
Ví dụ 26: Cho hình chóp có cạnh đáy bằng và cạnh bên . Tính số đo nhị diện
Lời giải
Gọi là trung điểm của thì nên là góc phẳng nhị diện .
Ta có:
Xét tam giác vuông có: , từ đó
Vậy
Số đo nhị diện là được xác định bởi
Ví dụ 27: Cho mặt phẳng và điểm nằm ngoài . Kẻ vuông góc với mặt phẳng và là hai đường xiên đối với mặt phẳng . Cho biết ; tạo với mặt phẳng các góc và
a) Tính độ dài
b) Tính số đo nhị diện
Lời giải
a) Vì nên và là góc giữa và với
Theo giả thiết. .
Từ đó: và .
Do nên tức là
b. Gọi là trung điểm của thì
Từ đó là góc phẳng nhị diện
Đặt . Ta có ;
Vậy góc nhị diện bằng
Dạng 5: Bài toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc.
Ví dụ 28: Cho tứ diện có đáy là tam giác đều cạnh và Tìm thiết diện của tứ diện với và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
a) qua và vuông góc với
b) qua và vuông góc với trung tuyến của
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của thì
Mặt khác
Thiết diện của khối chóp qua và vuông góc với là tam giác vuông tại có Do đó
b) Dựng lại có
Suy ra
Qua dựng đường thẳng vuông góc với cắt lần lượt tại và thiết diện là tam giác
Ta có: Tam giác vuông tại có đường cao nên:
Do đó
Ví dụ 29: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh các cạnh bên đều bằng Mặt phẳng đi qua song song với và vuông góc với mặt phẳng xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp và tính diện tích thiết diện.
Lời giải
Gọi là trọng tâm tam giác thì (Do là khối chóp đều).
Gọi là trung điểm của thì mà suy ra
Dựng lại có
Suy ra Qua dựng đường thẳng song song với cắt lần lượt tại và thiết diện là tam giác
Ta có: là trung điểm của
Suy ra Lại có:
Khi đó
Ví dụ 30: Cho hình chóp có là hình thang vuông tại và với và Gọi M là một điểm trên cạnh là mặt phẳng qua và vuông góc với Đặt
a) Tìm thiết diện của hình chóp với Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo và
Lời giải
a) Trong mặt phẳng qua dựng đường thẳng vuông góc với cắt tại
Trong mặt phẳng qua dựng đường thẳng vuông góc với cắt tại
Do
Do đó cắt theo giao tuyến là thì
Do
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại và
Trong mp dựng và cắt tại
b) Ta có:
Suy ra mặt khác
Lại có:
Diện tích thiết diện là:
Ví dụ 31: Cho tứ diện có đáy là tam giác vuông cân đỉnh và Điểm là một điểm tuỳ ý trên cạnh đặt Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với
a) Tìm thiết diện của tứ diện với
b) Tính diện tích của thiết diện theo và Tìm để diện tích này có giá trị lớn nhất.
Lời giải
a) Trong mặt phẳng qua dựng đường thẳng vuông góc với cắt tại
Trong mặt phẳng qua dựng đường thẳng vuông góc với cắt tại
Do
Do đó cắt theo giao tuyến là thì Lại có: cắt theo giao tuyến là là hình bình hành.
Do
Vậy thiết diện của chóp với là hình chữ nhật
Ta có:
Mặt khác
Diện tích thiết diện là
Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
Suy ra: đạt được khi
Ví dụ 32: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng
a) cắt khối chóp theo thiết diện là hình gì?
b) Biết Tính diện tích thiết diện tìm được ở câu
Lời giải
a) Trong mặt phẳng dựng tại
Ta có:
là mặt phẳng chứa đồng thời chứa vuông góc với mặt phẳng
Vậy và
Ta có: nên và là điểm chung của và nên giao tuyến của và là đường thẳng qua và song song với cắt tại Ta có thiết diện của và hình chóp là hình thang vuông vuông tại và vì
b) Do là trung điểm của
Diện tích hình thang vuông là:
Ví dụ 33: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm và có Giả sử là mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt tại
a) Xác định giao điểm của với mặt phẳng
b) Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng và
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng Tìm thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng
d) Biết rằng Tính diện tích thiết diện tìm được ở câu c.
Lời giải
a) Gọi
Ta có:
Vậy là đường cao của tam giác vuông Trong mặt phẳng đường cao cắt tại và nên là giao điểm của với
b) Ta có:
Mặt khác nên
Do và nhưng không chứa trong nên
c) Ta có: và thuộc mặt phẳng nên là một điểm chung của và Mặt phẳng chứa nên cắt theo giao tuyến Giao tuyến này đi qua là điểm chung của và Gọi và lần lượt là giao điểm của với và Thiết diện là tứ giác có
d) Ta có: mà
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau nên
Ta có: nên tam giác cân tại suy ra là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Khi đó là trọng tâm tam giác
Lại có: Mặt khác
Do đó
Ví dụ 34: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông vuông tại và có và có
a) Chứng minh
b) Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng và tính diện tích thiết diện.
Lời giải
a) Ta có: suy ra
Gọi là trung điểm của đoạn Ta có: là hình vuông và là hình bình hành. Do và
Do đó Vậy
c) Ta có:
Vậy mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng chính là mặt phẳng
Do đó thiết diện của hình chóp với mặt phẳng là tam giác đều có
Diện tích tam giác là:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp có . Gọi là hình chiếu của trên .
a) Chứng minh rằng và .
b) Giả sử tam giác vuông tại . Tính số đo của góc nhị diện .
Lời giải
a)
b) Ta có
Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác SHA vuông tại A có
Vậy
Câu 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng .
a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
b) Chứng minh rằng .
c) Gọi là tâm của hình vuông . Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện . Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện
Lời giải
a) Độ dài đường chéo của hình lập phương có thể tính từ công thức cạnh đường chéo của hình lập phương như sau:
b) Ta có do tam giác vuông nên ta có
Tương tự . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh thì và
Do và là hai tam giác vuông cân tại . Suy ra
Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật .
a) Chứng minh rằng .
b) Xác định hình chiếu của trên mặt phẳng .
c) Cho . Tính .
Lời giải
a) Ta có .
b) là hình chiếu của trên
là hình chiếu của trên do
là hình chiếu của trên
c) Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác vuông tại có
Câu 4: Cho hình chóp đều , đáy có cạnh bằng , cạnh bên bằng .
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tan của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Lời giải
Vì hình chóp đều Gọi là hình chiếu của trên nên là tâm của đáy là tam giác đều do đó cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác
Gọi cắt tại
a) Ta có là hình chiếu của trên ; là hình chiếu của trên
là hình chiếu của trên
Tam giác đều cạnh nên mà là trọng tâm nên
Xét tam giác vuông tại có:
Khi đó:
b)
Suy ra:( là trọng tâm )
Mặt khác:
Mà là trọng tâm nên
Xét tam giác vuông tại có:
Câu 5: Hai mái nhà trong hình là hai hình chữ nhật. Giả sử .
a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng vuông góc với mặt đất phẳng.
Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.
c) Điểm ở độ cao (so với mặt đất) hơn điềm là . Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa ) so với mặt đất.
Lời giải
a) Vì hai mái nhà trong hình là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là góc giữa hai đường thẳng và .
Xét tam giác có:
b) Mặt phẳng vuông góc với đường nóc nhà, đường nóc nhà song song với mặt phẳng đất nên vuông góc với mặt đất phẳng đất.
c) Đường thẳng qua song song với mặt đất cắt đường thẳng qua vuông góc với mặt đất tại
Ta có:
Do đó .
Vậy góc giữa mái nhà (chứa ) so với mặt đất khoảng
Câu 6: Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tan của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá . Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Giả sử góc tạo bởi đường thẳng dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang là
Vì độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá nên ta có.
Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá .
Câu 7: Cho hình chóp có cạnh bên và là hình chữ nhật. Biết và góc là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy. Khi đó hãy tính .
Lời giải
Kẻ .
Ta có .
Câu 8: Trong không gian cho tam giác đều và hình vuông cạnh nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Khi đó hãy tính .
Lời giải

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Hai mat phang vuong goc lop 11